Majorana费米子与拓扑量子计算（上）

Original 2017-03-27 张广铭等 中国物理学会期刊网

1 引言

70 多年前，Ettore Majorana 在另一套表象下求解了Dirac 相对论协变的电子运动方程，发现了一种不带电荷的费米子，它的反粒子正是自身。从此，这种以Majorana 命名的中性费米子便一直是人们寻找的物质粒子。在基本粒子领域，幽灵般的中微子曾一度被认为很可能是Majorana 费米子，至今在世界上仍然有许多实验组在坚持不懈地探测中微子作为Majorana 费米子的可能性。超对称理论预言所有的玻色子与费米子都存在其超对称伴侣，而玻色子的超对称伴侣即是Majorana费米子。在暗物质被发现后，关于暗物质组成也有很多设想，其中相当引人注目的弱相互作用有质量粒子(WIMP)便很可能是这种Majorana费米子。

在另一个尺度上，凝聚态物理领域的科学家们也同样致力于寻找Majorana 费米子。虽然凝聚态系统的基本组分只包含电子与离子，所涉及到的基本相互作用只有电磁相互作用；然而从演生论的观点来看，复杂的凝聚态系统可以演生出十分丰富的物理现象和低能元激发准粒子。例如，在超导体系中，电子规范对称性的破缺提供了产生Majorana 费米子的可能性。Majorana 费米子不带电荷，所以超导体系中的电子和空穴叠加后的准粒子类似于Majorana 型粒子。通常的s 波超导体是自旋相反电子的配对，自旋的存在使得这样的准粒子并不等同于其反粒子。为了“冻结”电子的自旋自由度，可以通过破坏其宇称或者时间反演对称性来解除能带的自旋简并，等效地得到“无自旋”的费米子。由于费米统计，这样得到的无自旋费米子的配对必须服从奇宇称，这意味着它们必须以非平庸的形式配对，其中最简单的就是一维p 波和二维p+ip 超导配对。这样，最终得到的无自旋费米子的超导态具有非平庸的拓扑性质，通常称为拓扑超导，而Majorana 费米子可以出现在拓扑超导体系的缺陷附近或边缘上。

凝聚态物理领域的科学家们对Majorana 费米子的寻找，除了出于基础理论的研究外，还有另一重重大的意义：关于拓扑量子计算的物理实现。在2+1 维时空中，粒子按照相互交换所导致的效应不仅仅分为玻色子与费米子两类，还有介于两类之间的任意子。而任意子又分为两大类，阿贝尔与非阿贝尔任意子，前者在相互交换下波函数只改变一个任意相位，后者在相互交换下会导致量子态的改变。由于低维拓扑超导体系中产生的零能量Majorana 费米子(简称MZM)总是伴随着拓扑缺陷(比如涡旋)，所以MZM 之间的交换呈现出任意子的统计性质；而MZM 作为“半个电子”，其交换会改变由成对MZM 构成的量子态。因此，一个包含2N个MZM 的物理体系具有2^N-1维基态空间，可以用作N－1 个量子比特来存储信息；通过交换MZM，可以实现量子态在基态空间中的转换，即改变量子比特的状态，可实现拓扑量子计算。同时，任意子的存在受拓扑保护，局域的环境干扰无法湮灭掉一个任意子。另一方面，用做量子比特的基态空间受到超导能隙的保护，并且用于存储信息的MZM 在空间上是分隔开的，这意味着信息的编码是非局域的。由于环境噪声以局域的形式作用于体系，只有高阶微扰才能改变基态空间中量子比特的状态，这使得环境噪声对量子态的干扰极大地被抑制。因此，拓扑量子计算可以在硬件层面具有容错特性，并且能有效地抵挡环境的退相干效应。

本文的第一部分从相对论协变的电子的运动方程出发，简述Majorana 费米子的由来和基本性质。然后，分别介绍一维和二维的拓扑超导体系，从中可以看到MZM 如何在这些体系中产生，如何通过常规s 波超导来实现拓扑超导体系，以及如何探测MZM 存在的实验方案。在第三部分，简要介绍了拓扑量子计算的基本概念，并以MZM 为例说明如何通过交换非阿贝尔任意子来构造量子门操作，进而实现拓扑量子计算。

2 Majorana费米子

2.1 Majorana费米子的提出

Schrödinger 方程是描述微观粒子运动的非相对论性量子力学方程，由经典的能动量关系：E=p²/2m(其中E 为能量，p 为动量，m 为物体的质量)。运用算符分别对应下列关系式：

并将其代入能动量关系式中，可得Schrödinger 方程：

同理可推广到相对论情形，由相对论的能动量关系： E² = p²+m² ，用算符对应式代入，得Klein—Gordon方程：

然而该方程所引导出的守恒流可能出现负几率，这是由Klein—Gordon 方程中波函数对时间的两次微分导致的。于是Dirac 提出了一个对时间和空间都只作一次微分的线性方程：

其中x = x^μ = (t，x)表示4维的时空坐标，x表示3维的空间坐标， α_i，β(i = 1，2，3)为待定的系数矩阵。将(4)式对时间微分并与(3)式比较，得到α_i，β 满足如下关系：

这正是Clifford 代数所满足的性质。在3+1 维时空中，满足此代数的α_i，β 是4 维的矩阵。Dirac 给出了一组满足此关系的4×4 矩阵。在这个方程里，4×4 矩阵意味着Dirac 引入了一个不同于3+1 维时空的4 维线性空间，波函数作为其运动方程的解可以看成是该空间中的矢量，称为旋量，对应的空间称为旋量空间。为了将Dirac 方程(4)式写为Lorentz 协变的形式，(4)式两边同时左乘β并引入γ 矩阵γ^μ =(β；βα_i) ，得

其中p_μ= (i∂_t，-p) ， ∂_μ = ∂/∂x^μ 。

在Dirac表象下，

其中σ₀是二阶单位矩阵， σ_i 是泡利矩阵：

后来，Weyl 和Majorana 分别给出不同的矩阵选择方式，它们分别描述不同的物质粒子。在Weyl表象下，

在Majorana表象下，

注意(10)式所示的矩阵γ͂ⁱ(i = 0，1，2，3) 为纯虚数矩阵，则对应的Majorana 表象下的Dirac 方程式(6)为纯实的方程，因此Majorana 表象下方程和解都是实的。由于Dirac 旋量是4 分量复数的，这等于说，一个Dirac 旋量等价于两个相同质量的Majorana 旋量(全实的Majorana 旋量可分别充当Dirac旋量的实部或虚部)。

从另一个角度看，Majorana 费米子也可以用Dirac费米子来构成：在Weyl表象下，Dirac方程的解可以写为Ψ= (ψ_R，ψ_L)^T ，将解代入(6)式，有

Majorana 所要寻找的是一个正反粒子等同的粒子，即

从而得到两个独立的方程：

求解上述方程可以发现，只有当E=0时，Majorana费米子方程的解是定态的波函数。

2.2 凝聚态中的Majorana费米子

凝聚态体系中的基本研究对象是电子，所涉及的基本相互作用是电磁相互作用。作为一个量子多体系统，其低能集体激发会演生出许多重要的基本元激发准粒子。另外，金属系统都存在一个费米面，费米面以下是填满了电子的费米海，这恰好是Dirac 曾经所提出的试图用来解释反粒子的物理图像。在上文中我们已经看到Majorana费米子不具备Dirac费米子所拥有的U(1)规范对称性，正是这种规范对称性保证了Dirac费米子的电荷守恒。也就是说，要在凝聚态里寻求Majorana费米子，首先我们需要一个破缺U(1)对称性的费米系统。超导或超流态正符合这个要求。超导体系具有电子、空穴对称性，其准粒子由电子、空穴线性叠加构成，这些特征都暗示着Majorana 费米子在超导系统中存在的可能性，并且只有零能量的Majorana 费米子是能量本征态。MZM的存在导致了一个简并的基态空间，并被单粒子激发能隙保护，从而有望用于拓扑量子计算，本文后面会对这一点做详细介绍。事实上，严格推导可发现，在具有电子、空穴对称性的超导体系中，只要存在零能量的激发模式，该激发模式就能满足正反粒子相同的条件，可以被确定为MZM ，所以我们接下来介绍的寻找Majorana 费米子的目标都成为寻找超导体系中的零能激发模式。

在介绍可产生MZM的模型之前，我们根据(13)式，将一个电子的产生或湮灭算符分解成“实部”和“虚部”的叠加，其实部和虚部各对应于两个独立且局域在空间同一点上的Majorana费米子：

湮灭算符γ_iα ， γ_jβ 满足费米子的反对易关系：

费米系统的粒子数算符为

由费米子的泡利不相容原理， n_j 取值为0 或1，则对应MZM 对的取值iγ_j1γ_j2 为－ 1 和1。两个MZM 等价于一个Dirac 电子，因此，在由电子作为基本组元所构成的凝聚态体系中，MZM一定成对出现。一般来说， Majorana 费米子只是电子的一个等价表象，通常的电子都可以等价地看成一对Majorana 费米子的线性组合，而我们需要去寻找的是局域在空间不同点上的Majorana费米子。

3 Majorana费米子的物理实现

3.1 一维无自旋费米子p波超导态

一维无自旋费米子体系的非平庸拓扑超导态中就存在零能隙边缘激发MZM。由于费米统计，无自旋的费米子体系其配对机制必定具有奇宇称，最简单的形式即由Kitaev 给出的p 波超导模型：

式中j 标记一维链上的格点，共N 个格点，第一项表示最近邻格点间电子的跃迁，t 为跃迁概率幅，第二项表示化学势，第三项表示最近邻格点间的配对，其中Δ为平均场近似下超导配对序参量。不难看出该配对形式具有奇宇称(在宇称反演下，左右反转，那么由于费米子算符的反对易性会导致一个负号的出现)。该配对项在连续极限下相当于c_jc_j+1 ≈ c(x)∂_xc(x) ，因而称为p波超导。事实上，对于无自旋费米子超导体来说，该配对的奇宇称是无法回避的，这是因为费米子的泡利不相容原理。该p 波超导的拓扑属性可以从动量空间中得到体现。取周期性连界条件，进行傅里叶变换，得到动量空间的哈密顿量为

利用Bogliubov变换，得到准粒子激发谱为

当化学势处在| μ| = 2t 时，能隙关闭，这对应于一个二级相变，分隔开两个相，分别对应于拓扑超导相和平庸相。这两个相的性质可以通过如下两种极限情形显示出来。

利用(14)式将(18)式改写成用Majorana 费米子

表示的公式：

(i)当参数选择| Δ| = t = 0时，有

这时超导消失，对应于一个平庸态。

(ii)当选择参数| Δ| = t，μ = 0时，有

哈密顿量只包含相邻格点的交叉项，为寻找其基态，重新定义一组Dirac费米子：

(23)式可写为

其基态由重新定义的费米子a_j的占有数决定。注意到哈密顿量公式(23)中不包含γ_{1, 1} 和γ_{N, 2}，它们为MZM且位于一维链的两端(1 和N格点上)，这是非平庸的拓扑态。

Kitaev 链给出了两个态——拓扑态和平庸态。当体系的体激发谱中存在能隙且基态简并时，出现拓扑态。当| Δ| = t = 0 时，存在激发能隙，但基态无简并，为平庸态；当| Δ| = t，μ = 0时，存在无能隙边缘态激发，因此为非平庸的拓扑态。以上两相的示意图和相图见图1。

图1 Kitaev链具有的平庸态和拓扑超导态 (a) | Δ| = t = 0时的基态示意图，每一格点上的两个Majorana费米子形成Dirac费米子；(b) | Δ| = t，μ = 0时的基态示意图，相邻两格点上的两个Majorana 费米子形成Dirac 费米子；(c)参数空间μ—2t中系统的基态相图，2 个点分别表示(a)和(b)的参数选取

Kitaev模型成功地说明了在无自旋费米子的p波拓扑超导相中存在MZM。然而材料中的电子都是带有自旋的，一般常规金属体系都具有自旋简并，由宇称和时间反演对称性所保护。为了得到“无自旋”的费米子，可以设法打破二者之一的对称性，得到一个无自旋简并的能带，则该能带对应的准粒子等效于无自旋的费米子。在凝聚态中实现这一点的最自然方式就是借助自旋轨道耦合。比如，s波超导体上的一维量子导线借助自旋轨道耦合效应可以实现Kitaev模型，体系的哈密顿量可表示为

其中ψ*iασ₂∂_xψ 描述自旋轨道耦合，它解除了能带的自旋简并； ψ*V_x σ₁ψ描述外加的横向磁场(V_x = gμ_BB) ，它进一步劈裂能带，得到两支自旋杂化的无简并能带；超导的配对项(Δψ_↑ψ_↓ + h.c.) 将相反自旋的电子进行配对，诱导出自旋杂化能带的带内准粒子之间的配对，从而等效于无自旋的费米子p 波配对，见图2。当√(|Δ|² + μ²) < V_x 时，体系处于拓扑超导态，链两端应该出现MZM 。实验中用InSb 或InAs 半导体纳米线与超导体接触来制备出一维p 波超导链，由于它们具有较大的朗德g因子，在较小的磁场下就可进入拓扑相。

图2 一维p 波拓扑超导态的实现(a)一维纳米导线利用自旋—轨道耦合效应和超导近邻效应，在有外磁场情形下可以制备出p 波超导并产生MZM；(b)体系的能带结构：自旋轨道耦合使能带劈裂为红色、蓝色两支，加磁场后可进一步把能带劈裂成上、下两支，用黑色表示。当化学势位于能隙中间时，该体系的低能激发为等效的无自旋激发

实验上，普通金属在费米面附近有连续的电子态，费米面以下为占有态，费米面以上为空态；超导体在费米面附近打开一个超导能隙，而拓扑超导体则会在超导能隙中间位置产生局域的边缘电子态，可以导致零偏压电导峰的出现。图3为Delft组的实验结果，图中显示了InSb在70 mK下处于不同大小外磁场下的电导曲线，磁场区间从0 mT到490 mT，以10 mT为间隔。从100 mT开始出现零偏压电导尖峰。当然，这只能表明超导能隙内存在零能的局域电子态，这是第一个表明MZM可能存在的实验证据。

图3 电导与偏压关系，零偏压电导尖峰的出现表明MZM 存在的可能性

3.2 二维无自旋p+ip 拓扑超导态

从一维推广到二维，我们期待在二维的非平庸拓扑超导相同样存在无能隙的边缘激发，可以产生MZM 。对于二维无自旋的费米子体系，其配对同样需要服从奇宇称，最简单的配对形式就是p_x + ip_y 或者p_x - ip_y ，它们都带有一个单位的角动量，破坏时间反演对称性。下面我们重点讨论p+ip型拓扑超导，其哈密顿量可写成：

该体系的拓扑性质可以在动量空间体现出来：

其中h_k^x = -Δ₀(k_ycos ϕ + k_xsin ϕ) ， h_k^y = Δ₀(k_xcos ϕ -k_ysin ϕ) ， h_k^z = ℏ²k²/2m- μ ，于是，该系统的哈密顿量对应于一个作用在Nambu旋量上的赝磁场，该赝磁场的方向定义了一个映射，如图4所示。

从该变换还可以定义一个拓扑不变量：

式中h 是赝磁场的方向矢量。我们可以形象地把这个映射看成是把二维动量空间包裹到二维的单位球面上，拓扑不变量即为包裹球面的次数。在不允许剪切和粘合的前提下，拉长伸缩等任意连续平滑的变化都无法改变该拓扑数。不同的拓扑数对应于不同的拓扑物相，它们之间无法连续平滑地过渡，除非经历二级相变，即能隙闭合。这是因为在能隙闭合的动量处，赝磁场为0，没有方向，上述的同伦变换映射不再成立。一般而言，同伦变换映射对应的拓扑数可以是任意整数，然而在这里所讨论的p+ip 超导体系中，拓扑数只能取0或1，其中0对应于平庸相，1则是非平庸拓扑的。要想获得具有更高的拓扑数的物相，需要更复杂的哈密顿量，比如f波超导的哈密顿量。在实际的体系中，如果存在一个分隔不同拓扑相的畴壁，在畴壁上将会出现零能激发。这可以简单地理解为：从畴壁的一侧到另一侧可以看成是以空间位置为参量的拓扑“相变”，那么在二者之间必定跨越过能隙闭合的状态，于是在畴壁上有可能获得MZM。另外，非平庸拓扑超导体系的边缘也是一种特殊的畴壁，所以在非平庸拓扑超导相的边缘上也可望出现MZM。

图4 由赝磁场方向定义的从二维平面到球面的同伦变换映射

下面我们考虑一个简单的圆环状p+ip 超导体系，通过调节化学势使圆盘体系处在非平庸拓扑超导相，并往圆环中心加入n 个磁通量子，求解其边缘态的激发谱和波函数。如果忽略在边缘上缓慢变化的动能项，则其哈密顿量可简化成

一般来说，n 个磁通量子可以导致一个带拓扑荷为n 的Abrikosov 涡旋，涡旋中心在坐标原点处。涡旋的存在体现为超导序参量的一个局域相位变化，任意围绕原点一圈的路径，都会导致波函数相位转过n个周期。另外，注意到配对项中的p+ip携带了一个单位的角动量，表现为一个随着极角变化的相位。当极角转动一圈时，该相位正好转一个周期。这一个相位可以与序参量合并，其效应相当于在坐标原点再增加了一个单位的涡旋。这个效应可以通过下面的规范变换公式清楚地表述：

于是，涡旋的作用转嫁成为电子场算符在极角方向的周期边界条件，会对电子波函数的角动量有所限制。

对于n 个外加磁通涡旋，若n 是偶数，电子场算符为反周期边界条件，则得到的电子波函数角动量只能为半整数；若n 为奇数，电子场算符为周期边界条件，则电子波函数角动量只能为整数。通常的轨道角动量不可能取半整数，因为波函数的单值性导致电子波函数在极角方向必须满足周期边界条件。在这里，半整数轨道角动量的出现从根源上说是由涡旋的存在所导致。由于体系具有旋转对称性，轨道角动量是好量子数，所以可以得到以角动量m来标记的能量本征边缘态。具体求解Schrödinger 方程(30)式，得到体系低能激发的两支模式，分别对应于内边缘态和外边缘态。它们的能谱分别为

分别对应的波函数为

由图5 可见，激发能谱随角动量呈线性关系，相同能量的内外边缘激发模式具有相反的角动量，离散的激发能谱在热力学极限下趋于连续的无能隙能谱。然而要获得零能量激发模式(即MZM)，需要角动量严格取为0，外加磁通量子数n 必须为奇数。当n 取为偶数时，不会存在MZM。这种外加磁通量子数的奇偶效应对于在实验上直接探测MZM的存在具有重要意义。实际上，上述的角动量直接对应体系一维边缘上的动量，所以边缘激发谱可以看成是能量随动量的变化关系。

图5 p+ip 超导体的边缘激发示意图(a)在带偶数拓扑荷涡旋的情况下得到的体系内外边界上的手征边缘激发态，其中红色为内边缘，蓝色代表外边缘；(b)在涡旋拓扑数为偶数的情况下得到的体系内外边缘的激发能谱，其横坐标为对应的角动量量子数；(c)在存在奇数拓扑荷的涡旋的情况下得到的体系的内外边缘激发模式；(d)在涡旋拓扑数为奇数的情况下得到的体系内外边缘的激发能谱。内外边缘都存在严格的零能量模式，即MZM

虽然上面的分析都是基于一个特殊对称的圆盘状体系所得到的，更一般的情形不一定能得到这样一个完美线性的激发能谱。我们可以把上面的特殊的圆盘构型做连续变形，这会导致能带发生扭曲，但由于受到拓扑保护，体系边缘态上不会打开能隙，而体能隙也不会闭合。因此，以上的分析对一般的情形也成立。

类似于利用自旋—轨道耦合与s波超导来实现一维p 波超导，二维p+ip 拓扑超导态在实验上有如下的实现方案[7]：三维拓扑绝缘体的表面态是由自旋—轨道锁定的螺旋电子态，它破坏了宇称，解除了能带自旋简并。通过调节化学势，使得费米面远高于能带交叉点，费米面附近为一个无自旋简并的杂化能带。在拓扑绝缘体表面覆盖s波超导，近邻效应导致费米面附近的电子配对，从而实现p+ip 拓扑超导。Fu指出，在三维拓扑绝缘体表面覆盖s波超导体，其界面处若存在带奇数拓扑荷的涡旋，则可在涡旋上捕获Majorana费米子。

3.3 Majorana费米子的统计性质

MZM的重要性在于其特殊的非阿贝尔统计性质。为什么零能量的Majorana 费米子会呈现出非阿贝尔统计性质，而不是简单的费米统计呢？为了说明这一点，我们回顾一下如何从p+ip 拓扑超导体系获得MZM：MZM只在带奇数拓扑荷的涡旋上产生，即MZM总是与一个奇数拓扑荷的涡旋绑在一起，所以对MZM对的交换是通过绝热地交换涡旋来实现的。这意味着交换过程不是单纯的两个Majorana 费米子激发模式的交换，还必须考虑涡旋的效应。拓扑荷为n 的涡旋，其本质效应是导致超导序参量相位的变化，可以等效于一条从涡旋中心延伸到无穷远处(或者延伸到另一个带有相反拓扑荷的涡旋中心)的割线。在割线以外的区域，序参量不发生相位变化，只有当跨越割线时，序参量的相位跳变n 个周期。在这个跳变下，序参量没有实质性改变，但这对电子波函数的影响巨大：通过规范变换让电子吸收掉序参量的相位涡旋，电子只吸收了一半的涡旋相位。也就是说，当跨越割线的时候，电子的波函数相位要跳变n/2 个周期。如果n 是奇数，这将导致波函数获得一个π相位。同理，空穴在跨越切割线的时候也会获得π相位。MZM作为电子、空穴的线性叠加，自然也获得π相位。MZM交换如图6 所示，交换两个MZM意味着其中一个MZM会跨越另一个涡旋的相位割线，出现一个负号。

图6 MZM交换示意图

因此，MZM交换可用算符来表达，交换操作应该导致

可以得到实现交换的算符为

对2N个MZM γ_k， γ_i 与γ_j 交换可表示为幺正变换：

由交换算符U直接计算，可得到

因此，交换操作不可对易。

图7 4 个MZM交换的示意图(图中虚线表示配对)

下面我们用一个简单的例子说明交换操作对量子态的影响。假设系统有4 个MZM γ₁ ， γ₂ ，γ₃， γ₄ ，如图7 所示。4 个MZM 可等价于两个“非局域”的Dirac费米子c_a和c_b：

用该Dirac 费米子的占据数na和nb来标记量子态：|n_a，n_b> ，(n_a，n_b = 0，1) 。γ₁ 绕γ₃ 一圈可由幺正变换U₃₁² = γ₃γ₁ = (c_a + c_a*) (c_b + c_b*) 实现，在此操作下，量子态的变化为