费马大定理：一部数学家360年的奋斗史

我们在数学课上都学过“勾股定理”，这是平面几何最基本的定理之一。勾股定理说的是，设直角三角形的三边长分别是x，y，z（其中z为斜边），则有“x²＋y² ＝ z²”成立。像这样满足勾股定理的自然数组合被称为“勾股数”。那么，是否存在满足“x³＋y³＝z³”的自然数组合呢？这个问题再进一步扩展开来，就是让数学家们持续烦恼了大约360年的“费马大定理”了。

在书籍空白处留下的笔记

“我确信对这一定理已经发现了一种美妙的证明方法，可惜这里的空白处太小，写不下。”这句话就是17世纪的法国数学家皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat，1607～1665）在一本书的空白处留下的笔记。费马去世后，他的儿子在整理遗物时才偶然发现并加以发表。这则笔记里所写的问题，正是让之后大约360年里的众多数学家们为之烦恼的“费马大定理”。

所谓费马大定理，即：当n为3以上的自然数时，不存在能够满足数学式xⁿ＋yⁿ＝zⁿ的自然数组合。我们暂且把这个问题的证明历程放下留待后文介绍，先来看看费马大定理在世间广泛传播的经过吧。

一直没能被证明的想法

当时在法国南部城市图卢兹的议会从事行政官员工作的费马，其实也是一名非常有数学才能的业余数学家。“数论”领域被誉为“数学女王”，费马就以这一领域开创者的身份在数学史中千古留名。

费马写下此笔记的书籍，正是古罗马时代数学家丢番图（约3世纪）的著作《算术》。《算术》被保存在埃及亚历山大港的图书馆里。经过多次战争的摧残，图书馆里的很多藏书都丢失了，但是《算术》的一部分却奇迹般地被保存下来。经过长久岁月后，《算术》于1621年在欧洲出版，费马才得以看到了这本书。

丢番图的著作《算数》

费马在阅读数学书籍时，有顺手把自己的想法在空白处记下来的习惯。所以在他拥有的那本《算术》里，也发现了很多笔记。在他去世后，他的儿子认为这些笔记中的内容值得为人们所知，于是在1670年重新出版了《算术》，并加入了笔记中的内容。费马的笔记一共包含了48个问题，在之后的漫长岁月中，这些问题逐个得以证明解决，唯有费马大定理这一数论难题一直没能被证明。

作为出发点的“勾股定理”

大家听到过“万物皆数”这个说法吧？这是古希腊数学家毕达哥拉斯（前582～前496）秉持的主张。在西方的传说中，毕达哥拉斯被认为是发现了“勾股定理”的人，因此勾股定理也被称为毕达哥拉斯定理。

勾股定理所表述的内容：直角三角形斜边的平方等于直角边的平方之和。设直角三角形的三边长分别是x，y，z（其中z为斜边），则有x²＋y²＝z²成立。反过来，以满足x²＋y²＝z²成立的x，y，z为三边的三角形，一定是直角三角形。

像这样满足勾股定理的自然数组合被称为“勾股数”。所谓自然数，就是如1，2，3……这样连续的正整数。例如，因为3²＋4²＝5²，所以“3，4，5”是一组勾股数。“5，12，13”以及“8，15，17”也都是勾股数。我们已经知道，自然数里存在着无限组勾股数。

那么，是否存在能使x³＋y³＝z³成立的自然数组合呢？更进一步，当n为3以上的自然数时，是否存在能使xⁿ＋yⁿ＝zⁿ成立的自然数组合呢？对于这些问题，费马大定理的主张是：对于3以上的自然数n，不存在任何一组自然数能使xⁿ＋yⁿ＝zⁿ成立。

这个主张真的正确吗？费马虽然留下了“我确信对这一定理已经发现了一种美妙的证明方法”的笔记，但是，实际上获得证明的只有n＝4的情况，而且他所使用的证明方法（无穷递降法）并不能适用于n＝3的情况。

天才数学家开始了挑战

在证明费马大定理的征程中，打开了最初突破口的就是瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707～1783）。欧拉使用平方后为负数的虚数，对n＝3的情况，也就是“没有自然数组合使得x³＋y³＝z³成立”尝试了证明。不过，他当时的证明并不完整。之后到19世纪，德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss，1777～1855）对其进行了完整的证明。

实际上，对于n为合数（可以用两个以上的素数之积来表示的数）的情况无需进行证明。例如当n＝6（2×3）的时候，x⁶＋y⁶＝z⁶可以转换成 (x²)³＋(y²)³＝(z²)³ 来表示。在这里，令X＝x²，Y＝y²，Z＝z²的话，则可写成X³＋Y³＝Z³，也就还原成了n＝3的情况。由此可以看出，对于费马大定理，只要能够证明“n是素数的情况”就可以了。

1825年，德国数学家彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet，1805～1859）对n＝5的情况进行了证明。1839年，法国数学家加布里埃尔·拉梅（Gabriel Lamé，1795～1870）对n＝7的情况进行了证明。但是很明显，如果像这样对n为素数的情况一个一个地去考察，是永远也证明不完的，因为素数是无限的。

在这样的情况下，1850年，德国数学家恩斯特·库默尔（Ernst Kummer，1810～1893）证明了除去n为“非正则素数”这种特殊的素数（从小到大有37、59、67、101……无限个）的情况外，对其他素数而言，无论n有多大，费马大定理都成立。此外，他也证明了n为100以下的非正则素数时，费马大定理也成立。基于这些成果，法国科学院授予了库默尔金质奖章和奖金。

但是，由于非正则素数也存在无限个，库默尔的成果并不能彻底解决费马大定理的证明。之后一直到20世纪，在很长一段时间里这一问题都没有进展。热爱数论的德国富豪在1908年出资10万马克（在当时相当于约1亿元人民币）征集费马大定理的证明。这个新闻在当时引起全世界的轰动，很多业余数学家都声称自己“解决了”这个问题，但其实一个正确的证明都没有。

被强烈吸引的10岁少年

时间流逝到1963年，在英国剑桥的某个图书馆阅读着埃里克·坦普尔·贝尔（Eric Temple Bell）的著作《最后的问题》(The Last Problem）的10岁少年，被书中介绍的费马大定理强烈吸引了。这个少年，正是在1995年最终证明了费马大定理的安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles，1953～）。

怀尔斯从剑桥大学毕业后，成为了研究“椭圆曲线”（下图）的数学家。椭圆曲线是在现代数学的“算术几何”领域中登场的曲线。

上图展示了a＝－1、b＝0时的椭圆曲线。当上述数学式的右边＝0时无重根的话（没有相等的根可以保证曲线的平滑)，就被称为椭圆曲线。关于椭圆曲线有理数解数目的伯奇与斯温纳顿－戴尔猜想（BSD猜想），也是美国克雷数学研究所提出的7个悬赏100万美元的千禧年大奖问题之一。需要注意，“椭圆”这个名称只是历史由来，与通常所说的椭圆形的圆锥曲线没有关系。

数论，又被称为整数论。从名字可以看出，这是研究整数性质的领域。而用几何学的手段去解决整数相关问题的领域，就叫做算术几何。

1982年，当时29岁的怀尔斯已成为美国普林斯顿大学的教授。在1984年召开的椭圆曲线学术会议上，他得知了一个重要的想法，即德国数学家格哈德·弗赖（Gerhard Frey，1944～）提出的“如果‘谷山-志村猜想’成立的话，费马大定理也成立”的主张。这是一条尝试运用算术几何去证明费马大定理的想法，与之前库默尔等众多数学家所走的路完全不一样。

谷山-志村猜想是日本数学家谷山丰（1927～1958）和志村五郎（1930～2019）在20世纪50年代提出的算术几何中的猜想。当时被认为是完全不同的两个概念的“椭圆曲线”和“自守形式”，在谷山-志村猜想里被认为在数学上是等价的。谷山丰和志村五郎提出的这一想法，随后被认为是现代数论中非常重要的猜想并引人注目。

弗赖的这个想法在一直研究着椭圆曲线的怀尔斯看来，可以说是导向费马大定理最终证明方法的桥梁。

最美丽最重要的瞬间

“只要能够正确证明谷山-志村猜想，费马大定理就得到了证明！”怀尔斯回想起10岁时所怀的“要用自己的双手证明费马大定理”的梦想，下决心认真去解决这个问题。他中断了其他所有的研究工作，也几乎不在大学里露面，秘密地开始了对谷山-志村猜想的证明工作。

经过9年的辛苦工作，1993年6月23日，怀尔斯在母校剑桥大学的牛顿数学研究所的学术报告会上，在众多听众面前，宣称他证明了谷山-志村猜想，也即成功证明了费马大定理。

宣布成功证明时的安德鲁·怀尔斯博士

但之后发生了非常遗憾的事情。论文在提交时，却被发现证明里存在一部分致命的错误。不过，怀尔斯毫不气馁、继续苦战，在1994年9月19日的早上，突然发现了可以修正错误的方法。怀尔斯之后表示那是他“研究生涯中最美丽最重要的瞬间”。1995年，他的证明的正确性得到了确认，终于将经历了约360年、众多数学家参与其中的挑战历程画上了句号。

本文摘自《科学世界》2020年第12期。

新媒体编辑 | 张丽君

审核 | 周辉  方晨

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