丝竹鼓罄的物理奥秘：从经典到量子
作者 武际可（北京大学教授）
尼采曾说：没有音乐，生命是没有价值的。音乐渗透了我们的生活，几乎没有人不喜欢听音乐。不过，当你陶醉于动听的乐曲时，可知道其中还蕴含着大量的科学知识？音高怎么确定的？乐器是怎样发声的？音色能够模拟吗？……在音乐这个艺术领域里，数学、物理、生理学、心理学、电子学、计算机科学等多种学科密切交融在一起，历史上像毕达哥拉斯、伽利略、牛顿、亥姆霍兹、朱载堉、韦伯等大名鼎鼎的数学家、科学家、音乐家都在此留下过探索的足迹。但直到今天，音乐和音响背后的科学道理也还没有完全弄清，比如说，研制新的音响设备，用计算机模拟歌唱，都还面临着许多未解的难题。
音乐背后的科学问题，首先是力学问题。因为声音的产生和传播本身就是一个典型的力学问题，乐器的研制和改进，无论是管乐器还是弦乐器，抑或是其他乐器，都离不开深入的力学知识。我们今天着重就音高与振动频率的关系，以及弦乐器与管乐器（即“丝”与“竹”）这两样最主要的乐器的发声规律等与力学联系紧密的方面来谈谈音乐里的物理。我们还能看到，力学和科学的发展不仅滋润了音乐，对音乐的研究也丰富了科学研究本身。
1声音与音调的高低
在弄清楚发声的音高与频率的关系之前，人们都是以弦的长度来度量音高的。弦长减去一半，音高升高八度。早在我国春秋时期，《管子》一书中就记载了“三分损益”的规则，即弦长缩短三分之一，音高升高五度，然后再三分后，增长三分之一，就得到比原来高二度的音。这就是五度损益各一次，如此下去，就得到一系列和谐音。这种标定不同和谐音的关系的方法称为“五度相生”律。在西方的古希腊，大约同时代的毕达哥拉斯也得到了相同的规律。两个相隔八度的音的频率比例是2，律学的核心任务就是在一个八度内找到其他重要的音。人们发现，用五度相生律重复损六次、增六次，共12次，可以得到12个音，，但最后得到的第12个音仍然距离真正的那个八度音有距离，而且相邻音符的频率比例并不相等，给转调造成了困难。
为了解决这个问题，中国明代音乐家朱载堉（1536—1611）于万历十二年（1584年）首次提出“新法密率”（见《律吕精义》、《乐律全书》）。他将一个八度之间的12个音所对应的弦长，按照将2开12次方，即
宋代陈旸在他所著的《乐书》中说：“凡物动而有声，声变而有音。”在这里，他已经模模糊糊地意识到声音是和物体的运动相联系的。只不过把声音和物体的运动精确联系在一起的第一人，是意大利的科学家伽利略（1564-1642），他准确地认识到声音是物体的振动经由空气传播产生的一种波动。在其1638年出版的《关于两门新科学的对话》中，伽利略首先讨论了悬挂的单摆的摆动问题，其后讨论了弦的振动以及共振问题。
伽利略是怎样得到这一结论的呢？他是这样说的：
当我为了除去黄铜板上的某些污点而用一个尖锐的铁凿子刮它，而且使凿子快速地在其上运动，在多次磨划中，我曾一次或两次听到这块板发出一种相当强的和清晰的哨音；更仔细地审视这块板，我注意到一长排精细的条纹，彼此之间平行地和等距离地排列着。用凿子一次又一次地磨刮，我注意到仅当这块黄铜板咝咝地发出噪声时所有的标记才都留在上面；当磨刮没有伴随咝咝声时就丝毫没有这种标记的痕迹。重复这种把戏若干次并且使磨刮的速度时而快时而慢，哨音的声调相应地就时高时低。我还注意到当音调较高就形成的标记更紧密；而当音调较低沉时它们就分离得较远。我还观察到，在一次磨刮期间，速度向着极限增加时，声音就变得较尖锐并且条纹变得更密，但总是以这种方式保持一定的尖锐程度和等距。此外一旦磨刮伴随有咝咝声，我就感觉到凿子在我掌握中颤抖并且一种颤栗通过我的手。简单地说，在凿子的情形下我们看到、听到的和在一种低语紧跟着高声的情形下看到和听到的完全一样；因为，当没有产生音调的呼吸进行时，与发声时在喉和咽喉上部的感觉相比，特别是与使用又低又强的音调相比，人感觉不到喉咙或口有任何讲话的运动。
有几次我还在小竖琴的弦中观察到有两根与由上述磨刮产生的两个音调同度；并且在那些音调最不同的弦中，我找到两根弦相差一个纯五度。在测量由两次磨刮产生的标记的距离时，我们发现一次磨刮产生标记的45格包含了另一次的30格，这正好是赋值于五度的比例。
用现在的语言来说，伽利略是利用凿子与铜板之间的干摩擦所产生的噪音和通过凿子的痕迹来考察振动的频率的。这个发现是非常了不起的，因为到伽利略写这本书的时候，力学的基本理论体系还没有建立，那时候也还没有弹性体的胡克定律，他完全是从单摆的类比，纯粹是运动学的考查，并且经过切身体验认识到的。
萨伐尔的实验装置
再后来，英国学者胡克（Robert Hooke，1635-1703）设想用一个带齿的旋转轮子来研究。他发现，当一张硬纸卡片搁在齿上，而轮子旋转起来时，就会发出声响。轮子旋转的速度变化时，卡片的振动频率也随之改变，声音的高低也因之发生变化。胡克的这个观察后来被法国实验物理学家萨伐尔（Félix Savart，1791-1841）准确实现。这个实验比较直观而令人信服地验证了声音的高低是取决于振动频率的。伽利略虽然在历史上被公认是最早把声音同振动频率联系起来的学者，但由于他是从单摆比拟，进而从刀具的磨削痕迹得到的结论，对于大众来说，并不直观。而胡克的想法和萨伐尔准确实现的实验既直观，又能够直接计算频率，所以才最终确立了声音同振动的关系，并且能够实际地确定音高和频率的定量依从。
2弦上的物理
弦乐器发声频率的最基本的要素，是弦长、弦的张力和弦的密度。相同张力和密度的弦，其音高就决定于弦的长度。所以小提琴手总是用手指去不断变换弦的振动长度，以奏出美妙的旋律。不过每一样弦乐器，都有它最合适的长度，这也就决定了空弦上的音高。例如小提琴的空弦长度（或称有效弦长）是328毫米，中提琴的空弦长度是360毫米，大提琴是654毫米。而钢琴上最长的有效弦长弦则有两米多。
法国科学家梅森（Marin Mersenne，1588-1648）在1625年左右得到的弦振动频率的经验公式
于1636年发表在他的著作《和声学大全》上，比伽利略早了两年。不过后来人们研究认定，伽利略的实验实际上是早于梅森的。这个公式里的T代表琴弦的张力，ρ代表琴弦的密度，L代表弦长。我们看到这个经验公式已经包含了决定弦振动频率的三个主要因素：长度、密度和张力。
一根琴弦在弦长不同时，可以有多种振动模式。不同振动模式的频率是基本振动模式频率的两倍、三倍等等。这些振动模式的不同混合可以产生不同的音高。
在给定弦长后，对弦添加张力，这个张力的大小很有讲究。弦绷得不能太紧，否则像小提琴和琵琶之类的乐器，用手指压弦到指板上或是压弦到品上，觉得有点勒手。太松也不行，这时弦的发音太低，音量也太小。一般小提琴的每根弦的张力大约是7—9千克重力左右。四根弦的总张力约为30千克重力。至于钢琴的弦，一共有二百多根，普通钢琴有88个键，并不是每一个键对应一根弦，而通常是对应两根或者三根。这么多的弦，再加上钢琴的弦有的很长，最长的有效弦长要超过两米，所以单根弦的平均张力在150千克以上，钢琴的弦的总张力大约能高达15到20吨。像小提琴、琵琶、吉他这类用木料做的琴的琴身一般能够支持琴弦的张力，但钢琴、竖琴那样的由多根弦构成的弦乐器就不行了，它们起先也是用木头制作的，后来发现需要用钢铁制作特殊的支架才能保证支持弦的张力。
虽然琴身和支持弦的张力的支架已经很坚硬，但在绷上了弦之后，它仍然会有微小的变形。这个变形会给调音带来一点小麻烦。这就是，当你把一根弦的音调好了，也就是说这根弦的张力达到了标准，这时你再去调另外一根弦的张力，不管你是增加还是减少张力，都会影响支架或琴身的变形，以致使已经调好的那根弦张力不再合适，需要重新调。有经验的小提琴手，在调四根弦的音时，并不是一根调好后再调另外一根，而是把四根弦先大致调到松紧程度差不多然后再细调。至于钢琴的调音，因为弦很多，调音要复杂得多，经常需要专业的调音师来调音。
现在再说弦的密度。早期的琴弦，是用生丝或羊肠制成。后来改用金属制造，既结实又容易大量生产。像小提琴，最细的E弦是用裸金属制作的，其余的A、D、G三根比较粗的弦就不能用裸线了。原因是，在弦的张力松紧程度大致一样的情况下，弦的振动基频是与弦的密度的平方根成反比例的。也就是说，空弦低八度的弦应当直径加大一倍。另一方面，由材料力学知道，金属杆直径增加一倍，它的抗弯刚度就会是原来的八倍，因为抗弯刚度是与直径的三次方成比例的。所以如果用裸弦，那么几根低音弦由于密度加大了，结果会使弦的抗弯刚度增加得太多。这时，弦将不再体现为柔韧的弦而变得更像一根梁了。
我们知道所有弦乐器的理论基础是达朗贝尔提出的弦振动理论。弦与梁的本质区别是弦不能承受弯矩，即弯曲刚度近似为零。而对于梁的振动，则要复杂得多。它的频率不仅和密度、张力、长度有关，而且还和端头的固定状态有关。所以为了避免低音弦变为梁，就采用缠弦的办法。方法是在很细的裸金属线外面缠一层细金属丝。如下图所示，这层缠丝只会改变弦的密度，而对弦的弯曲刚度影响很小，还是像细的裸弦一样柔韧。各种弦乐器的低音弦采用的都是缠弦。
缠弦
好了，我们已经有了一些合格的，有一定密度的，张力合乎要求的，也很柔韧的弦了。如果再配上一个好的共鸣体（如小提琴的音箱，二胡的琴筒，吉他、阮、琵琶和古琴等弹拨乐器的琴身，钢琴的音板等等），就是一件理想的乐器了。
亥姆霍兹
无论东方还是西方，弦乐器最早都是拨弦乐器，用马尾和琴弦摩擦发声是比较晚的事了。要弄清楚在弓弦摩擦条件下的弦的运动规律并不是一件容易的事。其中最早比较仔细地考察这个问题的人是德国物理学家、心理学家、哲学家亥姆霍兹（Hermann von Helmholtz,1821－1894）。他是能量守恒定律的发现者，他最早测定神经脉冲的传播速度，重新提出托马斯•杨的三原色视觉说，研究了音色、听觉和共鸣理论，他发明了验目镜、角膜计、立体望远镜。他对黎曼创立的非欧几何学也有研究。他在1862年出版了《关于作为音乐理论生理基础的音调感觉》（英文译名为On the Sensations of Tone as a Physiological Basis for the Theory of Music）[1]，这本书是现代音乐心理学的奠基之作。在书中，他描述了弓子在弦上拉动时，弦被拉的地方形成一个折角，这个折角以一定的速度向弦的一端运动，然后再返回的现象，后人把它称为“亥姆霍茨运动”。
拉曼
在探索弓弦运动机理上迈出第一步的是印度科学家拉曼（Chandrasekhara Venkata Raman, 1888–1970) 。就是那位发现了光通过介质时由于入射光与物质的分子运动相互作用而引起频率变化的印度人，这种散射被后人称为“拉曼散射”，其结果称为“拉曼效应”，他因此获得了1930年诺贝尔物理学奖。在1918年拉曼发表的长篇论文《弓拉弦振动的力学理论》[2]中，他给出了一个简化模型：弦是柔而不可伸长的，由两端的张力拉紧，弓子作用点距琴马的距离为弦长的若干分之一，摩擦系数假定是弓弦相互滑动速度的函数。他用手算给出了弦的一些周期运动，包括亥姆霍兹得到的运动。由于这种模型是非线性的，所以实际上它是关于用非线性理论研究乐器发声的最早的文献之一。
3律管与管口矫正
在一首乐曲中，各音的音高是相对的，并不存在一个标准音高。实际上在一个乐队里，有管乐器，也有弦乐器，要合奏，就要相互之间发声是和谐的。弦乐器音高比较容易调，只要调一下弦的张力大小，或者说弦的松紧程度就可以了。而管乐器要改变音高就没有那样容易了。何况乐队中还有钟、锣这样更不容易变音的乐器。所以要规定一个标准音高。
用弦乐器来确定各音的相对高度，可以很准确，这是弦乐器的优点。因为人们早就知道，在均匀的各处张力相同的一根弦上，音高（或者用后来人们的话说是弦振动的频率）是准确地和弦长成反比的。只不过，当年的弦是用生丝制作的，那种弦最大的缺点是，对调好的音不容易保持。因为它受天气、湿度和温度的影响太大。今天定好的音，明天一下雨，天气潮湿了，音高就变了。于是，在制造音律标准时，人们便想到制定一种有标准音高的管子，称为律管。
这就是晋代杨泉在他的《物理论》中所说的“以弦定律，以管定音”。就是说，确定各音之间音高的比例是需要借助于弦的，而要制定标准的音高，就要借助于管了。
在一个相当长的时期里，人们把律管的长度与音高的关系也像弦那样看待，即也像五度相生对于弦那样，当长度减小三分之一，音高升五度。律管长度减半，升高八度。后来发现无论如何都无法弄准。在东汉之前的大学问家都一直坚持这种错误的认识，直到西汉的京房才认识到“竹声不可以度调”。
实际上，律管就是两端开口的一根一定长度的直管子，律管开口端的条件是十分复杂的，就是说在开口端外部也会有一部分空气和管中的空气一同振动，所以要计算管长与频率的关系是很困难的。即使现今有强有力的计算机作为计算工具，也会有相当的难度。所以我国古代聪明的学者是用一个管口校正的办法来处理这个问题的，即把管外参与振动的空气折合一个管的长度对管长进行修正，这就是管口校正的真谛。
到了明代，朱载堉采用实验的办法得到一个结论：“是以黄钟折半之音不能复与黄钟相应，而下黄钟一律也，他律亦然。”（朱载堉：《律吕精义》）意思是说，把黄钟的律管折半，比高八度的黄钟要低半个音。这是一个很重要的发现。
要说明的一点是，管口校正问题一直是中国学者的讨论，在西方的文献中没有有关的记载。英国著名物理学家丁铎尔（John Tyndall,1820－1893年）曾有著作《Sound》（《声学》，根据1869年第二版英文版翻译，于1874年出版中文版），该书由当时在江南制造局编译馆任职的英国人傅兰雅与徐建寅(1845-1901)合译。这是第一本用中文系统介绍西方声学的著作，它全面、系统，文字生动，影响中国达数十年之久，直到20世纪初还没有能取代的读物。
徐寿
徐建寅的父亲徐寿(1818-1884)在翻译过程中，经常与傅兰雅讨论书中涉及的问题。徐寿是熟悉我国古代音律学的。在中国古代乐律中，在讨论管口校正之前，即东汉之前有一种说法，说弦乐器或管乐器的弦或管增长一倍或缩短一半，则所发的声会降低或升高八度。而《声学》在卷五中也说：“有底管、无底管生音之动数（即频率），皆与管长有反比例。”这两种说法是一致的。可见直到《声学》出版之前，西方一直还没有管口校正的概念。徐寿用铜管做实验，发现只在管长比为4：9时，所吹出的音才相差八度。
徐寿的这个发现与中国古代的认识和《声学》中所述的都不同。不过它与朱载堉的实验结论是相近的。傅兰雅把徐寿的实验结果写信告诉了《声学》的作者丁铎尔，同时将信的复件寄给了英国的《自然》杂志。《自然》杂志请人答复，说徐寿的结果是正确的。《自然》杂志还以《声学在中国》为题发表了傅兰雅的来信，同时加了按语说：“我们看到，一个古老的定律的现代的科学修正，已由中国人独立解决了，而且是用那么简单的原始的器材证明的。”[3]
1762年（乾隆27年），岭南医生何梦瑶（1693—1764）综合康熙皇帝所著《律吕正义》与曹廷栋所著《琴书》而成书为《赓和录》上、下两卷，该书说到律管时，称：“盖径同，则无论长短，但取九分之四，则声相应，与弦之全半相应不同也。”这句话，就是徐寿文章的意思，说明徐寿的这个结果早就在何梦瑶时期就已经被发现了。另外，朱载堉从实验中得出了“黄钟折半之音不能复与黄钟相应，而下黄钟一律也”的结论，根据参考文献[3]，朱载堉从他所列的36根律管的尺寸，推算得知，1尺长度律管正黄钟管与0.4719尺的高八度的黄钟相和，这个比例是9:4.2471，是和何梦瑶与徐寿的结果相近的。话又说回来，律管是两头开口的管子，要从一头吹响，那么在吹响的这头，嘴唇遮挡多大，遮挡的大小又会影响管口补偿的长度。所以一般说来，在当时定义不够严格的条件下来说，朱载堉和何梦瑶所得到的数据，应当认为是相同的，这种差别是难以避免的。
当律管发声的长度和管口校正弄清楚了之后，对于一般管乐器的音准就不再是困难的问题了。
圆形鼓面的各种振动模式。不同振动模式的频率是基本振动模式频率的1.59倍、2.14倍，等等。
4从认识乐器走向现代科学
1746年，法国科学家达朗贝尔在研究弦的振动的基础上发表了论文《张紧的弦振动时形成的曲线研究》，这是现代偏微分方程的经典文献。迄今大部分偏微分方程的教程都是由弦振动方程开篇的。
英国科学家瑞利，在系统研究乐器发声理论的基础上利用他在埃及休养的时间写成了巨著《声学理论》（Theory of Sound, 1877-1878年），系统总结了他研究弹性振动的成果。这本书成为近代弹性体振动的经典著作。从研究弹性体振动和声波开始，他后来又把兴趣扩展到了水波、电磁波、光波各个方面，深入理解一切波动的本质性质。后来他发现了弹性介质的表面波；他又发现了入射光在微粒的直径小于光波长的微粒上散射后散射光和入射光波长相同的现象；为了解释“天空为什么是蓝色的”这个长期令人不解的问题，他导出了分子散射公式，太阳光在穿过大气层时，各种波长的光都要受到空气的散射，其中波长较长的波散射较小，大部分传播到地面上。而波长较短的蓝、绿光，受到空气散射较强，天空中的蓝色正是这些散射光的颜色，因此天空会呈现蓝色。这个公式被称为“瑞利散射定律”。
被乐器和声音的现象吸引，人类在好奇心的驱使下得到的收获，是远远不能用发明摆弄乐器的各种具体结果来显示的。人们从最古老的七弦琴就开始研究乐器，根据对声音的了解，逐渐发现，声音是一种波，后来人们又发现了水波、电磁波、光波。酷爱音乐的开普勒追求宇宙的谐和，发现了行星运动的三定律。后来人们通过对弦振动的研究，发现在拨动一根有限的弦时，它只能产生若干个振动频率，敲击鼓面也只能得到若干频率的鼓声。同样，电子在绕原子核转动时也只能在若干个能级上运动。它们都是由一个二阶偏微分方程的特征值决定的，弦是一维的弦振动方程，鼓是二维膜振动方程，而后者是量子力学中的三维的薛定谔方程。
大家经常画的电子绕着原子核转的原子图像是错误的。电子不像一个粒子，它更像一个三维鼓面。电子的不同运动模式对应于三维鼓面的不同振动模式。计算这些振动模式的频率，就可以得出氢原子光谱。这就是量子力学的旋律。
你可曾想过，当你倾听一首优美的乐曲时，刺激你耳鼓的，从时间上来说是由声音以一定的频率传过来的一粒粒的能量，而从演奏者到你耳朵之间的空间里的传播过程，又展现为波动。这不就是一种波粒二象性吗。啊！原来在音乐中就包含着量子力学中的二象性原理的寓意。
沿着这个思想发展下去，到最近半个世纪，一种带着“纳须弥于芥子”气势的“超弦理论”在理论物理中悄然兴起，它的意图是解释宇宙中的一切，以实现爱因斯坦生前未竟的宏愿——统一场论。超弦，无非是高维空间中的一根琴弦，它固有的振动状态，就体现了物质的各种基本粒子的形态、能量、质量以及带电量。可见，即便是最高深的“超弦”，本质上也还是来源于对弦乐器的认知延伸和更为抽象的想象[4]。从认识乐器出发，你能触摸到近代科学的最前缘！
参考文献
[1] H. von Helmholtz:Lehre von den Tonempfindungen. Braunschweig,1862.English edition: On the sensations of tone, Dover,NY 1954
[2] C. V. Laman: On the Mechanical Theory of the Vibrations of Bowed Strings and of Musical Instruments of the Violin Family, with Experimental Verification of Results - Part 1, Bulletin,Indian Association for the Cultivation of Science, 1918 1-158
[3] 中国科学技术史，物理学卷，戴念祖主编，科学出版社，2001年
[4] B.格林著，李泳译，宇宙的琴弦，湖南科学技术出版社，1999
[5] 武际可，音乐中的科学，高等教育出版社，2012年
本文原题为《丝竹背后话力学》，原载于《自然杂志》。《赛先生》获作者授权独家首发于电子媒体，发表时经再次修订和补充。
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