第435期｜崔之元：在次优意义上理解关于“简单多数”的梅氏定理

在次优意义上理解关于“简单多数”的梅氏定理

崔之元

编者按

本文根据崔之元教授讲课笔记整理，可以被认为是对本公号第135期“卢梭新论”（链接）的进一步思考，或自我批评。

卢梭的“社会契约论”的根本问题是：“要寻找出一种结合的形式，使它能以全部共同的力量来卫护和保障每个结合者的人身和财富，并且由于这一结合而使得每一个与全体相联合的个人又只不过是在服从其本人，并且仍然像以往一样地自由”。卢梭本人意识到“少数服从多数” 这一最常用的民主原则对他的“根本问题”的挑战，因为少数人在服从多数人通过的法律时，怎么能够觉得“只不过是在服从其本人”呢？卢梭的回答是，少数人会认为自己对“公意”（可以被理解为“公共利益”）的理解错误了，多数人的决定体现了“公意”，少数人修改了最初看法后服从多数人通过的法律就还是“只不过是在服从其本人”。后来一些学者运用孔多赛“陪审团定理”来解释卢梭对“少数服从多数”的说明，即每个公民在投票时都像陪审团成员那样不根据自身利益做决定，而是依据对“事实真相”或“公共利益”的判断来投票。但另外一些理论（包括马克思主义的阶级分析，文化差异理论，等等）认为，人们的利益差别是客观存在的，卢梭假定人们根据对“公共利益”的理解来投票是不现实的，少数人在服从他们本不同意的多数人通过的法律时确实是被迫的，不再是“只不过是在服从其本人”。于是，问题转变为：何种投票制度安排能在 “次优”的意义上接近卢梭的“只不过是在服从其本人”的“自治”理想？ 梅氏定理（“May Theorem”）证明了“简单多数决定规则”（即51%）能够在“次优”的意义上接近卢梭的自治”理想，即虽然不可能每个人都总是生活在自己喜欢的法律下（“只不过是在服从其本人”），但“简单多数决定规则”可以使生活在自己不满意的法律下的人数最小化，这也是“次优”在此的含义。

Adam Przeworski的 “Democracy and Limits of Self-Government”一书( 中译本：“民主与自治的局限”)第2章介绍了数学家梅氏 (Kenneth May )1952 年的定理：在有两名候选人（或备选政策方案）时，“简单多数决定规则”是唯一满足平等性（即匿名性），中立性，决断性和回应性4个公理的集体决策规则1。

平等性公理（即匿名性）要求平等地对待选举人，即选举规则本身不能偏向任何具体的选举人；而中立性公理要求平等对待被选举人，即选举规则本身不能偏向任何具体的被选举人。决断性公理要求选举规则产生一个明确的结果，而回应性公理则要求，当某些选举人把票转投另一位候选人时，选举规则至少不应使选举结果对该另一位候选人更不利。

这4个公理，比较直觉地反映了我们认为民主过程应该满足的要求，而梅式（May）证明只有“简单多数决定规则” （即过半数，51%）才能同时满足4个公理，则含义深远。May的证明可见本文附录。我们在此仅仅从“平等性”(即匿名性)公理的角度对May定理做一点直观的解释。

平等性公理要求平等地对待选举人，这就排除了“超多数” (supermajority)这一广泛使用的集体决策规则（如2/3多数，3/4多数等）。例如，国际货币基金组织(IMF)的章程修改需要75%多数的投票权同意才行，这其实使得拥有否决权的美国和其它国家具有了不平等地位。Adam Przeworski给出了13世纪的意大利公社采用不同形式的超多数决策规则的例子：热那亚通常要求全体一致同意，博洛尼亚则要求2/3同意，而其它几个城市使用4/7的决策规则。1159年教皇亚历山大三世得到27张选票中的24张，引发教会分立，此后教宗选举均采用三分之二多数规则。Adam Przeworski进一步指出，美国的两院制以及人们常说的 “制衡”（check and balance）,其实质也是超多数决策规则2。

  因此，May定理--在有两名候选人（或备选政策方案）时，“简单多数决定原则” （即过半数，51%）是唯一满足平等性（即匿名性），中立性，决断性和回应性4个公理的集体决策原则—有着非常深刻的含义，其中包括对美国现行宪政安排的批评。

当然，反驳May定理的主要说法是，它只涉及两名候选人（或备选政策方案）的情况。而一旦出现三名以上候选人（或备选政策方案），阿罗不可能性定理（Arrow’s Impossibility Theorem）则表明，“简单多数决定规则”违背了决断性公理（即要求选举规则产生一个明确的结果），如下图所示：

此图来自诺贝尔经济学奖得主Eric Maskin等所编的“选择的悖论”，其中最重要的证明是Maskin和Dasgupta (米德的女婿)的“支配定理”：在三名以上候选人（或备选政策方案）的情况下，“简单多数决定规则”优于（即“支配”）所以其它投票规则---即：如果另一种投票规则运行良好，则“简单多数决定规则”也一定运行良好，并且会有“简单多数决定规则” 运行良好而另一种投票规则运行却不良好的情况3。

Maskin这里说的“运行良好”，指的是在对选举人的偏好顺序做出某种合理限制后，阿罗不可能定理就不再成立，此时“简单多数决定规则”至少和任何其他选举规则一样好。我们可以这样来理解Maskin的论述：在三名以上候选人的情形，阿罗引入了“无关候选人的独立性”公理，并在这一公理的要求下，证明了不可能性结论，而只针对二名候选人的梅式定理则没有这一公理。但Maskin指出，现实政治中，选民的偏好其实不是像阿罗所假定的是可以采取任何可能的逻辑组合的，例如2000年美国总统大选中的选民偏好中，有的偏好组合不会出现：

Maskin和Dasgupta的“支配定理”正是证明了当给选民偏好序加以合理限定后，阿罗不可能定理的结果对“简单多数决定规则”不会出现。

可见，May定理以及Maskin和Dasgupta的定理给“简单多数决定规则”以强有力的论证。首先，在有两名候选人（或备选政策方案）时，“简单多数决定规则”是唯一满足平等性（即匿名性），中立性，决断性和回应性4个公理的集体决策规则。而有两名候选人（或备选政策方案）其实是常见的民主决策情形，例如立法机构通过或不通过一项法案就是两个备选方案的问题。Maskin和Dasgupta的定理又进一步证明，在三名以上候选人（或备选政策方案）的情况下，“简单多数决定规则”至少和任何其他选举规则一样好。这说明了“简单多数决定规则”的“稳健性“(Robustness)。

黑格尔曾说，“熟知非真知”。我们常常不假思索地接受 “少数服从多数”作为民主原则，但知其然不知其所以然，，这就无法理解“简单多数决定规则”和“超多数决定规则”的重大区别。历史上很多著名思想家也没能理解“简单多数决定规则”的合理性究竟何在，例如，席美尔(Georg Simmel)说，“多数对少数具有体力优势，投票的目的是避免立即的武力对抗 …投票的结果使少数认识到抵抗也没有用”4。但这一说法不能区分“简单多数决定规则”和“超多数决定规则”，而“超多数”似乎从体力角度看更有合理之处。只有深刻理解了May定理以及Maskin和Dasgupta的定理，我们才能了解“简单多数决定规则”的正当性何在：“简单多数决定规则”（即51%）能够在“次优”的意义上接近卢梭的自治”理想，即虽然不可能每个人都总是生活在自己喜欢的法律下（“只不过是在服从其本人”），但“简单多数决定规则”可以使生活在自己不满意的法律下的人数最小化。设想，如果改变现行体制安排，需要75%的“超多数”同意才行，那么74%的人还会生活在自己不满意的法律下。反之，如果49%的人同意即可改变现行体制安排，那么51%的人可能生活在自己不满意的法律下。这两种情况都不能使生活在自己不满意的法律下的人数最小化。

附录：丹尼斯.穆勒 “公共选择理论 II”一书中对梅式定理的证明

注释：

1. Kenneth May, A Set of Independent Necessary and Sufficient Conditions for Simple Majority Decision, Econometrica , Oct., 1952, Vol. 20, No. 4 ,pp. 680-684.

2. Adam Przeworski, “Why Bother with Elections”, Politiy, 2018, p.40

3. Partha Dasgupta and Eric Maskin, On the Robustness of Majority Rule, Journal of the European Economic Association, Vol. 6, No. 5 (Sep., 2008), pp. 949- 973.

4. The Sociology of Georg Simmel, p.214-242, The Free Press, 1950.

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