奇妙的现实丨走进数字的世界
真实、奇妙的物理世界
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Amazing
数字的世界
20 世纪的物理学大约起始于公元前600 年，当时萨摩斯（Samos）岛的毕达哥拉斯宣布了一个惊人的想法。
通过研究弹拨琴弦所发出的声音的音调，毕达哥拉斯发现人类对和声的感知是和数的比率有关的。他研究了由相同材料制造的弦，这些弦的粗细相同，处于相同的紧张状态，但长度不同。在这些条件下，他发现当琴弦长度的比率可用一些小的整数表示时，发出的音调听起来恰好和谐。例如，弦长比为2∶1 时发出的是八度乐音，3∶2 时是五度乐音，4∶3 时是四度乐音。
由这个发现所激发的想法归纳为“万物皆数”的格言。这句话成了毕达哥拉斯学派的信条。该学派是一个把古老的宗教信徒和现代的科学学会结合为一体的不分性别的社会团体。
这个学派有过许多杰出的发现，所有的都应归功于毕达哥拉斯。也许最著名、最深刻的就是毕达哥拉斯定理。这个定理一直是几何学入门课程的主要内容。它也是黎曼- 爱因斯坦弯曲空间和引力理论的出发点。
不幸的是，正是这个定理破坏了毕达哥拉斯学派的信条。用毕达哥拉斯定理，很容易证明等腰直角三角形的斜边与它的任一直角边之比不能表示为整数。毕达哥拉斯学派的一名成员发现了这个可怕的秘密之后，就不明不白地溺水身亡了。今天，当我们说说根号下2为无理数时，这一说法仍然反映了那些久远的忧虑。
尽管如此，毕达哥拉斯的想法仍得到了广泛的理解。即使没有完全摆脱神秘，但却剥掉了宗教外衣。它几个世纪以来仍然是数学科学先驱们的准则。那些继承这一传统的不再坚持整数，但依旧假定物理世界最深层的结构可从纯观念性诠释中获取。对称性和抽象几何学方法可作为简单数字学的补充。
在德国天文学家约翰尼斯· 开普勒（Johannes Kepler，1571—1630）的工作中，这种观点达到了光辉的顶峰——最终得以完全阐明。
今天，学生仍在学习开普勒的行星运动三定律。但是在表述这些著名定律之前，这位伟大而深邃的思想家还发表了另外一个定律——我们可以称之为开普勒第零定律。对于它，我们很少听说过，因为有非常充分的理由证明它是完全错误的。而正是这个第零定律的发现，激发了开普勒对行星天文学，特别是哥白尼系统的热情，并开创了他非凡的事业。开普勒第零定律讲的是关于不同行星轨道的相对大小问题。为了表述这个定律，我们必须设想行星都保持在以太阳为中心的一些同心球面上。第零定律说，依次排开的这些行星所在的球面有着特定的比例关系，即它们可以内切于和外接于五个柏拉图几何体。这五个著名几何体——四面体、立方体、八面体、十二面体、二十面体都具有全等的等边多边形表面。毕达哥拉斯学派研究了它们，柏拉图在《蒂迈欧》一书的思辨宇宙学中应用了它们。欧几里得（Euclid）以他著名的只存在五种这样的规则多面体的首次证明，使他的《原理》达到了顶峰。
开普勒因他的这一发现而异常欣喜。他设想，当这些球面转动时会发出音乐，他甚至还推测出了曲调（这就是短语“天体音乐”的来源）。这是毕达哥拉斯理想的完美体现。尽管是纯观念上的，但对感官很具吸引力。第零定律似乎算得上是精通数学之造物主的杰作。
作为一个诚实的人（尽管其观念过时了）和一名科学家，开普勒非常值得称道，他并没有沉溺于神秘主义的狂喜中，而是积极努力地审视他的定律是否与实际一致。后来他发现不是这样的。在仔细分析了第谷·布拉赫（Tycho Brahe）的精确观测之后，开普勒不得不放弃圆形轨道，转而赞同椭圆轨道。他没能挽回最初激发他灵感的那些观点。
之后，毕达哥拉斯理论陷入了漫长的、深深的低谷。在牛顿的运动与引力的经典演绎推理中，其构造并没有受到数字或观念的左右，有的只是动力学。已知某一时刻受到引力作用的物体的位置、速度和质量，牛顿定律能告诉我们将来它们将如何运动。这些定律不能唯一地确定太阳系的大小和结构。的确，近来发现，围绕遥远恒星运动的行星系统显示出一些非常不同的构型。19 世纪，物理学的巨大进展集中体现在电动力学的麦克斯韦方程组中，它们在物理学范围之内带来了很多新现象，但并没有在本质上改变这种情况。经典物理的方程无法确定不管是行星系统、原子，还是其他东西的大小尺度。经典物理的世界体系被分成可任意设定的初始条件和动力学方程。在那些方程中，整数和其他纯概念成分都不扮演特别角色。
量子力学改变了这一切。
尼尔斯·玻尔（Niels Bohr，1885—1962） 1913 年的原子模型标志着新物理，而且在历史上具有决定性意义。尽管玻尔的氢原子模型与开普勒的行星球面系统应用于完全不同的范畴，但有着不可思议的相似性。束缚力是静电力而不是引力，参与者是绕质子旋转的电子而不是绕太阳做轨道运动的行星，且尺寸小了10-22倍，但玻尔模型的核心清楚地表明了“万物皆数”。
通过玻尔模型，开普勒的观点——即自然界中出现的轨道应该是那些完全符合毕达哥拉斯理想的——经过300年的沉寂后，像长生鸟复活一样，出现在了它的余烬之上。如果说有什么区别的话，那就是玻尔模型比开普勒模型更接近于毕达格拉斯的理想，因为它的那些首选轨道是由一些整数而不是几何结构确定的。爱因斯坦以极大的认同感和热情予以响应，将玻尔的工作称为“思维领域的最佳乐章”。
后来，海森堡和薛定谔的工作确立了现代量子力学，取代了玻尔模型。这种对亚原子物质的描写不如玻尔模型易感知，但根本上更为丰富。在海森堡- 薛定谔理论中，电子不再是在空间中运动的一些粒子，一些在给定时间“只在那里，而不在任何别的地方的”实在元素；与此相反，他们定义了振荡的、充满全空间的波动模式，它永远是“在这里、在那里以及在任何地方”。电子波被带正电的原子核吸引，形成围绕着原子核的定域化的驻波模式。描写量子力学中确定原子态振动模式的数学与描述乐器谐振的数学是完全相同的。原子的稳定状态对应于纯音调。说句公道话，我认为如果有什么区别的话，爱因斯坦所赞誉的玻尔模型的音乐性，在后继者那里更增强了（尽管爱因斯坦本人并不赞同新量子力学）。
自然界的工具和人类制造的工具之间的一个很大区别是，前者不依赖于由经验提升的技能，而是依赖于严格精确地运用一些简单规则。现在，如果你浏览一本关于原子的量子力学教科书，或使用现代可视化工具观看原子的振动图案，“简单”这两个字也许不会在你脑海里闪现。但在这种情况下，它却有着精确、客观的含义。一个理论越简单，则构建它而必须从观测获得的非概念因素就越少。在这个意义上，开普勒第零定律提供了比牛顿理论更简单（如结果所表明的，又太简单了）的太阳系的理论。因为在牛顿的理论中，行星轨道的相对大小需通过观测获得。而在开普勒理论中，它们是从概念上确定的。
从这个观点看，现代原子理论是异常简单的。支配原子中电子的薛定谔方程，只含有两个非概念性量。它们是电子的质量和所谓的精细结构常数，后者用α 表示，它确定了电磁相互作用的总体强度。通过解这个方程，得出它所支持的振动，可以构建一个概念世界。由它可再生成极为丰富的现实世界的数据，特别是那些精确测量给出的原子光谱线，它们蕴含着原子内部结构的信息。电子及其与光相互作用的非凡理论称为量子电动力学（QED）。
最初建立原子模型时，关注点集中于原子中比较容易触及的外层，即电子云。含有原子绝大部分质量和全部正电荷的原子核，被当作深藏于中心处的很多小（但很重的）黑匣子。关于原子核质量大小或它们的其他特性，没有任何相关的理论，它们只能完全从实验中获取。这种实用主义的方法极富成果，至今它仍提供了物理学在化学、材料科学和生物学中实际应用时有指导意义的基础。但它不能为我们提供一个简洁的理论，从而无法实现毕达哥拉斯物理学的终极目标。
从20 世纪30 年代早期开始，在电子已经能够被控制的情况下，基础物理学的前沿向内延伸到了原子核。这里不是详细叙述史诗般的理论构建和绝妙推理之复杂历史的场合。经过国际社会50 年的艰苦努力，这个禁区被彻底破解了。所幸的是答案并不难描述，它促进和完善了我们讨论的主题。
适用于原子核的理论是量子色动力学（QCD）。正如其名称所暗示的，QCD 坚实地植根于量子力学基础之上。它的数学基础是QED 的直接推广，使之纳入了一个满足更高对称性、更复杂的结构。打个比方，QCD 之于QED 犹如二十面体 48 31863 48 15287 0 0 3549 0 0:00:08 0:00:04 0:00:04 3549于三角形。QCD 中的基本角色是夸克和胶子。要建立一个精确的普通物质模型，只需考虑两种夸克，它们分别叫作上夸克和下夸克，或者简记为u 和d（还有另外四种夸克，但它们都极不稳定，因此对普通物质来说不重要）。质子、中子、π 介子和大量称作共振态的短寿命粒子家族，都是由这些基本成分构成的。在现实世界中观测到的粒子和共振态，与QCD 概念世界中的夸克和胶子的共振波模式相对应，就像原子的状态与电子的共振波模式相对应一样。可以通过解方程直接预言它们的质量和特性。
QCD 很难被发现的主要原因是它有一个非同寻常的特点，即从来没有发现过孤立的夸克和胶子，它们总是处于复合状态。QCD 实际上预言了这种“禁闭”特征，但要证明它非常困难。
客观地讲，考虑到它解释了如此多的内容，QCD 理论之简单让人惊奇。它的方程只含有三个非概念性成分：u 夸克和d 夸克的质量，以及类似于QED 精细结构常数的强耦合常数αs，它决定夸克和胶子的耦合有多强。胶子都是天然地不带有质量。
实际上，即使是三个也还多。夸克- 胶子耦合随距离而变，所以我们可以把它当作一个距离单位。换句话说，具有不同αs值的QCD 变体产生的概念世界行为完全相同，只是使用了不同大小的量尺而已。此外，可以证明u 夸克和d 夸克的质量大小并不很重要。根据爱因斯坦方程的逆表达式m=E/c2，强相互作用粒子的绝大部分质量来自它们所包含的运动着的夸克和胶子的能量。u 夸克和d 夸克的质量比质子及其他含有它们的粒子的质量要小得多。
考虑所有这一切，我们可以得到一个极不寻常的结论。当我们愿意将质子本身当作量尺，并且忽略因u 夸克和d 夸克的质量而产生的微小修正时，QCD 将变成一个没有任何非概念因素的理论。
我来总结一下。从四个必须由实验得到的数值量出发，QED 和QCD 构造了一个数学对象的概念世界，这些数学对象的行为与现实世界物质的行为精确相同。这些对象都是各种振动波的模式。那些现实的、稳定的基本组分——质子、原子核、原子——不只是在比喻的意义上，而且是以数学的精确性对应于一些纯音调。这下开普勒该高兴了。
这个故事沿几个方向继续展开。若再给定两个分别表示引力和弱相互作用强度的参数——牛顿常数GN和费米常数GF，我们就可以把我们的概念世界扩展到普通物质之外，描写实际上全部的天体物理。关于统一场论和超对称有许多睿智的观点，或许它们只需五个要素就够了（一旦降低到这么少后，任何再进一步的减少都具有划时代的意义）。这些观点会在未来几年中，特别是当位于日内瓦（Geneva）附近的欧洲核子研究中心（CERN）的大型强子对撞机（LHC）在大约2007 年开始运行后，得到决定性检验。
另外，如果我们试图判定高能加速器上发现的许多奇特、短寿命粒子的性质，情况将变得非常复杂，结果不能令人满意。我们不得不在我们的理论中添加许多新成分，直至我们无法通过输入很少已知而获得丰富的认知，而是反过来为止。这就是有关基础物理学知识的现状——成功、激动和混乱并存。
最后的几句话，我留给爱因斯坦：
在这儿，我想阐述一条定理，它目前只能基于认为自然界是简单的，亦即可认识的这样的信条：不存在任意常数。也就是说，自然界是按照符合逻辑的、完全确定的物理定律建构的。在这些定律中，只有完全合理确定的常数出现（即便不是常数，它们的数值改变也不破坏整个理论）。
《奇妙的现实：真实、奇妙的物理世界》
作者：[美] 弗兰克·维尔切克（Frank Wilczek）
译者：丁亦兵，乔从丰，任德龙，李学潜，沈彭年
责编：张莉，刘巧巧
北京：科学出版社，2017.10
ISBN：978-7-03-054434-6
《奇妙的现实：真实、奇妙的物理世界》是国际著名理论物理学家、2004年诺贝尔物理学奖获得者、美国麻省理工学院教授弗兰克·维尔切克的一部介绍现代物理学知识的高级科普著作。他用通俗的语言向不具备高深数学基础知识的读者介绍了物理学从基础到最新成就的几乎所有重要方面，充分体现了作者渊博的学识、深邃的思想、独特的见解和睿智幽默的风格。同时，本书最后还收入了维尔切克夫人贝特希在他获得诺贝尔奖前后所写的博文，带领读者一同体验“诺贝尔奖奇遇”。借此，读者可以对这位杰出物理学家的生活有一定的了解。
（本期责编：李文超）
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