虚数到底有什么意义?从 i 说起
用自己的语言
讲述我所理解的虚数
"我一直觉得虚数(imaginary number)很难懂。中学老师说,虚数就是-1的平方根。
可是,什么数的平方等于-1呢?计算器直接显示出错!
直到今天,我也没有搞懂。谁能解释,虚数到底是什么?它有什么用?"
下面,我就用自己的语言,讲述我所理解的虚数。
什么是虚数
这根数轴的正向部分,可以绕原点旋转。显然,逆时针旋转180度,+1就会变成-1。
这相当于两次逆时针旋转90度。
(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)
如果把+1消去,这个式子就变为:
(逆时针旋转90度)^2 = (-1)
将"逆时针旋转90度"记为 i :
i^2 = (-1)
这个式子很眼熟,它就是虚数的定义公式。
复数的定义
既然 i 表示旋转量,我们就可以用 i ,表示任何实数的旋转状态。
将实数轴看作横轴,虚数轴看作纵轴,就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数,必然唯一对应这个平面中的某个点。
数学家用一种特殊的表示方法,表示这个二维坐标:用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如,把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。这种表示方法就叫做复数(complex number),其中 1 称为实数部,i 称为虚数部。
为什么要把二维坐标表示成这样呢,下一节告诉你原因。
虚数的作用:加法
虚数的引入,大大方便了涉及到旋转的计算。
比如,物理学需要计算"力的合成"。假定一个力是 3 + i ,另一个力是 1 + 3i ,请问它们的合成力是多少?
这就是虚数加法的物理意义。
虚数的作用:乘法
比如,一条船的航向是 3 + 4i 。
45度的航向就是 1 + i 。计算新航向,只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了(原因在下一节解释):
( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )
如果航向逆时针增加90度,就更简单了。因为90度的航向就是 i ,所以新航向等于:
( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )
这就是虚数乘法的物理意义:改变旋转角度。
虚数乘法的数学证明
为什么一个复数改变旋转角度,只要做乘法就可以了?
任何复数 a + bi,都可以改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。
a + bi = r1 * ( cosα + isinα )
c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )
这两个复数相乘,( a + bi )( c + di ) 就相当于
r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )
展开后面的乘式,得到
cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )
根据三角函数公式,上面的式子就等于
cos(α+β) + isin(α+β)
所以,
( a + bi )( c + di ) = r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )
写在最后
何谓数学?
数学家Eduardo曾这样回答
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