哲学家的世界：阿奇里斯与乌龟的赛事

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哲学家的世界 | 第 2 集

文末有往期链接

阿奇里斯与乌龟的赛事

By cibala

台湾大学哲学所

专长：逻辑、儿童哲学

特洛伊战争打到一半，希蜡军的阿奇理斯因为阿加曼农的冒犯愤而离营，却阴错阳差地惨加了一场奇特的比赛。 

司仪道：「首先我们邀请希蜡第一勇士，英雄阿奇理斯出场。」 

集勇气、俊美与强健于一身的英雄阿奇理斯登场，全场欢呼声响撤云霄。阿奇理斯早已习惯这种欢迎方式，奇怪的是经历过各种大场面的他，仍对这场赛跑感到莫名的不安。 

「或许是因为这场比赛，赢了毫无意义，输了却足毁掉我一世勇名。」阿奇理对自己说:「所以我一定要得胜！」 

司仪道：「接下来欢迎乌龟君选手出场！」 

此言一出，场上嘘声四起，乌龟君仿彿瘟神一般，双方气势有天壤之别。

主席高喊：「比赛开始前请大家注意这个押注的板子。押注结果十分悬殊，所有人都押阿奇理斯选手赢，除了一位之外。」 

「什麽？居然有人押乌龟君赢？」观众们面面相觑，七嘴八舌讨论起来。

 「各位不需猜测，押乌龟君赢的人就是我。」主席道。 

「居然是他？」阿奇理斯心中再度勇现不安。因为邀请他惨加比赛的人，把注押在对手身上。

主席对观众道：「因为全部押同一个人，无法构成赌局，我只好押乌龟君，让大家玩的愉快。」 

即便解释合理，阿奇理斯仍觉忐忑不安，不过时间不等人。 

「两位选手请就位，开始倒数。」考虑到速度差距，阿奇理斯被要求礼让乌龟君一些。乌龟君起跑处离终点更近，阿奇理斯必须先追赶一段路，才能超过他。 

「三～」 阿奇理斯想起了妻子依菲格涅亚，她是如此美丽善良，若不是因为卷入战争，他也不会才新婚就离开她。阿奇理斯在心中再次发誓，要永远保护她。 

「二～」 阿奇理斯想起了表弟帕特逻克洛斯，不知留在希蜡军中的他是否安好。帕特逻克洛斯年轻气盛，经验不足，一旦中了敌人的计谋，很可能会遭遇不测。 

「一～」 阿奇理斯想到他的战争敌手赫克特，听说他也是万中无一的英雄，武勇与德行令人景仰，在战争中他两还没直接对阵，虽然不知道接下来的发展如何，但阿奇理斯期望有一天能与他交手。 

赛笛响起，比赛开始。 阿奇理斯火力全开，大步追赶。他爆发力极佳，一个箭步就缩短了与乌龟君的差距，乌龟君则保持等速前进。 

阿奇理斯与乌龟君一开始相距了Ｋ的距离，要超过乌龟君，他必定得先追过Ｋ这段距离。神行太保运腿如风，只耗了一小段时间Ｔ就追过了 K。 

不过即便时间不长，等速前进的乌龟君在T内仍前移了一小段K1的距离。若阿奇理斯想追过他，又得追上K1的距离。 

阿奇理斯再度耗了一小段时间Ｔ1追过 K1的距离。但乌龟君以等速前进，即便T1极短，乌龟君还是前进了一小段K2的距离。结果是阿奇理斯又得追过K2。追过 K2耗的时间较Ｔ2更短。不过即便再短，乌龟君还是前进了一小段距离K3，结果是阿奇理斯又得追过K3。 

三次之后，阿奇理斯意识到状况不对，每一次他都与超过乌龟君的机会擦身而过，而且理由都类似。 

「这洋下去不行！」紧张的他抉定再衝一次。 

阿奇理斯与乌龟君相距Ｋ3，所以得先追过Ｋ3。阿奇理斯只耗了一小段时间T3就追过这段距离，但即便时间不长，等速前进的乌龟君还是前进了一小段K4的距离。阿奇理斯又错失良机。 

阿奇理斯跟前三次一洋失败。每当他追上了落后的距离，乌龟都会往前移动的那一小步，让他又得重追一次。屡逢失败的阿奇理斯越来越紧张，他大口呼吸，想让自己更专注，却发现越专注，时间就越来越慢。 

「这怎麽可能！」阿奇理斯一慌，发现时间已经慢到让他根本无法呼吸了。 

无法呼吸一阵子之后，阿奇理斯的眼前凭空出现了一片田野般的白云，他一脚踩在白云上，觉得既没有压力，又不至跌下。 

「这到底是那儿?」他一惊，却发现疲累与喘息都已消失，轻风吹抚让他浑身自在舒畅。天空中传来美妙的歌声，他望见远处有高耸过云的山，山上有座宏伟的神殿，一望便知那是奥林匹亚十二神居住的圣山。 

「母亲！」 阿奇理斯的母亲是服侍奥林匹亚诸神的仙女。阿奇理斯发足往神殿方向狂奔，他已经许久没见母亲了，他的心在奔驰中狂喜，每一步都让他离母亲更近。 

「母亲！」 阿奇理斯边跑边喊。风与云从耳际呼啸而过，比赛压力、烦恼以及担忧似乎都被这风神似的速度抛在脑后。圣山随著距离拉近越来越高耸，已经能看见刻著「十二神」的石碑。 

正对著圣山阿奇理斯依然无所惧，他快步跑上楼梯，却发现前方有个小小的黑影。脚程拉近视野，他终于看清楚了，那是一直跑在前面的乌龟君。 

「什麽！」 

心头一惊的阿奇理斯从云端坠落，回神过来的他发现自己仍在赛跑的路上，而乌龟君依旧在不远的前方。 这就是希蜡英雄的结局，空有举世神力却不敌命运。不管阿奇理斯怎麽追赶，都重複著相同的悲居，乌龟君背后好像有一堵无形的牆壁挡住了他。乌龟君领先跑到了终点，所有人都跌破了眼镜，虽然这个时代还没有发明它。 

故事结束～ 

齐诺对两位朋友Ａ与Ｂ说：「故事说完了。」 

Ａ问道：「你要我们找出故事的不合理之处？」 

齐诺道：「是的，我指追赶乌龟这段过程，依照分析他永远追不上乌龟，不是吗？」 

Ｂ道：「我对为什麽阿奇理斯为什麽永远追不上乌龟还是有点不解。」 

齐诺道：「在刚刚的分析中，阿奇理斯每追过乌龟一段距离，就会被乌龟超过一点点，对吗？」 

Ｂ道：「对的。」 

齐诺道：「而且这个过程不管重複几次都是一洋的，对吗？」 

Ｂ道：「对的。」 

齐诺道：「所以不断重複推论，就有一个由微小量构成的无限长数列，对吗？」 

Ｂ道：「似乎没错。」 

齐诺道：「但不管多微小的量，只要重複累积无限多次，终究会变成无限大，对吗？」＊

Ｂ道：「对的。」 

齐诺道：「既然能累积到无限大，这表示乌龟能一直领先。阿奇理斯永远追不上乌龟。」

 Ａ道：「这个推论过程并不合理。」 

齐诺道：「哪部分不合理？」 

Ａ道：「因为阿奇理斯明明可以追上乌龟啊! 」 

齐诺道：「你指出的只是结果的不合理。这好像你说我的答案错误，却没有告诉我我的想法到底错在哪裡。如果对过程无知只记答案，未来一洋会犯同类的错误。」 

Ａ回道：「可是阿奇理斯只要跑到终点，花的时间比乌龟少就够了。」 

齐诺道：「虽然说法不同，但这仍只是重述结果。若阿奇理斯花的时间比乌龟少，在终点前，他一定会超过乌龟，不是吗？」 

Ａ道：「是这洋没有错。」 

齐诺道：「这洋推论的疑问还是无法解开啊！帐目的第一页有问题，你说只要最后一页没有问题了整个帐目就没问题，这是不合理的。如果不能解释追上乌龟的前半段到底怎麽一回事，仍是逃避提问。」 

Ａ沉默不语。 

Ｂ道：「换我来提问题。当你分析比赛过程时，把跑步过程切分成许多静止的部分，这是错的。阿奇理斯并没有停下来，分析中每一刻都是运动过程的一部分。」 

齐诺道：「我从未让阿奇理斯在过程中静止，思考分析并不是真的切分。说人的身体由躯干、头与四肢构成，却不需真的切分它们。把複杂的事物分析成间单的部分，不是为了更了解这个事物吗？」 

Ｂ道：「理论上是这洋没有错。」 

齐诺道：「如果拆解过程合理，组合过程也没问题，那结论不应与原有的观察矛盾。」 

Ｂ道：「可是你在分析时无限地重複推论，这个推论是不合理的。」 

齐诺道：「无限推论哪裡不合理？若两人速度相同，一人先跑则另一人『永远』追不上他，这时无限推论就没刚刚的问题了。你虽然强调推论过程有问题，却说不出问题究竟在哪。」 

Ｂ也沉默不语。 

Ａ道：「我不懂，你究竟想从这个故事说明些什麽呢？」 

齐诺道：「我想说物体的运动过程其实是无法被理解的。」 

Ａ道：「这是什麽意思？」 

齐诺道：「这洋比喻吧！思考理解世界就好像画出世界的图画。不同的状况就是不同图画，图画收藏在记忆中便成了知识。」 

Ａ道：「可以同意。」 

齐诺道：「可被理解的资讯都是图画。但是，运动却不在图画中，因为每张图画都是静态的。运动从比对两张图画而来的，但我们拥有的依然是两张静态的图画。我们越分析运动，越找不著它的图画，越想弄清楚，越觉得糊涂。」 

Ａ与Ｂ又多问了几个问题，终于弄懂了他的意思。 

Ｂ道：「可是了解这一点，对我们来说意义是什麽。」 

Ａ道：「对啊！我也对这点感到困惑。」 

齐诺道：「弄清楚我们知道什麽，是一种知识。清楚我们不知道什麽，则是一种智慧。」

 齐诺提出乌龟悖论之后，曾有许多思想家试著回答，却不算完全成功。一直要到数学发展到无限收敛级数的概念，确定＊部分的前提是错的，才真正解抉悖论。然而提出好问题来刺激人们思考，就是齐诺留给后世最棒的智慧遗产。 

【后记】 

伊利亚学派由三位哲学家组成。色诺芬尼斯（ 西元前570到西元前475）、巴门尼德斯（西元前540到西元前470）与齐诺（西元前490到西元前430）。三人中齐诺的乌龟悖论可能是最有名的。 

依利亚学派以否定变化与运动著称，他们重存有轻变化，重思维轻感官，重精神轻物质。从今天的角度来看，完全否定运动是很奇怪的说法，所以故事的最后一段做了点个人诠释，我将他们诠释为在讨论理解事物的思考结构，他们认为理解的结构是静态的因此无法直接理解运动。不过这是笔者个人的诠释，仅供惨考。 阿奇理斯故事部分惨考了相关神话，这段故事可以被看成阿奇理斯在特洛伊战争中离营后发生，人名都来自于神话。后来，阿奇理斯返营后杀了赫克特为帕特逻克洛斯报仇，却也逃不过自己最终战死的命运。 

乌龟悖论的答覆要到在数学上认清无限级数的总和并不总是无限之后才算完整。有些无限级数的总和是有限的数，举个例子：1+0.1+0.01+0.001+.....数列的长度虽然无限，但整个级数总和为1.11111....，这数比1.2还要小。古希蜡人误以为即使是无限小的东西，只要累积无限多次，就会变成无限大。(故事中*部分)齐诺对运动过程的分析一直停留在阿奇理斯还没追过乌龟之前的那段时间内，但这段分析无法推出阿奇理斯「永远」追不上乌龟。齐诺把对有限时间的无限分析，变成无限的长度，这是最关键的错误。 

然而探索「无限」的概念本身就是冒险又充满智慧的研究，齐诺的乌龟悖论是思想史上问对问题比答案更重要最好的例子，永远值得后世纪念。 

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