江同志出的一道数学题难倒众人，数学大师丘成桐花了半小时才悟出答案！你会吗？

2000年12月20日，江同志出席澳门回归祖国一周年庆典活动期间，在访问濠江中学时说：

“中学是人生最重要的阶段，是打好基础的阶段。中学基础不好，念大学会遇到很多困难。不管将来念什么，念工程、法律、经济，但中学的基本科目必须念好。中学的基本科目除了语文、历史、地理外，数学也是。我很喜欢数学，特别是几何。”

说到这里，江同志拿起圆珠笔，在一张白纸上画出一道几何题：

假设：任意一个星形，五个三角形，外接圆交于五点。

求证：这五点共圆。

（在任意五角星AJEIDHCGBF中，△AFJ、△JEI、△IDH、△HCG和△GBF各自的外接圆顺次相交的交点分别为K、O、N、M、L。求证：K、O、N、M、L五点共圆。）

江同志说：“这是我高中毕业参加高考时的一道几何题，至今印象深刻。”

五角星是标识中国特征的重要符号。江同志出此题，可调寓意精妙、用心良苦。

2000年12月28日，澳门濠江中学师生给江同志寄出了答案。两天后，江同志请澳门特区行政长官何厚铧转交了给濠江中学师生的回信：

本拟回京后即寄去数学题参考答案，由于事忙，未及函复。正拟回信时，接到由中联办转来的信件及杨万忍等四位老师的证题手稿，对他们从不同思路得出答案，表示欣慰。随信附上原欲寄去的解答，供参阅。

江同志有一次到广东视察工作时，曾把这道题出给在场的地方领导。后来，广东的地方领导将广州师范学院数学系主任的答案汇报给江同志。江同志亲自打电话与这位系主任交谈：“我把这道题出给濠江中学，是要说明：一个人总要有钻研精神。”

香港科技大学数学系副教授李健贤说，三角几何能提供逻辑及观察力的训练，可锻炼分析能力。不过，香港的数学教育注重运算，较少要求学生去处理这类几何难题。香港只有少数大学生能解答江同志出的这道几何题。

据说，数学大师丘成桐也用了半小时才悟出此难题答案。

《武汉晚报》2000年底曾刊登此题并向读者征求答案。截至2001年4月4日，编辑部共收到有效答卷216份，答题人既有正在刻苦攻读的中学生，也有风华正茂的中青年教师，还有离退休老工人、老干部、老专家等。其中年龄最大的69岁，最小的只有13岁。

这道题，你会做吗？

答案在此！

题目：在任意五角星AJEIDHCGBF中，△AFJ、△JEI、△IDH、△HCG和△GBF各自的外接圆顺次相交的交点分别为K、O、N、M、L。求证：K、O、N、M、L五点共圆。

证明：

连接CN、HN、KN、IN、MN、MG、ML、LF、LK、KA

∵∠ACN＋∠AIN＝∠NHD＋∠AIN＝∠NID＋∠AIN＝180°

∴A、I、N、C四点共圆

同理A、K、I、C四点共圆从而A、C、N、K四点共圆

∴∠GMN＝∠GCN＝∠ACN＝180°－∠AKN又∠LMG＝180°－∠LFG＝∠LFA＝∠LKA

∴∠LMN＝∠LMG＋∠GMN＝∠LKA＋(180°－∠AKN)　　

∴∠LMN＋∠LKN＝∠LKA＋(180°－∠AKN)＋∠LKN＝180°故K、L、M、N四点共圆

同理可证O、L、M、N四点共圆

∴K、O、N、M、L五点共圆

证毕。

【提示】此题也可以运用密格尔(A.Miquel)定理证明。密格尔定理：已知AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，那么，这四个三角形的外接圆共点。

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