喻德生：一门独立的几何学——有向几何学

喻德生

南昌航空大学数学与信息科学学院教授。主要从事几何学、计算机辅助几何设计和数学教育等方面的研究。参与国家自然科学基金课题3项，主持或参与省部级教学科研课题12项、厅局级教学科研课题16项。在国内外学术刊物发表论文60余篇，撰写《平面有向几何学》等专著6部，主编出版教材12种。

“有向”是自然科学中的一个十分重要而又应用非常广泛的概念。我们经常遇到的有向数学模型无外乎如下两类：

• 一是“泛物”的有向性。如微积分学中的左右极限、左右连续、左右导数等用到的量的有向性，定积分中用到的线段（即区间）的有向性，对坐标的曲线积分用到的曲线的有向性，对坐标的曲面积分用到的曲面的有向性等，这些都是有向性的例子。尽管这里的问题很不相同，但是它们都只有正、负两个方向，因此称为“泛物”的有向性。然而，这里的有向性没有可加性，不便运算。

• 二是“泛向”的有向量，亦即我们在数学与物理中广泛使用的向量。我们知道，这里的向量有无穷多个方向，而且两个方向不同的向量相加通常得到一个方向不同的向量。因此，我们称为“泛向”的有向量。这种“泛向”的有向数学模型，对于我们来说方向太多，不便应用。

然而，正是由于“泛向”有向量的可加性与“泛物”有向性的二值性，启示我们研究一种既有二值有向性、又有可加性的几何量。一维空间的有向距离，二维空间的有向面积，三维空间、乃至一般的N维空间的有向体积等都是这种几何量的例子。一般地，我们把带有方向的度量称为有向度量。

“有向度量”并不是数学中一个全新的概念，各种有向度量的概念散见于一些数学文献中。但是，有向度量的概念并未发展成为数学中的一个重要概念。有向度量的应用仅仅局限于其“有向性”，而极少触及其“可加性”。要使有向度量的概念变得更加有用，要发现各种有向度量的规律性，使有向度量的知识系统化，就必须对有向度量进行深入的研究，创立一门独立的几何学——有向几何学。为此，必须明确有向几何学的研究对象，确立有向几何学的研究方法，构建有向几何学的知识体系。

就我们所知，著名数学家希尔伯特在他的数学名著《直观几何》中，利用三角形的有向面积证明了一个简单的几何问题，这是历史上较早的使用有向面积证题的例子。上世纪五六十年代，著名数学家Wilhelm Blaschke在他的《 圆与球》中，利用有向面积深入地讨论了圆的极小性问题，这是历史上比较系统地使用有向面积方法解决问题的例子。但是，有向面积法并未发展成一种普遍使用、而又十分有效的方法。

二十世纪八、九十年代，我国著名数学家吴文俊、张景中院士，开创了数学机械化的研究，而计算机中使用的距离和面积都是有向的，因此数学机械化的研究拓广了有向距离和有向面积应用的范围。特别是张景中院士十分注重面积关系在数学机器证明中的作用，指出面积关系是“数学中的一个重要关系”，并利用面积关系创立了一种可读的数学机器证明方法——即所谓的消点法，也称为面积法。

近年来，我们在分析与借鉴上述两种思想方法的基础上，发展了一种研究有向几何问题的方法，即所谓的有向度量定值法。除上述提到的两个原因外，我们也受到如下两种数学思想方法的影响。

• 一是数学建模的思想方法。我们知道，一个数学模型通常不是一个简单的数学结论。它往往包含一个或多个参数，只要给定参数的一个值，就可以得出一个相应的结论。这与经典几何学中一个一个的、较少体现知识之间联系的结论形成了鲜明的对照。因此，我们自然会问，几何学中能建立涵盖面如此广泛的结论吗？这样，寻找几何学中联系不同结论的参数，进行几何学中的数学建模，就成为我们研究有向几何问题的一个重点。

• 二是函数论中的连续与不动点的思想方法。我们知道，经典几何学中的结论通常是离散的，一个结论就要给出一个证明，比较麻烦。我们能否引进一个连续变化的量，使得对于变量的每一个值，某个几何量或某几个几何量之间的关系始终是不变的？这样，构造几何量之间的定值模型就成为我们研究有向几何问题的一个突破口。

尽管几何定值问题的研究较早，一些方面的研究也比较深入，但有向度量定值问题的研究尚处于起步阶段。近年来，我们研究了有向距离、有向面积定值的一些问题，得到了一些比较好的结果，并揭示了这些结果与一些著名的几何结论之间的联系。

不仅使很多著名的几何定理——Euler定理、Pappus定理、Pappus formula、蝴蝶定理、Servois定理、中线定理、Harcourt定理、Carnot 定理、Brahmagupta定理、切线与辅助圆定理、Anthemius定理、焦点和切线的Apollonius定理、Zerr定理、配极定理、Salmon定理、二次曲线的Pappus定理、两直线上的Pappus定理、Desarques定理、Ceva定理、等截共轭点定理、共轭直径的Apollonius定理、正弦及余弦差角公式、Weitzentock不等式、麦比乌斯定理、Monge公式、Gauss五边形公式、Erdos-Mordell不等式、Gauss定理、Gergonne定理、梯形的施泰纳定理、拿破仑三角形定理、Cesaro定理、三角形的中垂线定理、Simson定理、三角形的共点线定理、完全四边形的Simson线定理、高线定理、Neuberg定理、共点线的施泰纳定理、Zvonko Cerin’s定理、双重透视定理、三重透视定理、Pappus重心定理、角平分线定理、Menelans定理、Newton定理、Brianchon定理等结论和一大批数学竞赛题在有向度量的思想方法下得到了推广或证明，而且揭示了这些经典结论之间、有向度量与这些经典结论之间的内在联系。显示出有向面积定值法的新颖性、综合性、有效性和简洁性。特别是在三角形、四边形和二次曲线外切多边形中有向面积定值问题的研究，涵盖面广、内容丰富、结论优美，并引起了国内外数学界的关注。

打个比方说，如果我们把经典的几何定理看成是一颗颗的珍珠，那么几何有向度量的定值定理就象一条条的项链，把一些看似没有联系的若干几何定理串连起来，形成一个完美的整体。因此，几何有向度量的定值定理更能体现事物之间的联系，揭示事物的本质。

在这些研究的基础上，我们广泛借鉴前人的一些有关结果，2014年在科学出版社出版了《平面有向几何学》首部论著。之后，创造性地、广泛地运用有向面积法和有向面积定值法，对平面有关问题进行研究，得到了一系列有关两点间有向距离、点到直线间有向距离的定值定理,有关三角形、多边形和多角形有向面积的定值定理，推出了《有向几何学：有向距离及其应用》（2016）、《有向几何学：有向面积及其应用（上）》（2017）《有向几何学：有向面积及其应用（下）》（2018）。我们又将平面有向几何学的思想方法，应用于空间有关问题的研究，亦得到了一些比较好的结果，出版专著:《空间有向几何学（上）》（2019）、《空间有向几何学（下）》（2020）。

这对开拓数学研究的领域，揭示事物之间本质的联系，探索数学研究的新思想、新方法具有重要的理论意义；对丰富几何学各学科、以及相关数学学科，特别是数学分析、高等数学等学科的教学内容，促进高等学校数学教学内容改革的发展具有重要的现实意义；此外，有向几何学的研究成果和研究方法，对数学定理的机械化证明也具有重要的应用和参考价值。

本文整理自《空间有向几何学（上）》（2019）、《空间有向几何学（下）》（2020）等著作“前言”，有删减，标题为编者所加。

（本文编辑：刘四旦）

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