现代数学的起源
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普林斯顿数学指南
The Princeton Companion to Mathematics
Timothy Gowers（菲尔兹奖得主） 主编
齐民友 译
小编按：哲学园的一个立场是可以宣告众人的，那就是秉持柏拉图的园训：不懂几何者不得入园。因为，数学乃人类智慧的顶峰，懂得数学的思维和智慧，理解世上的其他事情就会取得事半功倍的效果。但这会立即招致一种反驳：为什么那么多大数学家在现实生活中却过得那么不堪？他们很多都与精神疾病患者一线之隔或者就曾经是一位精神病患者！
说实在的，老蝉也无法回答这个问题，但“分裂法”或许是一种可以弥补这种缺陷的方法。无论怎样，这也体现了数学的非完备性。
本栏目会从《普林斯顿数学指南》中摘录一些章节与读者分享，摘录的部分并不总是完整的，希望能起到的作用是：由此而抛砖引玉，使得读者自己去探索那些感兴趣的部分。
好消息：哲学园与科学出版社合作，该套书已上架到哲园书店，可长按以下二维码或点击文末“阅读原文”购买。
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现代数学的起源：从数到数系
选自《指南》第一卷 P115-119
自从人们会书写，就一直在记数字。在每一个发展了一种记录信息方法的文里，都可以找到一种记录数字的方法。有些学者还认为，是先有了记录数字的方法。
有一点很清楚，数字首先是作为形容词出现的，用来确定某一种东西有几个或者有多少。比方说，人们谈起例如有三个杏子比谈起数字3要早很多。但是，一旦“三性”被摆到桌面上，使得这个形容词同样可以用来表示三条鱼、三匹马，一旦发展了一个书面记号“3”用于这三种情况，就有了3作为一个独立的实体出现的条件。一旦如此，就是在做数学了。
每当引进一种新类型的数时，这个过程就会重复出现，首先是应用这个数，然后就用符号表示它，最后就把它自身接受下来作为类似实体的系统里的一员。
1、古代数学里的数
我们所知道的最早的数学文献可以追溯到古代中东的埃及和美索不达米亚文明。在这两个文化里，都有一个专门从事书记工作的人的阶层。书记员负责保存记录，这项工作时常要求他们会算术和解决简单的数学问题。从这些文化里得到的数学文献绝大部分似乎是为了作青年书记员教学所用，其中许多都是以问题集形式出现的，而且附有答案和简单的解法。美索不达米亚的这些文献是刻在一块泥板上的，有一块泥板刻的是25个关于掘壕沟的题目，另一块上刻有12个需要用一次方程求解的题目，第三块刻的是关于正方形及其边的题目。
数字既是作为计数工具之用，也是作为量度工具之用，所以对于分数的需要必定很早就出现了。把分数写下来是很复杂的事，而用它们来做计算更是困难的事情。所以，“破裂的数”的问题，必定是第一个真正具有挑战性的数学问题。人们是怎样写分数的呢？埃及人和美索不达米亚人提出了惊人不同的两种答案，二者都与今天的写法颇为不同。
在埃及（以及后来的希腊和地中海世界很大一部分），基本的概念是“n分之一”，例如“六的三分之一是二”。在这种语言下，例如7除以3的思想就表述为：“七的三分之一是多少？”答案则是“二又三分之一”，还有一个附加的限制更是增加了复杂性，在最终答案里，同一类的（用今天的语言来说就是同分母的）分数只能用它的单数形式。所以，现在写成“二个五分之一”的数，要写成“三分之一和（就是加）十五分之一”。
在美索不达米亚，我们看到一个很不相同的思想，它的出现可能是由于用它作不同类的单位的转换比较容易。首先，巴比伦人有一个办法来生成从1到59这些数目。对于更大的数，他们用一种进位制，很像现在所用的进位制，但是是以60为基础，而不是以10为基础。所以，像1，20这样的写法，就表示一个60和20个单位，就是1 × 60 + 20 =80。同样的系统又推广到分数上面，所以“半个”就要表示成30个60分之一。用一个分点“；”来表示分数部分由此开始是很方便的，虽然分点和逗号都只是现代的规定，而在原来的文献里是没有的。所以，例如1；24，36就表示
这两个系统都不足以处理复杂的数。例如，在美索不达米亚，只用到（有限的）六十进位制式子，所以书记员写不出7的倒数的准确的值，因为1/7没有有限的六十进位制式子。在实践上，这就意味着用7去除就需要找到一个近似的答案。另一方面，埃及的“几分之一”系统则可以表示出任意正的有理数，但是，这样做就需要一串分母，看起来十分复杂。埃及的数学文献是记在一种所谓纸草书上的，有一本现存的纸草书包含了一些题目，看来就是设计来求这种复杂的答案的。有一个题目答案就是14，4分之一，56分之一，97分之一，194分之一，388分之一，679分之一，776分之一。”（用现代的方法作加法，就知道）这个数如果用现代记号来表示，就是分数
地中海文明在相当一段时期里，把这两种系统都保存下来了。绝大部分日常的数用“几分之一”系统来记。另一方面，天文学和航海需要更大的精确性，所以在这些领域里采用了六十进位制，其中包括时间和角度的量度。现在把一小时分成六十分钟，一分钟分为六十秒，都可以经过希腊天文学家追溯到巴比伦的六十进位制分数。将近四千年来，我们至今还在受着巴比伦书记员的影响。
2、长度并不是数
在古希腊时期和希腊化时期的文明里，数学变得更加复杂了。当然，希腊人因为第一个提出数学证明而闻名。试图利用清晰的初始的假设和细心的命题，以严格的演绎方法研究数学，他们是第一个民族。可能正是由此，他们对于数及其与其他量的关系特别小心。
大约在公元前4世纪的相当一段时间，希腊人得出了“不可通约量”这个重要发现。就是说，他们发现了把两个已给的量表示成为第三个量的（整数）倍，并不一定能做到。这并不仅是说，长度和数在概念上是不相同的（当然，这一点也很重要），更重要的是希腊人还对不能用数来表示长度给出了证明。
他们是这样来论证的。如果两条线段的长度可以用数来表示的话，因为当时人们对于数，最多知道有分数，则在最坏的情况下会用到一些分数。然后，改变长度的单位，就可以断定，这两个长度都相应于完整的数。换句话说，一定可以找到一个长度单位，使得两条线段包含这个单位的个数都是完整的数。这时就说，这两条线段可以“同时度量”，也就说，它们是“可通约的”。
然而，玄机在于希腊人还会“证明”两个数并不一定总是可通约的。他们的标准的例子是关于正方形的边和对角线的情况，这时就找不到共同的长度单位。我们并不确切知道希腊人当时是怎样发现它们是“不可通约的”，但是很可能是这样思考的：若从对角线减去边长（即在长的线段中减去短的线段），就会得到一个短于二者的线段（即余量）；如果对角线和边可以用同样的单位来度量，它们的差当然也如此。现在对上面得到的余量和正方形的边再重复上面的程序，即从正方形的边减去第一次的余量（仍是从长的减去短的）多次，例如减了两次，直到第二次的余量又短于第一次的余量为止。第二次的余量仍然可以用公共的单位来度量。于是就看还有余量没有。如果仍然有，就再从第一次的余量减去这个新的第二次的余量多次，直到新的余量又比第二次的余量短为止。结果是：或者减尽了，再也没有余量，或者减不尽，就有了第三次的余量，于是再从第二次的余量中多次减第三次的余量，并如此以往）。结果是：这个过程永远不会终结；相反，它会产生出越来越小的余量线段。
最后，余量会短于公共的单位。但原来的推理说明了余量中包含的公共单位的段数仍然是完整的数，而这是不可能的（说到头，任何完整的数都不会小于1），所以，我们就能断定，这个公共单位事实上不存在。
当然，对角线也有长度。今天我们会说：若边长是一个单位，则对角线长是√2个单位，这样，上面的论证就说明√2是一个分数。希腊人并不真的知道√2在什么意义下也是一个数。相反地，（希腊人认为）它是一个长度，或者更好是说，它是对角线长度和边的长度之比。把类似的论证用于其他的长度，例如他们还知道面积为1的正方形的边长和面积为10的正方形的边长也是不可通约的。
于是，结论就是：长度并不是数，相反，长度是另一类“大小”，即是另一类的“量”。但是现在我们知道所谓“量”的种类是在扩散，其中有数，有长度，有面积，有角度，有体积等等。每一个都必须看成是不同类别的量，而彼此不能比较。
这对于几何学就成了一个问题，特别是在量度事物时成了问题。希腊人解决这个问题，很关键地依赖比的概念。同一类的量有比，而且还允许这个比等于两个另一类的量的比，两个比要相等，这要用到欧多克索斯（Eudoxus）的比例理论，而这个理论是希腊几何学里最重要最深刻的思想之一。所以，例如希腊人不说有一个数叫做π，因为π对于他们并不是一个数，他们的说法是：“一个圆（的面积）与立在它的半径上的正方形的面积之比，等于这个圆的圆周与直径之比”。注意，这两个比，前一个是两个面积的比，后一个是两个长度的比。（面积和长度则是不同类的量）在希腊数学中，数π并没有特别的名字，但是希腊人把它与数的比加以比较，阿基米德指出，它略小于22对7之比，略大于223与71之比。
这种做法在我们看来很笨拙，但是希腊人用得很好。此外，能够把许许多多的量组织到不同的类别（线段、角、曲面等等）里去，这样的想法在哲学上很令人满意：同一类的量可以用比来互相关联起来，各种各样的比又可以互相比较，这些都是发生在我们意念中的事物。这是一种“理”或者叫“道”，所以，不论在希腊文中还是在拉丁文中，比这个词和表示“理由”或“解释”的词是一样的（在希腊文中，这个词是logos，在拉丁文中是ratio）。无理数，英语作irrational，其中的“irrational”一词（希腊文作alogos）从一开始，就既可以表示“没有比”，也可以表示“没有道理”。
这种一丝不苟的理论系统不可避免地与实际量度例如长度、角度等日常需要脱节。天文学家还是继续用他们的六十进位制近似，画地图的人和其他科学家也还是我行我素。当然也有“漏网之鱼”，公元1世纪亚历山大里亚的海伦（Heron of Alexandria）就写过一本书，读起来似乎是想把理论家的发现用于实际的量度。例如，推荐用22/7作为π的近似值应该归功于他（很可能，他之所以选用阿基米德的上界，是因为它是一个比较简单的数）。然而，在理论数学里，数和其他种类的量的区别仍然很坚固。
古希腊时期以后，我们可以看到，在西方超过1500年的历史中，有两个主要的主题：第一，希腊人把量分为不同的种类，这种划分慢慢地被废除了；第二，为了做到这一点，数的概念一再地被推广。
3、十进位值
表示完整的数的系统最终要归功于印度次大陆的数学家。公元5世纪前（说不定还要早很多），印度人创造了九个符号来表示一到九这些数码，还应用这些数码的位置来表示它们的真的值。这样，在个位上的3就表示三，而在十位上的3则表示三十。这当然也就是现在仍然在应用的；虽然符号已经变了，但是原理未变。大约同时，还发展了定位记号来表示空位，这个记号最终就演化为零。
印度天文学广泛地应用正弦，而正弦几乎从来不是完整的数。为了表示它们，使用了一种巴比伦式的六十进位系统，即每一个六十进位的数码都用十进位系统来表示。这样，“三十三和一象限”就可以写成33\1，15’就是33个单位加上15“分”（“分”是六十进制的概念，就是六十分之一）。
十进位值的记数法很早就由印度传到伊斯兰世界。在9世纪的巴格达新建立的哈里发，有一个叫做“阿尔·花拉子米”的人写了一本论印度式记数法的书，就“用了九个符号”。几个世纪以后，阿尔·花拉子米的书被译成了拉丁文，（书名《印度计算术》(Algoritmi de Numero Indorum）。此书中世纪后期在欧洲如此流行，以至于十进位制记数法时常就被叫做“algorism”，其实就是Algoritmi，即阿尔·花拉子米。算法一词也就是由此来的。
最值得我们注意的是，在阿尔·花拉子米的书中，零仍然处于特殊的地位。它是一个定位记号，而不是一个数。但是，一旦有了一个记号，而且我们又用它来做算术，定位记号和数的区别很快就消失了。要做多位数的加法和乘法，就需要知道怎样用零去加、去乘。就这样“无”也就慢慢地变成了一个数。
像大多的数学概念那样，它们的演进或由于偶然，或由于需要，或由于稀奇，或由于探索的需求，而游刃于某个思维领域。
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