趣解面试高频算法难题：数组中的第K个最大元素
第二天，在另一家公司……
小灰是吧？请简单介绍一下你自己。
下面考你一道算法题：
给你一个无序数组，要求你找出数组中的第k大元素。
题目是什么意思呢？比如给定的无序数组如下：
如果 k=6，也就是要寻找数组中的第6大元素，这个元素是哪一个呢？
显然，数组中第一大的元素是24，第二大的元素是20，第三大的元素是17 ......第6大的元素是9。
方法1：排序法
这是最容易想到的方法，先把无序数组从大到小进行排序，排序后的第k个元素，自然就是数组中的第k大元素。
先进行排序的话，算法时间复杂度是O（nlogn），
性能有些差，有没有更优化的方法？
方法2：插入法
维护一个长度为k的有序数组A，用于存储已知的k个较大的元素。
接下来遍历原数组，每遍历到一个元素，和数组A中最小的元素相比较，如果小于等于数组A的最小元素，继续遍历；如果大于数组A的最小元素，则插入到数组A中，并把曾经的最小元素“挤出去”。
比如k=3，先把最左侧的7,5,15三个数有序放入数组A当中，代表当前最大的3个数。
这时候，遍历到元素3， 由于3<5，继续遍历。
接下来遍历到17，由于17>5，插入到数组A的合适位置，类似于插入排序，并把原先最小的元素5“挤出去”。
继续遍历原数组，一直遍历到数组的最后一个元素......
最终，数组A中存储的元素是24,20,17，代表着整个数组中最大的3个元素。此时数组A中最小的元素17，就是我们要寻找的第k大元素。
这个方法的时间复杂度是O（nk），如果k的值比较大，其性能可能还不如方法一。
呵呵，没关系，回家等通知去吧！
小灰，你刚刚去面试了？结果怎么样？
这是一道很经典的算法题，解法有很多种，
其中最容易想到的是利用二叉堆来解决。
关于二叉堆的概念，在上一本《漫画算法》中我们介绍过。简而言之，二叉堆是一种特殊的完全二叉树，它包含最大堆和最小堆两种形式。
其中最小堆的特点，是每一个父结点都小于等于自己的子结点，堆顶是整个堆中最小的结点。要解决这个算法题，我们可以利用最小堆的特性。
别急，让我来解释一下这个方法的思路。
方法3：最小堆法
维护一个容量为k的最小堆，堆中的k个结点代表着数组当前最大的k个元素，而堆顶显然是这k个元素中的最小值。
遍历原数组，每遍历一个元素，就和堆顶比较，如果当前元素小于等于堆顶，说明该元素一定不是最大的k个元素之一，继续遍历；如果元素大于堆顶，说明该元素有可能是最大的k个元素之一，把当前元素放在堆顶位置，并调整二叉堆（下沉操作）。
遍历结束后，堆顶就是数组的最大k个元素中的最小值，也就是第k大元素。
假设k=5，具体的执行步骤如下：
1. 把数组的前k个元素构建成堆。
2. 继续遍历数组，和堆顶比较，如果小于等于堆顶，则继续遍历；如果大于堆顶，则取代堆顶元素并调整堆。
遍历到元素2，由于 2<3，所以继续遍历。
遍历到元素20，由于 20>3，20取代堆顶位置，并调整堆。
遍历到元素24，由于 24>5，24取代堆顶位置，并调整堆。
以此类推，我们一个一个遍历元素，当遍历到最后一个元素8的时候，最小堆的情况如下：
3. 此时的堆顶，就是堆中的最小值，也就是数组中的第k大元素。
这个方法的时间复杂度是多少呢？
构建堆的时间复杂度是 O（k）
遍历剩余数组的时间复杂度是O（n-k）
每次调整堆的时间复杂度是 O（logk）
其中2和3是嵌套关系，1和2,3是并列关系，所以总的最坏时间复杂度是O（（n-k）logk + k）。当k远小于n的情况下，也可以近似地认为是O（nlogk）。
这个方法的空间复杂度是多少呢？
刚才我们在详细步骤中把二叉堆单独拿出来演示，是为了便于理解。但如果允许改变原数组的话，我们可以把数组的前k个元素“原地交换”来构建成二叉堆，这样就免去了开辟额外的存储空间。
因此，这个方法的空间复杂度是O（1）。
代码很简单，让我们来看一看：
public class KthLargestNumber { /** * 寻找第k大的元素 * @param array 待调整的堆 * @param k 第几大 */ public static int findKthLargestNumber(int[] array, int k) { //1.用前k个元素构建最小堆 buildHeap(array, k); //2.继续遍历数组，和堆顶比较 for (int i = k; i < array.length; i++) { if (array[i] > array[0]) { array[0] = array[i];
downAdjust(array, 0, k); } } //3.返回堆顶元素 return array[0]; }
/** * 构建堆 * @param array 待调整的堆 * @param length 堆的有效大小 */ private static void buildHeap(int[] array, int length) { // 从最后一个非叶子结点开始，依次下沉调整 for (int i = (length - 2) / 2; i >= 0; i--) { downAdjust(array, i, length); } }
/** * 下沉调整 * @param array 待调整的堆 * @param index 要下沉的结点 * @param length 堆的有效大小 */ private static void downAdjust(int[] array, int index, int length) { // temp保存父结点值，用于最后的赋值 int temp = array[index]; int childIndex = (2 * index) + 1;
while (childIndex < length) { // 如果有右孩子，且右孩子小于左孩子的值，则定位到右孩子 if (((childIndex + 1) < length) && (array[childIndex + 1] < array[childIndex])) { childIndex++; } // 如果父结点小于任何一个孩子的值，直接跳出 if (temp <= array[childIndex]) {
break; } //无需真正交换，单向赋值即可 array[index] = array[childIndex]; index = childIndex; childIndex = (2 * childIndex) + 1; }
array[index] = temp; }
public static void main(String[] args) { int[] array = new int[] { 7, 5, 15, 3, 17, 2, 20, 24, 1, 9, 12, 8 }; System.out.println(findKthLargestNumber(array, 5)); }}要寻找数组的第k大元素，其实还有一种方法，这种方法就是分治法
方法4：分治法
大家都了解快速排序，快速排序利用分治法，每一次把数组分成较大和较小的两部分。
我们在寻找第k大元素的时候，也可以利用这个思路，以某个元素a为基准，把大于a的元素都交换到数组左边，小于a的元素都交换到数组右边。
比如我们选择以元素7作为基准，把数组分成了左侧较大，右侧较小的两个区域，交换结果如下：
包括元素7在内的较大元素有8个，但我们的k=5，显然较大元素的数目过多了。于是我们在较大元素的区域继续分治，这次以元素12位基准：
这样一来，包括元素12在内的较大元素有5个，正好和k相等。所以，基准元素12就是我们所求的。
这就是分治法的大体思想，这种方法的时间复杂度甚至优于最小堆法，可以达到O（n）。有兴趣的小伙伴可以尝试用代码实现一下。
好了，关于寻找数组第k大元素的方法，我们就介绍到这里，
想要了解更多内容，可以阅读《漫画算法2》哦！
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