如何学习数学？（一个数学家的辩白）
数学是什么？
数学有什么用？
数学家是怎样的一类人？
他们如何开展研究？
数学是心灵的产物，但不屈从于人类意志。
它的有趣和美丽，是一种独特看待世界的方式。
当我看见彩虹，我不仅是看到一道光亮多彩的圆弧，也不仅是看到雨滴对阳光的影响，它将白色的日光还原为构成日光的色彩成分。彩虹的形状和亮度需要解释：为何是圆弧状？为何光线如此之亮？为何数以万计的雨滴折射产生的数以万计有色光线，不会重叠并模糊掉呢？
答案在于彩虹的几何学。当光线在雨滴内部进行反射，雨滴的球状形体导致光线聚焦于某一特定方向，每一滴雨发射出明亮的圆锥形光线，或是说每一种颜色的光形成自己的圆锥体，而每一种颜色形成的圆锥体角度稍有不同。当我们望向彩虹，我们的眼睛只能侦测到位于特定方向的圆锥体，每一种颜色的方向在天空形成一个圆弧。所以我们看到许多同心圆，每种颜色形成一个同心圆。
你所见的彩虹和我所见的，是由不同的雨滴所形成。我们的眼睛位于不同的位置，所以我们侦测到有不同的雨滴所产生的不同圆锥体。
彩虹是个人经验。
沿着布雷斯支流散步时，我看到，每隔一段距离，就有道路和电话线横越布雷斯支流，许多鸟类就停驻在电话线上。从远方观看，它们像是乐谱，是水平线上的一对肥肥的小圆点。它们似乎喜欢停驻在特别的地方，我并不清楚为何会这样，不过唯一可以肯定的是，如果有一大群鸟类停驻在同一条线上，则最后必定是呈均匀分布。
均匀分布是一个数学模式。我不相信鸟儿“知道”它们应该均匀分布，但因为每一只鸟儿都想要有自己的“个人空间”，所以当其他鸟儿靠得太近，它会向另一侧挪移，除非有其他鸟儿正从另一侧向它挤过来。“人口压力”会使它们均匀散开，位于密度较高区域边缘的鸟儿会被挤向密度较低的区域，最终在电话线上形成等间距离。
这是一个“鸟的晶体”。这不是一个模糊的比喻，创造一般实验或方解石结晶的数学过程，与此没有差别。让鸟儿均匀分布的相同过程，也让固体中的原子排列形成一个重复的晶格。原子也有一个“个人空间”：如果彼此太接近则相互排斥。“鸟的晶格”是一维晶格，一维晶格包含等距离的点。
当狗行走时，存在某种特殊的模式。左后脚、左前脚、右后脚和右前脚，如同一小节四拍的音符，以相同时间间距轮流踏向地面。当狗加快速度小跑时，左后腿和右后腿先一起踏向地面，然后是另外两只腿，如同一小节两拍的节奏，交替而行。如果两人一前一后，披上牛的戏装，脚步完全不配合而行，就形成了牛的小跑步。
狗的步伐是数学的具体化，不知不觉成了步态分析的一个范例。它在医药上有重要应用：人类经常无法正常移动自己的腿，特别是婴儿和老年人。分析如何移动能够显露问题的本质，可能有助于治疗。
如果我们能了解腿部的移动，就可以设计出可靠的机器人去拆除老旧的电厂、找出未爆弹和地雷和探索遥远的星球。
如果我们学会再次发明腿，一切都将改变。
1.继续读下去：
许多学生认为，一旦碰到读不明白的内容，就应该停止继续读下去。我常告诉我的学生，如果你遇到了困难，不要装作若无其事，继续读下去，通常下一句话或是下一段话就会解决你的问题。
2.向助教或老师求助：
通过尝试自己解决问题，你将让你的心灵活动起来，这很像庞加莱研究的“孕育”阶段。但如果你勇敢地继续研读下去，却仍然无法理解，就应该向专业人士请教。
3.将洞见注入自己的思考：
这整个过程和解决迷宫的一般方法很像——计算机科学家称此方法为“深度优先搜寻法（depth-first search）”。如果可能，尽可能深入迷宫， 如果卡住，就回到有分岔的前一地点，然后走另一条路，绝对不要重复已走过的路，这个规则将引导你安然走出任何迷宫。这方法应用于学习上，虽然不能保证一定行得通，但仍然是个良好的技巧。
4.阅读和主体相关的书籍：
去图书馆找到几本同样主题或相似主题的书，以非常轻松的态度去研读，跳过那些太难或太无聊的东西，集中在那些吸引你注意力的内容上。你会非常惊讶地发现：你所阅读的内容到了下星期或明年将变得很有用。在这期间，潜意识都在运作，它已经在印象里创造出某种秩序，只需等待少数的简单线索，就能形成一致的图像。
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2017新年快乐
HAPPY NEW YEAR
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以上内容选自《给年青数学人的信》
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