【策略】只懂数补牌打不好Poker，真正实用的扑克数学在这里（上）

作者：Robert Woolley

大部分扑克玩家都能学会数补牌，并且记住几个常见的概率，但是，大多数人在面对更复杂的扑克数学或无法在书上或网上查到的情况时，仍是一头雾水。尽管我自己的书架上有一本关于扑克概率的书（Matthew Hilger写的《德州扑克赔率和概率》，里面的资料非常有用），但我有时也会碰到几次到处都无法查到的扑克概率问题。这时该怎么办？其实，解决更复杂的扑克概率问题的技术通常简单又直接，但其中有一项不是对所有人都很容易：计算手牌的组合。

为了帮助大家解决难题，我在这两部分的文章中会从简单和熟悉的例子着手，先向你介绍如何计算，然后再过渡到复杂的案例。

在每个例子中，我都会进行相同的三个基本步骤：

第一步：计算所有可能的结果的数目。

第二步：计算出我们感兴趣的结果的数目。

第三步：用后者除以前者，得出一个概率。

首先我要先给你们介绍一款强大的工具——组合计算器。

假设你想知道在买彩票时有多少不同组合的数字可以挑选，我们先假设这个彩票使用的是乒乓球机器，共有60个数字的球，其中有5个球会随机成为大奖的数字组合。

这个数学计算是很明确的，但手段非常累人，但我们有更加简单的计算方法：使用电子表格的内嵌功能，可以进行这种计算。在Microsoft Excel中，你在任何格子中输入 =COMBIN(x,y)。其中x指的是能抽出物体的总数，y指的是抽出的数目，在我们假想的彩票中，你要分别输入的是60和5。点击返回键或回车键，电子表格会显示出答案：5,461,512。

如果你手头没有电子表格，你可以在网上找到许多在线组合计算器，比如链接中这款

（http://www.calculatorsoup.com/calculators/discretemathematics/combinations.php）（如下图）。

我们会在所有的例子中都使用这款工具，因为学习用它解决扑克问题就是本文存在的意义。

例1：同花听牌

你有A♥K♥，翻牌是2♥-6♥-10♣。你在公共牌发完后完成同花的概率有多少？

大部分玩家会按照如下的方法来思考：在47张未发的牌中还有9张红心。转牌是红心的概率是 9/47，也就是大约19%。把这个数字乘以2，因为你在河牌还有一次机会，也就是大约38%的概率。四舍五入到40%足够让你在扑克桌上完成实际的扑克决策，达到你的目的。

虽然在打牌过程中，能做到这样已经够好了，但了解如何计算出更精确的结果也是有帮助的，因为我们会用同样的基本过程来解决后面更难的问题。关键是，我们不要把第四条街和第五条街独立开来，而是当做一个整体来考虑，把这两张牌当做对子。转牌和河牌有多少不同的组合呢？对于两张牌的顺序，我们先放在一边，先Q♥后7♣还是先7♣后Q♥都没关系。你经过一番计算就能得出47张未出的牌中所有可能的两张牌的组合，其实不用这么麻烦，我们还是用工具来替代吧。

我打开电子表格，输入=COMBIN(47,2)，然后点击回车键，Excel立刻显示出1,081，这就是从47张牌中可能得出的两张牌的不同组合的数目。

这就是第一步：可能结果的总数。

第二步是判断这些对子中有多少是我们感兴趣的，也就是至少包含一张红心的对子。由于未发的牌中有9张红心，我们输入COMBIN(9,2)得出全都是红心的对子数目为36，有一张红心的对子有9 x 38 = 342（因为每张红心都可以与38张非红心配对）。因此，包含至少一张红心的不同组合的数目是36 + 342 = 378。

第三步最简单。我们把第二步得出的378除以第一步得出的 1,081，得到结果0.350，也就是35.0%。

这个结果这跟我们粗略的估计是非常接近的，但是这个方法更加强大，因为它不只能解决这一个问题，还能应用于许多在牌局进行中无法用快速的估算解决的扑克数学问题。

例2：同花的翻牌

假设你想知道翻牌出现彩虹牌（比如三种不同的花色），两种花色或一种花色的相对频率，当然你可以上网一查就知道结果，但我希望你能增加计算一下。这不仅是因为你自己算出来的记得更牢，还因为相同的方法可以运用到其他你无法查到的问题中。

第一步：和之前一样，我们需要计算可能的结果的总数。

在这个例子中是翻牌的总数，现在我们有两个办法，要么拿一手具体的牌中发出的两张牌来考虑，要么是只看普遍的情况。我认为后者更加有用，不过这两者得出的答案是非常接近的。

那么我们需要知道一副52张的扑克牌能有多少3张牌的组合。

Excel的公式是=COMBIN(52,3)

你也可以使用在线组合计算器，在n那里输入52，在r那里输入3，得出答案22,100。也就是说，在德州扑克或奥马哈中，你在翻牌能得到22,100种不同的翻牌，其中三张牌的顺序是可以互换的。毕竟在荷官发三张翻牌时，我们并不在意排列的顺序。

第二步是计算出我们感兴趣的结果的数目。

我们先从最简单的开始：翻牌是同一花色，拿黑桃来举例。三张黑桃的不同组合有多少？继续使用组合计算器，我们输入13（黑桃的总数）和3（我们一次拿出的数目），然后发现共有286种不同的三张黑桃组成翻牌的组合。扑克牌一共有四种花色，所以总共的组合数目为286 x 4 = 1,144种同一花色的翻牌。

第三步我们要用这个答案除以所有翻牌的总数（也就是22100），得到最终的答案是0.052,也就是5.2%。也就是说，在所有翻牌中，只有超过5%是同色的。

这只是答案的一部分，接下来我们重复上述步骤，计算彩虹面（三种不同的花色）出现的概率。这个更难算，事实上从概率的角度而不是组合的角度来思考会更容易。

假设翻牌第一张牌是梅花，下一张牌是梅花以外的花色的概率是多少？还有51张牌未发，其中有12张梅花和39张非梅花，所以概率是39/51。发第三张翻牌时，未发的牌还有50张，其中有12张梅花和12张花色跟第二张牌相同的牌，还剩26张牌能完成彩虹牌。第三张是第三个花色的概率就是26/50。因此第二张翻牌和第三张翻牌都跟第一张不同花色且两张花色业相互不同的概率加起来是39/51 x 26/50，也就是 0.398。四舍五入后的结果是整整40%。

现在我们必须计算有两张牌同花色一张牌不同花色的翻牌的数目。每次抽出两张同样花色比如方片的对子牌的组合是COMBIN(13,2) = 78，那么其他三种花色总共还剩下13张牌，总共是39张，所以两张方片+一张非方片的不同翻牌有78 x 39 = 3,042。由于有四种花色，这个数字再乘以4，得到12,168。第三步我们要把这个数字除以翻牌的总数(22,100)，最终的答案是0.551,也就是 55%。

如果你够细心的话，可以用简单的逻辑推导出最后一段的结果，翻牌必须有一个，两个或三个花色。我们已经计算出一种花色(5%)和三种花色(40%)的概率，那么剩下其他的概率（55%）就是两种花色的了。

所以我们得出一个值得记住的结论：在你的扑克生涯中，你会看到大约5%的翻牌是单色的，55%是两色的，40%是彩虹面。

在下一部分的文章中，我会提高游戏的级别，使用相同的基本步骤和工具来解决一些更加困难的问题。

未

完

续

待

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