为了将数学彻底形式化，无数位数学家前仆后继却仍然不得其果

悖论的产生

科学的发展

今天，超模君来跟大家聊聊数学史上的三次大危机吧。

无理数的发现

在公元前580～568年间，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度（根号2）既不是整数，也不能用整数之比来表示。

这不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条（万物皆为数），也冲击了当时希腊人的传统见解。当时希腊数学家们对此深感不安，希伯索斯还因此遭到沉舟身亡的惩处。

无理数的发现以及芝诺悖论引发了第一次数学危机。

芝诺认为：一个人从A点走到B点，要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2……如此循环下去，永远不能到终点。

假设此人速度不变，走一段的时间每次除以2，时间为实际需要时间的1/2+1/4+1/8+......，则时间限制在实际需要时间以内，即此人与目的地距离可以为任意小，却到不了。

实际上是这个悖论本身限定了时间，当然到达不了。。。

过了两百年，希腊数学家欧多克斯和阿契塔斯两人给出了“两个数的比相等”的新定义，建立起一套完整的比例论，其中巧妙避开了无理数这一“逻辑上的丑闻”，并保留住与之相关的一些结论，缓解了这次数学危机。

然而，“世界万物皆为整数或整数比”的错误并没有解决，欧多克斯只是借助几何方法，直接避免无理数的出现。

直到1872年，德国数学家对无理数作出了严格的定义，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学中合法地位的确立，才真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。

贝克莱悖论

十七世纪后期，牛顿、莱布尼茨创立微积分学，成为解决众多问题的重要而有力的工具，并在实际应用中获得了巨大成功。

然而，微积分学产生伊始，迎来的并非全是掌声，在当时它还遭到了许多人的强烈攻击和指责，原因在于当时的微积分主要建立在无穷小分析之上，而无穷小后来证明是包含逻辑矛盾的。

乔治·贝克莱

原来，在1734年，英国哲学家乔治·贝克莱出版了名为《分析学家或者向一个不信神数学家的进言》的一本书。

在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击，指出求x²的导数时，会出现如下矛盾：

贝克莱认为这是依靠双重错误得到了不科学却正确的结果。

如此，无穷小量在牛顿的理论中一会儿是零，一会儿又不是零。贝克莱因此嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。

贝克莱的攻击其实是出自维护神学的目的，但对于牛顿的理论却是致命一击。

无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？这引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，导致了数学史上的第二次危机。

18世纪的数学思想的确是不严密的，执着于直观地强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。

第一个对这次数学危机提出真正有见地意见的是来自法国的数学家达朗贝尔。

达朗贝尔

他在1754年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但是他本人未能提供这样的理论。

最早使微积分严谨化的是拉格朗日。为了避免使用无穷小推断和当时还不明确的极限概念，拉格朗日曾试图把整个微积分建立在泰勒式的基础上。

拉格朗日

不过，这样一来，考虑的函数范围就变窄了，同时也导致了不用极限概念就无法讨论无穷级数的收敛问题。

因此，拉格朗日的以幂级数为工具的代数方法也未能解决微积分的奠基问题。

到了十九世纪，先后有众多杰出的数学家为微积分学的奠基工作而努力。

柯西

其中，起关键作用的就属法国数学家柯西了。

他于1821年给出了分析学一系列基本概念的严格定义。开始用不等式来刻画极限，使无穷的运算化为一系列不等式的推导。这就是所谓极限概念的“算术化”。

在柯西的努力下，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在了较坚实的基础上。

不过，在当时情况下，由于实数的严格理论并未建立，所以柯西的极限理论还不可能完善。 

重要的是，柯西之后，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究，都将分析基础归结为实数理论，并各自建立了自己完整的实数体系。

经过数位杰出数学家对于微积分学基础概念的重建后，第二次数学危机才终于得以解决。

但是，新的问题又出现了，魏尔斯特拉斯给出一个处处不可微的连续函数的例子，说明直观及几何的思考不可靠，而必须诉诸严格的概念及推理。

于是，数家们继续更深入地探讨数学分析的基础问题：实数论的问题。

这就导致了集合论的诞生。

罗素悖论

在十九世纪下半叶，康托尔创立了集合论。

康托尔

像微积分的产生一样，集合论的产生也遭到了猛烈的攻击。 

不过，在不久后，数学家们发现，“一切数学成果可建立在集合论基础上”。

就在1900年，国际数学家大会上，希尔伯特高调宣称：“……借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”

凡事无绝对，果然，在1903年，数学家们发现集合论其实有个大漏洞！

其中最突出的漏洞就源于英国数学家罗素提出的一个悖论：所有不包含自身的集合的集合，它到底包不包含自身呢？如果它包含自身，那么它就不是不包含自身的集合，所以也就不是所有不包含自身的集合的集合的元素。如果它不包含自身，那它理应是所有不包含自身的集合的集合的一个元素。这样的一个集合，包不包含自身，都必将引发矛盾。（绕口令。。。）

对于罗素悖论，有一个通俗的故事可以解释，就是“理发师悖论”。

/注意！前方强西君出没！/

最近，京西旅馆迎来了一位理发师（男），他宣称：“本人理发技艺在小镇上是数一数二的，如今，我来到京西旅馆暂住，为感谢刘老板的热情款待，我将为本旅馆所有不给自己刮胡子的人刮胡子，我也只给这些人刮胡子！”

于是，来找他刮胡子的人络绎不绝。。。（当然，这些都是不给自己刮胡子的人）

可是，几天后，刘强西温馨提醒这位理发师：你自己也该刮胡子了。

此时，理发师无比纠结：到底该不该给自己刮胡子？

如果他不给自己刮胡子，他就属于“不给自己刮胡子的人”，那他就要给自己刮胡子。

而如果他给自己刮胡子呢？他又属于“给自己刮胡子的人”，他就不该给自己刮脸。。。

罗素悖论一经提出便在当时的数学界与逻辑学界内引起了轩然大波，直接导致了第三次数学危机！

弗雷格

德国数学家弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后无比伤心地表示：一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。

那么，这次危机是如何得到解决的呢？

事实上，在这次危机爆发后很长一段时间内，数学家们曾试图对“集合论”的定义加以限制，进而排除悖论。认为只要不允许包含自身的集合存在，这也就谈不上是什么问题了。。。

显然，这样根本解决不了危机。

直到1931年，哥德尔提出了一系列不完备定理并予以证明：

①任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在至少一个命题：它在这个系统中既不能被证明也不能被证否。

②如果一个形式系统含有初等数论，当该系统自洽（所有公理都不互相矛盾）时，它的自洽性不可能在该系统内证明。

哥德尔

至此，这场关于数学基础的争论终于结束，同时也宣告了把数学彻底形式化的愿望是无法实现的。

历史上的三次数学危机，虽然给人们带来了极大的麻烦，但是危机的产生使人们认识到了现有理论的缺陷，并不断去完善，由此，数学也会得到新的发展，甚至会有革命性的的变革！

事实上，悖论的产生往往预示着科学的发展，可以说，悖论是科学发展的产物，是科学发展源泉。

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