哥德尔证明上帝存在分析
【小编按】哥德尔和普兰丁格关于上帝存在的证明使用的是模态逻辑。相关介绍可以点击页面最后的【阅读原文】查看
不得不持有“至全圆满(者)必然存在”这个信念吗？（I）：对哥德尔至全者必然存在论证的一个批评性分析
作者：问月生
问：下面这个哥德尔的“至全者必然存在”论证，你怎么评价？
哥德尔的至全者必然存在论证：（其中，P(F)意思是“F是正属性”，F⇒H意思是“如果属性F例示那么属性H例示”）[1]
01 P(F)→□P(F)
02 P(F)→～P(～F)
03 P(F)→[(F⇒H)→P(H)]
04 所以，P(F)→◇∃xF(x)
4-01 P(F)
4-02 ～[◇∃xF(x)]，即□∀x[～F(x)]【假设引入】
4-03 F(x)
4-04 所以，～F(x)
4-05 所以，F(x)⇒～F(x)
4-06 所以，P(～F)
4-07 所以，～P(～F)
4-08 所以，◇∃xF(x)
4-09 所以，P(F)→◇∃xF(x)
05 G(x) ＝df ∀F[□F(x)≡P(F)]
06 Fes(x) ＝df ∀H[□H(x)≡□(F⇒H)]【定义2（F是x的本质属性）】
07 NE(x) ＝df ∀F[Fes(x)→□∃yF(y)] 【定义3（新属性“本质属性必然例示”）】
08 P(G)
09 所以，◇∃xG(x)
10 P(NE)
11 G(x)→Ges(x)，即G(x)→∀H[□H(x)≡□(G⇒H)] 【01，03，05，06，08】
证明：
充分性方向：
11-01 G(x)
11-02 □H(x)
11-03 所以，P(H)
11-04 又有，□[P(H)→(G⇒H)]
11-05 所以，□P(H)→□(G⇒H)
11-06 又有，□P(H)
11-07 所以，□(G⇒H)
11-08 所以，G(x)→∀H[□H(x)→□(G⇒H)] 【11-01，11-02，11-07】
必要性方向：
11-09 G(x)
11-10 □(G⇒H)
11-11 所以，G⇒H
11-12 所以，P(H)
11-13 所以，□H(x)
11-14 所以，G(x)→∀H[□H(x)←□(G⇒H)] 【11-09，11-10，11-13】
结合：
11-15 所以，G(x)→∀H[□H(x)≡□(G⇒H)] 【11-08，11-14】
11-16 即，G(x)→Ges(x)
12 所以，□∃xG(x)
12-01 ∃xG(x)，即G(a)
12-02 G(a)→∀F[□F(a)≡P(F)]
12-03 所以，∀F[□F(a)≡P(F)]
12-04 所以，NE(a)
12-05 又G(a)→Ges(a)
12-06 所以，Ges(a)
12-07 而NE(a)→∀F[Fes(a)→□∃xF(x)]【07】
12-08 所以，∀F[Fes(a)→□∃xF(x)]
12-09 所以，Ges(a)→□∃xG(x)
12-10 所以，□∃xG(x)
12-11 所以，∃xG(x)→□∃xG(x)
12-12 所以，□[∃xG(x)→□∃xG(x)] 【(证得p→q)→□(p→q)，12-11】
12-13 所以，◇∃xG(x)→◇[□∃xG(x)]【□(p→q)→(◇p→◇q），12-12】
12-14 所以，◇∃xG(x)→□∃xG(x)
12-15 又有，◇∃xG(x)
12-16 所以，□∃xG(x)
答（2013/4/25，5/2修）：这个论证显然是演绎有效的，所以关键就要看所有前提是否成立。而且，为了“追查”可能的错误，适合采取反对者视角（这里说的反对者，包括坚持至全者不存在的反存在论者和悬隔至全者存在与否的悬隔论者，但不包括坚持至全者存在但反对这个论证的存在论者），并以“据果索因”的方式从后向前追查。下面是对此论证的一个批评性“追查”。
（一）按12-14、12-15、12-16，最终得出结论的是一个三段论论证：
12-14 ◇∃xG(x)→□∃xG(x)
12-15 ◇∃xG(x)
所以，
12-16 □∃xG(x)
显然，这个论证的两个前提（12-14、12-15）多多少少都违反了直觉：首先，对于反对者来说，12-15通常是直觉上倾向于反对的；其次，12-14实现的是从“可能存在”到“必然存在”的蕴涵，这严重违反了直觉。所以，这两个前提都需要进一步追查其论证有没有问题。
（二）先追查12-15，也就是09（◇∃xG(x)）。
从结论上看，反对者的直觉是倾向于反对的。因为，对反对者来说，大概承认的是：在某种广义的“设想”上，可以设想（于是持有其概念）具有至全属性的至全者[2] （这是显然的，否则反对者没法就这个问题参与争论）；但是，反对者不太愿意承认其真实存在（至少也要悬隔这个形上学判断），也不会轻易承认其可能真实存在。
那么，09是如何得到的呢？其论证前提是04（P(F)→◇∃xF(x)）和08（P(G)）。08说的是“至全属性是正属性”，这对于持有至全者概念的反对者来说，显然也是无需反对的。所以，反对者重点需要考察的是04。（这里假设我们对“正属性”有清楚的直观，于是无需追究这个论证对“正属性”的直接引入。）
04的字面意思是：任何正属性都可能被真实例示，即任何正属性都可能真实出现在某个个体上。（由于至全属性是正属性，于是这自然就意味着至全属性可能被真实例示，至全者可能真实存在。）
反对者秉持对至全者的反对直观，显然不会承认这个04，反例恰恰就是至全属性：至全属性是正属性，但不会被任何可能个体所持有。
针对反对者的这个反对直观，04的论证实际上就是在试图指出这样的反对直观会陷入矛盾，因为04的论证，关键线索就是“假设某种不被任何可能个体所持有的正属性将导致矛盾”。
对04的论证，其关键步骤是：利用4-03的假设引入（F(x)）得到了4-05（F⇒～F），然后基于03（P(F)→[(F⇒H)→P(H)]）以及F是正属性这个引入事实，得到了矛盾的一支4-06（P(～F)）；然后又直接依赖F是正属性这个引入事实以及02（P(F)→～P(～F)），得到了矛盾的另一支4-07（～P(～F)）。
那么，反对者会被这个论证说服吗？显然不会。
首先，对反对者来说，至全属性G正是那个被假设为不被任何可能个体所持有的正属性（这个论证本身最后也就是把04这个结论使用到至全属性G上）。但是，即使是认为至全者不可能存在（但持有至全者概念）的反对者，在概念上也不一定坚持G⇒～G（即无需一定坚持“如果x至全那么x不至全”）。那么，这一步的论证问题出在哪呢？出在这里：注意到，4-03的假设引入（F(x)），鉴于F属性被假设为不被任何可能个体所持有，所以，这一步实际上引入的x是一个必然空对象。对比另一种引入，即可清楚说明这一步论证在直觉上的问题：
假设引入的是可能被真实例示的H(x)，于是H(x)⇒～F(x)。
显然，这在直觉上是成立的：H有可能被真实例示，意味着x可能实指，按照4-02的假设引入，这蕴涵～F(x)。作为对比，假设引入的如果是F(x)——即引入的是必然空对象x——x必然没有实指，那自然无法依赖4-02得到～F(x)。
其次，反对者其实也很乐意接受4-05（F(x)⇒～F(x)），因为这使用到至全属性上就是G⇒～G，这正好指出至全属性G（作为至全者的本质属性和/或必然属性）如果真实例示会带来自我矛盾（基于此，对反对者来说，不会试图去归谬4-02，而只会去归谬至全者的存在）。不过，这里的归谬论证无需借助F（如果真实例示）会带来的矛盾，而只需利用4-05得到其他矛盾。
那么，反对者能接受03（P(F)→[(F⇒H)→P(H)]）吗？（这直接意味着反对者是否接受矛盾的4-06这一支。）
注意到，对复合属性来说，03其实并不合常识。例如，某个人有很多优点和缺点，但总体上说还是优点多，那这个人的复合属性（“F1∧F2∧……”）总体上是正属性，但其蕴涵的属性（例如F1）却可以是非正属性。
不过，即使如此，03使用到至全属性（按05，直觉上是所有正属性的合取）这个复合属性上时，还是不会带来麻烦。（03使用到简单属性或至全属性上，都不会带来反例。）实际上，对于反对者来说，P(～G)是当然要接受的（否则，不至全就非正，那对反对者来说岂不是没有任何个体总体上会是正的了？），所以，反对者的追查重点无需放在03上。
那么，02呢？反对者能接受02（P(F)→～P(～F)）吗？（这直接意味着反对者是否接受矛盾的4-07这一支。）
对反对者来说，使用到至全属性上，这意味着P(G)→～P(～G)。字面上的意思是，如果承认至全属性是正属性，那么不至全属性就不是正属性。既然对反对者来说08（P(G)）无需反对，那这自然意味着～P(～G)，即不至全属性就不是正属性。但这显然不符合常识，在承认至全属性是正属性的情况下，其实没有必要说不至全就不正，那太苛刻了，即使对支持者（即对至全者存在的支持者，下同）来说也太苛刻了。
这问题出在哪里呢？自然是出在02（P(F)→～P(～F)）不符合常识上。价值属性实际上通常并不符合此设定，和一个正价值属性相矛盾的可以是另一个正价值属性（P(Q)∧P(～Q)）。即使对支持者来说，P(G)∧P(～G)也会是更合乎直观的结论。
对该论证的第一个批评：
这是更符合直观的：即使G不可能被例示，也不蕴涵G⇒～G；以及∃F[P(F)∧P(～F)]（特别是P(G)∧P(～G)）。所以，可反对这个论证的公设2（P(F)→～P(～F)），可反对对结论（P(F)→◇∃xF(x)）的论证，继而可反对结论（P(F)→◇∃xF(x)），继而可反对对结论◇∃xG(x)的论证，继而可反对结论◇∃xG(x)。
（三）再追查12-14（◇∃xG(x)→□∃xG(x)）。
显然，这个结论是借助一些基础的模态逻辑公式从12-11（∃xG(x)→□∃xG(x)）直接得到的。（我们这里暂时不考察相关逻辑公式用于这里是否合常识。）所以我们只需关注12-11（∃xG(x)→□∃xG(x)）。
对12-11的论证，思路是在假设引入12-01（∃xG(x)）的情况下去论证12-10（□∃xG(x)），而得到这个12-10的论证过程，前提除了基础的逻辑定理和一些定义外（这些反对者暂时都无需反对），关键步骤是得到了12-04（NE(a)），字面上的意思就是“至全者的本质属性必然例示”，按11（G(x)→Ges(x)）——这是基于定义05、06和反对者暂时无需追究的那些前提01、03、08得到的——这其实就是在说“至全者必然存在”，即12-10的字面意思。（在这个论证中，“x的本质属性必然例示”是一个利用存在量词和本质属性而定义的新属性，由此得到12-10，可以回避“存在是属性吗？”这个康德式诘难。[3] ）
而要得到12-04（NE(a)），在假设引入12-01（∃xG(x)）下，除了使用到定义，关键前提也就是10（P(NE)），即“本质属性必然例示”这个属性被直接接受为正属性。注意到至全者的定义本就是把所有正属性取为其必然属性（05，G(x) ＝df ∀F[□F(x)≡P(F)]）。这两点一结合，相当于就是说“至全者持有所有正属性，而‘本质属性必然例示’是正属性，所以至全者持有‘本质属性必然例示’这个属性，即至全者的本质属性必然例示。”由于至全者的本质属性就是至全属性G，所以“至全者的本质属性必然例示”相当于就是说“至全者必然存在”。
注意到，“x的本质属性必然例示”，用日常语言转述，就是“x必然存在”（这也就是为什么这个属性被称为NE，Necessarily Exists，必然存在）。所以，10（P(NE)）用日常语言转述其实就是“必然存在是正属性”。（但这样直说而不进行技术处理的话，字面上看就无法回避“存在是属性吗？”这个康德式诘难[4] 。）
所以，这部分的论证实质，用日常语言转述，不考虑技术处理的话，无非就是“至全者持有所有正属性，必然存在是正属性，所以至全者必然存在。”所以，这个论证的进路实质就是一个笛卡尔式、安瑟伦式上帝存在论证进路。正是这个进路实质，导致了12-11（∃xG(x)→□∃xG(x)）（于是12-14（◇∃xG(x)→□∃xG(x)））违反常识的推导：从存在或可能存在，推导出必然存在。
这样看来，这个论证的实质，用日常语言重述（而忽略技术细节）的话，就是：
哥德尔对至全者必然存在的论证实质：（日常语言重述，忽略技术细节）
G01 至全者可能存在；
G02 如果至全者可能存在，那么可能存在的至全者持有所有正属性；
G03 必然存在是正属性；
G04 所以，如果至全者可能存在，那么可能存在的至全者持有“必然存在”这个属性，即可能存在的至全者必然存在；
G05 所以，至全者必然存在。（G01，G04）
对这个论证思路的批评是直接的：（由于可以通过技术处理回避康德式诘难，所以这里无需引入这个麻烦。）
首先，基于前面第一个批评，反对者可以不接受G01即12-15（◇∃xG(x)）。于是，对反对者来说至少可以不接受最后的“至全者必然存在”的结论。
不过，反对者总可以持有至全者概念，鉴于最广泛意义上的设想（概念上），反对者接受“至全者可能存在”也是可以的。重点是，对反对者来说，至全者也可能不存在。但这个论证反对后一种可能性，因为这个论证试图指出，只要至全者可能存在那么就会必然存在——即，至全者要么必然不存在，要么必然存在，没有第三种情况。（这里我们假设至全者概念本身是融贯的，可以对其进行融贯地设想；其次假设接受“如果可融贯设想X那么X可能存在”。）
其次，为什么要接受G03即10（P(NE)），即“必然存在是正属性”呢？“必然存在”和它的否情况（“可能不存在”），都只是存在的模态情况之一，一个东西必然存在、另一个东西可能不存在，怎么解释前一个东西持有的是一个正属性，而后一个东西却不一定？至少，这是很令人费解的。
不过，这里也不妨基于“显得存在就是存在”这个常识存在优先态度[5] 以及“存在则有意义”这个最开放价值视角[6] 而去接受：在存在性上越“强”则越“好”。于是，在日常直觉上承认G03即10（P(NE)）也是可以的。
第三，那么，在承认G01即12-15（◇∃xG(x)）也承认G03即10（P(NE)）的情况下，反对者对这个论证接受不接受呢？
直觉上说，在这个论证的主要部分（G02-G04）中，反对者会接受G02，因为这无非来于至全者这个概念本身，而G03对“必然存在是正属性”的承认本身并没有对有什么东西当真必然存在做出什么预设，所以，反对者基于G02、G03去接受G04的话，严格说，反对者的接受不会超出“概念上接受”的效力。也就是说，反对者所能接受的从G02到G04的论证，仅仅是从“至全者概念”、“必然存在是正属性”演绎得到“在概念上至全者必然存在”，但概念上的结论却并不蕴涵形上学结论。
所以，如果这个论证的结论满足于概念内，反对者就可以接受（如果接受G03的话）；但如果结论从概念上僭越到形上学，则不能接受。[7] （如果只需满足于在概念上的论证，就无需接受G01即12-15（◇∃xG(x)），而只需满足于“持有至全者概念”这个日常事实；进而，甚至无需假设至全者概念本身是融贯的，因为我们可以持有不融贯的概念。）
换言之，即使反对者也可以接受这类论证：如果我们只能如此这般使用至全者概念，而我们确实又在使用这个概念，那么在概念使用上就注定我们摆脱不了地要持有“至全者必然存在”这个概念/信念；但，即使如此，这也并不蕴涵至全者在形上学上当真必然存在。
（另：观察整个哥德尔论证，对至全者或至全属性，并没有做出世俗宗教的排他性表述，至全属性的定义仅仅强调“必然属性当且仅当是正属性”，最后的结论严格说也仅仅是“至全属性必然例示”，所以，这里倒无需刻意认为这个论证或这类论证是专属于某种世俗宗教的。基于此考虑，下面我会在字面上做些调整：首先，“者”字无需强调，因为无需暗示至全属性一定例示在一个个体上；其次，避免结论在字面上暗示排他性。所以我将使用“至全圆满(者)”来代替之前的“至全者”。）
对该论证的第二个批评，即对这个论证的一个修正：（日常语言表述）
对我们所有人来说，
G-Z-01 “至全圆满(者)”这个概念存在。（日常事实）
G-Z-02 如果“至全圆满(者)”这个概念存在，而至全圆满(者)以其概念而蕴涵所有正属性，那么在概念上至全圆满(者)持有或含有所有正属性。（概念事实）
G-Z-03 必然存在是正属性。（常识假设）
G-Z-04 所以，如果“至全圆满(者)”这个概念存在，而至全圆满(者)以其概念而蕴涵所有正属性，那么在概念上至全圆满(者)持有或含有“必然存在”这个正属性，即在概念上至全圆满(者)必然存在。（G-Z-02，G-Z-03）
G-Z-05 所以，对我们所有人来说，在概念上至全圆满(者)必然存在。（G-Z-01，G-Z-04）
显然，概念上的必然命题——即使不蕴涵形上学上的必然命题——意味着我们摆脱不了地要持有相应信念。所以，修正后的这个论证，虽然没有证明至全圆满(者)当真必然存在（于是当真实际存在），但是指出了这样的结论（如果接受G-Z-03的话）：对我们每个人来说，无论至全圆满(者)存在还是不存在，必然存在还是必然不存在，在概念上我们都要视其为必然存在（于是在概念上视其为实际存在）。而之所以如此，仅仅是因为我们确实持有至全圆满(者)这个概念——显然，这是反对者和支持者的共同事实；而这样的结论，也是反对者和支持者都可以接受的结论。
这样的结论，正就是我自己的本底哲学[8] 所追求的；这个结论本身，也和我的意义观（“追求至全圆满”本身就是意义之所在）[9] 相容——所以我自己倒无需刻意去反对上述修正后的论证（但我会反对最开始给出的哥德尔论证）——只是对我来说，意义所在无需依赖这个至全圆满(者)本身的存在或必然存在（哪怕是概念上的），而只需依赖当下真实的诸多矢量性事实本身[10] ，而“至全圆满(者)”这个概念（以及“至全圆满(者)必然存在”这个概念/信念，如果接受上述论证的话）只是一个附带结论，其本身严格说并不具有独立的行为指约效力（至少对我来说是这样）。
问：难道我们果真没有机会在形上学上收获“至全圆满(者)真实存在或必然存在”的结论吗？那下述Plantinga（普兰丁格）关于“至全者真实存在且必然存在”论证，如何评价？是否在此论证中我们收获的依然至多是概念上的结论？
答：见《不得不持有“至全圆满(者)必然存在”这个信念吗？（II）：Anselm-Plantinga论证、悖论和怀疑论》
问：……我们又如何能够仅凭形上学悬隔就可以严肃地持有三种生活态度（之一），并还要为另外的生活态度保持权利开放？……为什么不干脆归谬整个形上学本身？
答：见《“严肃生活”与形上学怀疑论的“好处”》
问：那么，有没有走得更“彻底”的形上学难题，足以导致整个形上学被悬隔或被归谬呢？
答（2013/5/3）：确实有。因为我们能够在形上学怀疑论上走得很“彻底”，一直可以走到元形上学层面去做怀疑论。这真能做到吗？这是《我们生活的世界：一个怀疑论者的挑激》和《本底哲学研究导引——彻底怀疑论之后的形上学机会》想搞清楚的事情。但预见性地说，这是否就意味着我们只能仅凭自己的坚信而各自持有各自不同的生活态度，然后在任何形上学议题上都陷入相对主义（——相对于各自的坚信，而无法达成具有普遍性的任何共识）呢？也不是。那这又如何能做到？这是《第一怀疑论与本底生活世界的发现和印证》所做的事情，试图证明在怎样的流程中哪些信念是我们所有人在何种意义上都摆脱不了地要持信的，这构成的是我们所有人可最大共识的本底生活世界。
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