基于对称性指标预测拓扑材料（上）
作者：唐峰1,2 万贤纲1,2
(1 南京大学物理学院固体微结构物理国家重点实验室)
(2 南京大学人工微结构科学与技术协同创新中心)
摘要 拓扑材料是凝聚态物理和材料科学领域的前沿课题。随着理论方法的发展，最近人们在大规模筛选拓扑材料方向取得了多个进展。文章着重介绍作者基于对称性指标理论发展的根据在原子绝缘体基组展开系数高效判断材料拓扑性质的方法，以及相关的典型材料。人们预言的数千个新的拓扑体系为进一步深入研究拓扑材料提供了基础。
关键词 拓扑量子体系，空间群及能带不可约表示，对称性指标理论，原子绝缘体基组，拓扑材料判定新方法
拓扑原本是一个数学概念，表示一类由系统整体决定而随细节不敏感的性质。这个概念融入到凝聚态物理归因于量子霍尔效应的发现。1980年Klitzing 等人发现了二维电子气在强磁场中霍尔电导展现出不依赖于样品细节的量子化平台[1]。人们发现其中的相变不涉及任何对称性的破缺，脱离了朗道相变理论的范畴。1982 年Thouless 等人推导了二维电子气中的霍尔电导公式，并且将它与拓扑不变量——第一类陈数(∈ Z )联系起来[2]，成功地解释了量子霍尔电导的鲁棒性。这一工作开创性地将数学中的拓扑概念应用到固体晶格动量空间中波函数性质的研究，是数学与物理相结合的一大典范[2]。自此凝聚态中的拓扑性质受到广泛关注。6 年后，Haldane 发现在六角晶格中加入交错磁通也可实现量子霍尔效应，表明在凝聚态晶格体系中存在无朗道能级的量子霍尔效应[3]。但是实现量子霍尔效应需要施加巨大的外磁场[1]，这大大地限制了它在实际器件中的应用。这个方向近年来的一个重大突破是“量子自旋霍尔绝缘体(即二维拓扑绝缘体)”的发现[4， 5]。这一里程碑性的工作由美国宾夕法尼亚大学的Kane 和Mele[6，7]以及美国斯坦福大学的Bernevig，Hughes和Zhang[8]分别在石墨烯以及HgTe/CdTe 量子阱中完成，推动了拓扑量子物理成为凝聚态物理的前沿和主流。与量子霍尔效应不同，量子自旋霍尔效应无需外磁场，受到时间反演对称的保护，对应的拓扑不变量是Z2拓扑不变量(只能取0 或1)[7]。此后人们进一步将二维拓扑绝缘体推广到三维，得到了三维拓扑绝缘体[9—11]。三维拓扑绝缘体的拓扑不变量是4 个Z2 数： (ν0；ν1，ν2，ν3) ，其中第一个不变量表征材料是否为强拓扑绝缘体，后面三个表征材料是否为弱拓扑绝缘体[4，5]。强拓扑绝缘体在任何面上均具有奇数个Dirac 点，表面态不受无序影响，而弱拓扑绝缘体只有在特定表面才具有拓扑表面态[4，5]。
进一步的研究表明，对称性以及空间维度对物理体系的拓扑性质有重要的影响。通过分析是否具有时间反演对称、粒子空穴对称以及手性对称性，人们对不同维度(1D，2D，3D)体系可能存在的拓扑相进行了系统的分类[12—15]。值得提及的是，除了上述的内禀对称性外，凝聚态体系中还存在大量的晶格对称性。2011 年，傅亮发现晶格对称对拓扑态有重要影响，从而开辟了拓扑晶体绝缘体这一新的研究方向[16]。目前包括镜面陈绝缘体[17]、Hourglass 拓扑晶体绝缘体[18]、Wallpaper拓扑晶体绝缘体[19]、高阶拓扑绝缘体[20—24]等大量拓扑晶体绝缘相相继被提出来[25， 26]。在上述各类拓扑的绝缘体中，体相是绝缘体，但是在材料的表面或者边界会出现拓扑保护的无能隙电子态[4，5，26]。
上述拓扑绝缘相的一个重要特性是，保持对称性的微扰对其拓扑性质不会有影响，具体地，只要这个微扰不关闭绝缘体的能隙，绝缘体的拓扑性质就不会发生改变。因此人们普遍认为拓扑物理只存在于绝缘体中。2011 年，通过研究烧绿石结构5d 过渡金属Ir 氧化物，人们发现随着电子关联强度U在合理范围内的变化，材料占据和非占据电子态的宇称将发生翻转[27]，从而发现体系有Weyl 点(即两个非简并线性色散能带的交点)。这时其低能电子行为可以用Weyl 方程描述，因而这类材料可命名为Weyl 半金属。Weyl 点是Berry曲率的源点，围绕一个Weyl点的闭合曲面上Berry曲率的积分绝对值为2π，该积分符号为Weyl 点所对应的“手性”符号[27]。由于Berry 曲率沿整个布里渊区边界面的面积分为零，所以对应的总的“手性”必须为零，在Weyl 半金属中，Weyl 点成对出现，外界微扰只能使Weyl 点移动，只有当两个手性相反的Weyl 点重合，Weyl 点才会消失。也就是说Weyl 点受拓扑保护稳定，和体系的对称性无关[27]。此外Weyl 半金属有着奇特的表面态Fermi 弧：Weyl 半金属表面态的费米面不是闭合的，而是一个开放的线段，这个开放的线段连接两个手性相反的Weyl 点在这个表面上的投影点[27]。Weyl 半金属只需要体系具有平移不变性，不一定需要其他的对称性。事实上它必须要求PT对称的破缺(P：空间反演，T：时间反演)。
除了Weyl 半金属外，大量其他类型的拓扑半金属相也被发现。通过分析布里渊区(BZ)中高对称点[28]或者高对称线上[29，30]的四度简并的能带交点，人们提出了低能激发满足Dirac 方程的Dirac半金属。考虑到能带接触点的类型，人们也提出了nodal line 半金属[31， 32]。进一步考虑若干nodalline 在BZ的位置以及它们之间的相对关系，人们又提出了nodal chain[33]、nodal link 和Hopf link 半金属[34—36]。在非简单群对称体系中，非简单操作要求能带形成Hourglass 型连接，人们据此提出了体Hourglass 半金属[37]。考虑到晶格对称保护的多重(3，6，8 重)简并点，人们也提出了多重简并费米子[38]。值得提及的是，除了Weyl 半金属外，上述这些拓扑(半)金属均形成需要晶格对称的保护才能稳定存在。
和普通材料相比，拓扑材料具有大量独特的物性。拓扑绝缘体特有的受拓扑保护的表面电子态具有自旋—动量绑定，背散射被禁闭[4，5，39]，因此拓扑绝缘体能够实现无能耗电子输运；拓扑绝缘体和超导的界面可以实现Majorana 费米子，这有望应用到量子计算中[40]；拓扑绝缘体表面Dirac电子态也具有反常的磁电耦合[41]等等，这一系列新奇的性质，具有广阔的应用前景。拓扑晶体绝缘体的无能隙表面态只在具有特定对称性的表面出现。由于晶体对称性更容易被外电场、应力所改变，拓扑晶体绝缘体很容易应用于场效应器件和压力感应器件[26]。Weyl 半金属也具有大量独有的性质：其具有和手性反常相关的高度各向异性磁电阻[42]；它也具有新颖的量子振荡现象[43]；通过上下两个表面Fermi 弧在Weyl 点投影处的隧穿行为，人们也理论设计[44]并且实验实现了三维量子霍尔效应[45]；其霍尔电导只和Weyl 点的符号和位置有关[46]；研究发现对Weyl 半金属掺杂可能实现拓扑超导体[47]，另外其光学性质也是人们关注的目标[48]。在拓扑半金属中实现Klein 隧穿型的输运现象[49]也引来了人们的广泛关注。Nodal line 半金属的拓扑表面态在费米面上有很大的态密度，所以它可能表现较高临界温度的超导行为[50]。这些新颖的物性可以预期在下一代电子、信息及至能源领域有很大应用潜力。事实上，这些对材料的缺陷、杂质细节不敏感的拓扑量子材料越来越成为物理基础及工程应用领域的前沿课题与追求。过去十年拓扑量子领域在世界上已经取得了巨大的研究进展，理论预言了大量拓扑量子材料[27—38，51—68]，很多预言以及一些关键性的拓扑量子效应已被实验证实[69—80]。
与常规的材料体系不同，拓扑体系的拓扑行为和能带细节无关，可用不同的拓扑不变量来描述。因此确定物理体系的拓扑不变量是判定其拓扑性质的核心。但是，实验判定拓扑不变量在技术上面临很大挑战，所以这一领域的一大特点就是通过理论计算拓扑不变量来预言新型拓扑材料，然后角分辨光发射谱、输运等实验证实[4，5，26，66，79，80]。这昭示出拓扑不变量的计算在找寻新型拓扑材料中起着至关重要的作用。但是，通过直接计算拓扑不变量来判断一个体系拓扑性质的方法效率较低、有很大的局限性：(1)计算拓扑不变量通常需要进行基于波函数的积分，这一计算工作量极大[81]；(2)对于一个材料，需要对所有的拓扑不变量进行计算，才能确定拓扑性质。这一问题也带来了很大的工作量。所以和人们已经成功生长出来的材料数目相比较，已知的拓扑材料数量还较为有限。此外，虽然人们已经发现了许多拓扑材料[4，5，26，66，79，80]，但是这些材料都不适合实际应用。比如拓扑绝缘体Bi2Se3 体系中容易形成缺陷，导致费米能级处于体能带的价带或者导带内[82]，拓扑晶体绝缘体SnTe 是p 型半导体，呈现了较好的体的导电性[83]。因此发展出新的理论方法，从而找到理想的、有实用价值的拓扑材料体系有着重要的科学价值和广阔的应用前景。
为了克服上述理论方法的困难，人们做了大量的工作。一个重要的进展是，傅亮等人发现在有中心反演对称的材料中，我们只需要计算空间反演不变点处价带的宇称，就可以得到Z2拓扑不变量，从而快速地判定体系是否为拓扑绝缘体[84]。除了中心反演对称性外，凝聚态体系还有很多其他空间对称性操作。基于材料电子能带在这些空间对称性操作的本征值，方辰等人发展了计算若干拓扑不变量的方案[85，93]。这些理论方法不需要计算耗时的波函数积分，可大大加快体系拓扑性质的判定过程。
另外，2017 年基于材料电子能带价带的实空间和倒空间图像的比较，人们发展了一套全面的拓扑分类方案：普林斯顿大学Benervig 研究组基于图论方法研究了具有实空间图像的能带在其布里渊区高对称点小群不可约表示之间的连接方式，提供了10403 个这样的基本连接方式，称之为“基本能带表示”[86]。他们进一步提出可以通过比较材料的价带和10403 个“基本能带表示”来判定拓扑性质。同时哈佛大学Vishwanath 研究组提出了能带指标理论，该理论将绝缘体能带用一组整数表示，并且把其拓展成一个群。通过这个群和它具有实空间图像的子群求商，从而对所有的空间群可能的拓扑行为进行了分类[87]。该理论方法给出了描述能带结构的商群分类，但是不能直接应用到拓扑材料搜索中[86]。Benervig 等人的理论方案确实可以用于筛选拓扑材料，但是“基本能带表示”的过多数目一定程度上限制了大规模应用。下面我们先介绍对称性指标理论，然后给出基于这一理论，我们发展出来从原子绝缘体基组出发实现高效判断材料拓扑的新方法[88]以及找到的典型拓扑材料。
凝聚态体系的电子特性可以用其电子的能带结构(能带色散和能带波函数)来描述，而电子的拓扑性质源于布洛赫本征态的特性。根据空间群对称，人们能够得到布洛赫本征态的变换性质，即本征态从属的不可约表示。在凝聚态体系布里渊区(BZ)里面有高对称点、高对称线、高对称面以及没有任何对称操作的普遍点。高对称点上能带可以用其对应小群的不可约表示来标记(简称为高对称点不可约表示)，高对称点上能带不可约表示确定后，根据相容性关系能带在高对称线以及高对称面的不可约表示也可确定。而当费米面上下两个能带的不可约表示发生变化时，其拓扑性质发生变化。所以非常自然，一个绝缘体材料可以用其价带在所有高对称点的不可约表示情况来标记。当这个标记发生变化时预示着拓扑性质的转变。
以硅的能带为例子，硅的晶格属于第227 号空间群(记为SG227)。这个空间群的布里渊区有Γ，X，L，W这4 个高对称点。第一性原理计算得到的能带如图1(a)所示，其中费米能级取为0，费米能级以下有8 条能带。如表1 所示，Γ点具有6 个不可约表示，它们的维度分别为2，2，4，2，2，4，在图1(a)中我们标记了第一性原理计算得到的Γ点价带能级从属的不可约表示，其中Γ1表示相应能级对应于Γ点第1 个不可约表示(即表1中抽象群G968 的第4 个不可约表示，参见表1)，类似地，对于其他高对称点我们也标记了不可约表示的信息。根据前面的讨论，在分析材料拓扑性质时，可以不关心价带在高对称点的能级顺序以及高对称点间能带的具体色散这些细节，而只关心价带在高对称点每个不可约表示出现的次数或称为占据数nikj：这里， kj 标记第j 个高对称点，i 标记该高对称点第i 个不可约表示。当这个数字发生变化时预示着可能有拓扑性质的变化。对于硅，根据图1(a)，在Γ点，8 个价带中，第1，2，3 个不可约表示分别出现1 次，其他不可约表示没有出现，因此nΓ1 = nΓ2 = nΓ3 = 1，nΓ4 = nΓ5 = nΓ6 = 0，类似可以得到： nX1 = 2，nL1 = nL2 = 0，nL3 = nL4 = nL5 = 1，nL6 = 2，nW1 = nW2 = nW3 = nW4 = 1，nW5 = 2 。
图1 (a)硅的能带(费米能级取为0)。图中列出了所有高对称点(即Γ，X，L，W点)处价带对应小群不可约表示的标记，比如在Γ点，8 个价带具有Γ的第1，2，3 个不可约表示(参见表1，它们的维度分别为2，2，4)，图中记为Γ1，Γ2和Γ3。需要注意的是，这里L 点靠近费米面的能级(两个非常接近的二度简并能级)包含了两个1 维表示(L4和L5，通过时间反演联系组成二维表示，因此记为L4+L5)和1 个2 维表示(L6)，W点也有类似的情况出现。红色虚线框内展示了在Γ点处存在SOC劈裂。四条高对称线分别为Λ ，Q，V和Δ ，如(b)图所示，连接Γ，L，W，X，Γ点；(b)硅所属的第227号空间群(SG227)对应的BZ
表1 SG227 四个高对称点的坐标，以及它们小群不可约表示。这里高对称点坐标的基矢取为惯用元胞对应的倒空间基矢。根据文献[89]，高对称点小群不可约表示(Irrep)可以从某一个抽象群(记为Gnm )的不可约表示得到，高对称点小群的不可约表示只能取该抽象群的若干不可约表示[89]，我们也给出了这些不可约表示的维度(第三列括号中的数字)，比如，Γ点第1 个不可约表示为抽象群[89]G896 的第4 个不可约表示，其维度为2，Γ点第2 个不可约表示为抽象群[89]G896的第5个不可约表示，其维度为2
可以将上述高对称点不可约表示占据数以及价电子数组成一个整数集nBS，来标记一组绝缘体价带：
在这一组数的集合中，其中第一个数是价电子数， kj 小群不可约表示的数目记为rj 。值得指出的是，绝缘体价带中不同高对称点不可约表示占据数之间受到相容性关系的约束。对于硅的8 个价带，可以写出其对应的高对称点不可约表示标记为
硅的8 个价带可被图1(a)中红色虚线分割成上下两部分，每一部分的对称性标记分别为：
显而易见，
即增加能带数目，只需对其对应的整数集做加法即可。
需要提及的是， nBS 并不是严格意义上的矢量，因为对于实际材料，它的分量必须为非负整数，因此它不存在逆元的定义。Po 等人将nBS 的取值范围推广到所有整数[87]，因此得到了一个绝缘体线性空间，该空间包含了形如(1)式的矢量，这个线性空间可以看成一个群(群乘的定义即上面提及的nBS 矢量的加法)。
显然，不是任何一个绝缘体均可以在不破坏对称性的情况下绝热变化到拓扑平庸的原子极限(原子绝缘体)。通过对绝缘体不可约表示标记组成的群与原子绝缘体不可约表示标记组成的群做商群运算，Po等人得到了对称性指标(SI)群，记为XBS[87]。在考虑自旋轨道耦合(SOC)情况下，Po 等人给出了具有时间反演对称的所有230 个空间群的SI 群[87]。SI 群具有如下形式：
其中C1<C2<…<Cd，且Ci可以被Cj整除(i>j)[87]。然而这一分类方案并不适合用来找寻拓扑材料[86]。
若一个体系可以在满足对称性的情况下绝热地变化到原子极限，则这个体系等价于原子绝缘体，不表现出任何拓扑性质。设想有一个体系原胞里面只有一个原子，而这个原子只有一个s 轨道。这时其能带有如图2 的几种情况：(a)没有能带交点；(b)在高对称线上有交点；(c)在高对称点有能带交点。若费米面在图2 的EF'处，即2 个能带均被占据，则上述的3 种情况均可绝热变化到原子绝缘体，但是如果费米面在EF 处，体系不可能在不改变对称性的情况下变到原子绝缘体。
图2 某空间群1a Wyckoff 位置上有一个s 轨道的能带情况。考虑电子全部占据(费米面在图中紫色实线位置)，那么图中3 种情形都绝热等价于原子绝缘体。然而考虑半占据(费米面在图中紫色虚线位置)，图中3 种情况都无法退化到原子极限，分别对应于：(a)拓扑(晶体)绝缘体；(b)高对称线/面上出现能带交点；(c)高对称点上出现能带交点
对于任何一个选定的空间群，原子的实空间占位是固定的，即原子只能占据这一空间群所属的Wyckoff 位置。另外，由于晶格空间群里面破坏了SO(3)对称，在Wyckoff 位置上放入的球谐函数形式的原子轨道，将会劈裂为该Wyckoff 位置位群不可约表示的函数。设某一空间群，它有N个Wyckoff 位置，而第i 个Wyckoff 位置的位群具有Mi 个不可约表示(如果系统具有时间反演对称，应当考虑时间反演对称对不可约表示的效应)。在任何一个Wyckoff 上放入满足其任意一个不可约表示的函数，然后组成能带，若这些能带全部被占据，所得能带都可以绝热变化到原子绝缘体[88]。通过穷尽所有Wyckoff 位置以及其对应的全部不可约表示，组成能带，我们一共可以得到
对应非磁性材料，一共只有230 个空间群。我们基于对称性指标理论，高效判断拓扑材料算法的核心是构造出原子绝缘体基组[88]。值得指出的是，AI 基组与具体材料无关，对应230 个空间群，存在230 套AI 基组。相比基于图论的10403个基本能带表示(这些基本能带表示都可以在230套AI 基组上展开)[86]，我们只需得到230 个原子绝缘体基组，然后通过实际材料不可约表示标记在AI基组上的展开系数，来判定其是否为拓扑材料[88]，具有可操作性。
原子绝缘体基组可以从下面3个步骤来构造：
第一步，根据空间群的Wyckoff 位置列表(可参考网站http://www.cryst.ehu.es/cgi-bin/cryst/programs/nph-table?from=getwp)得到对应位群的不可约表示。例如对于SG227 Wyckoff 位置，它可以取：8a，8b，16c 到192i 等9 个值。每一个Wyckoff 位置的位群必然同构于32 个点群之一，其不可约表示也可以通过查阅群论书得到[89]。
第二步，对每一个Wyckoff 位置分别一一放入其位群不可约表示的函数，组成能带(如果存在时间反演对称T，需要考虑T 的要求：同一个不可约表示出现两次或者两个不同不可约表示通过T联系[89])。通过上述实空间基组构建布洛赫和，得到BZ中所有高对称k 点小群不可约表示的占据数，从而得到nBS 分量， 即得到该Wyckoff 位置被占据某位群不可约表示时对应原子绝缘体的不可约表示标记。对应SG227，BZ 具有4 个高对称点，这些高对称点小群以及不可约表示信息可以查阅文献得到[89]，表1 中列出了这些高对称点的坐标和不可约表示。
第三步，根据第二步，我们穷举得到所有的Wyckoff 位置以及其相应位群不可约表示，得到若干nBS 。对于SG227，可以得到20 个这样的AI，见图3红色实线左侧部分，标记为ni1 ， nh1 ， ng1 …其中下标表示Wyckoff 位置，上标标记该位置位群的第几个不可约表示，由于a，b 位置有3 个不可约表示，c，d 位置有4 个不可约表示，e 位置有2 个不可约表示，其余位置只有1 个不可约表示，因此穷举所有Wyckoff 位置总共得到20 个AI。显然这些AI 之间并不是线性独立，通过这些AI 的线性组合(组合系数为整数)可以得到AI 的基矢。通过Smith 正态分解，人们可得到一组AI 基组，{ai，i=1，2，…，dAI}，这里ai是原子绝缘体基组中的基矢，dAI是基矢的个数。SG227 的8 个AI 基矢见图3 红色实线右侧部分，可见只有最后一个基矢具有公因子4，其余没有公因子。对于所有230 个空间的AI 基组，我们在文献[90]中的网上补充材料部分罗列了出来，且构造AI 基组的程序在文献[91]中给了出来。这种AI 基组满足以下条件：
(a)任何一个AI 均可表示为这组AI 基矢的线性组合，且组合系数为整数，在物理上它表示不同原子极限的叠加；
(b)其基矢具有最大可能的公因子和最多的大于1的公因子数；
(c)把基矢ai的公因子记为Ci，AI 基矢的顺序按照AI 基矢公因子由小到大排列，即C1<C2<…<Ci<…< CdAI，且后面一个公因子可以被前面所有公因子整除。
图3 根据上述构造原子绝缘体基组方式中第一、二步，可以求得SG227 的20 个AI(红色实现左侧， ni1 ， nh1 ， ng1 ，…其中下标表示Wyckoff 位置(参见http://www.cryst.ehu.es/cgi-bin/cryst/programs/nph-wp-list)，上标1，2，3，…标记Wyckoff 位置对应位群的不可约表示，顺序根据文献[89]，且考虑了时间反演对称的要求)。这些AI 的分量按照式(1)以列向量形式给出，如图中所示，从上至下依次为ν ， nΓ1 ， nΓ2，… ，含义见式(1)的说明。我们根据文献[89]中的顺序依次标记高对称点不可约表示，比如，根据表1，Γ点第1 个不可约表示为抽象群[89] G896 的第4 个不可约表示，Γ点第2 个不可约表示为抽象群[89]G896 的第5 个不可约表示，…对这20 个AI 通过Smith 正态分解得到8 个AI基矢： {ai }i=1dAI = 8，展示于红色实线右侧
公因子Ci对应式(6)中Z 的下标((6)式中的d=dAI)，这也是为什么AI 基组需要满足上述条件(b)的原因，这样才能够得到完整的拓扑分类。同时，对于SI 群，我们可以只考虑Ci>1 的部分，因为Ci=1 对应Z1平庸群(只含有元素0)[87]。总之，从AI基组可以很快得到SI 群，其中最大公因子对应的SI 群，称为强SI 群[92]，在本文中对于某一空间群，如果称其SI 群为Zm，默认指它的强SI 群为Zm，即m为其AI基矢中最大的公因子。
图4 算法流程图[88]：对于任何一材料，使用能带方法可以求出其价带在BZ高对称点不可约表示出现的情况n，然后在该空间群的AI 基组(与具体材料无关)上做线性展开，得到3 种情形，其中第一种等价于一个原子绝缘体(即文中的情况(i))，第二种对应于拓扑(晶体)绝缘体(即文中的情况(ii))，第三种对应于拓扑半金属(即文中的情况(iii))
我们判断拓扑性质的流程图如图4 所示。相关的程序源代码参见文献[91]。
主要步骤如下：对于任何一个材料，基于第一性原理计算自洽的结果，可以求出价带在BZ 中各个高对称点上不可约表示的占据数。值得提及的是，这里不需要事先分析这组价带是不是和导带分开，即是否具有直接带隙。使用常规计算不可约表示出现次数的方法[91]，可以求得如(1)式形式的n，如果所有分量都是整数，说明所有高对称点上都具有有限的直接带隙，相反，如果不是整数说明这个非整数对应的高对称点具有能带交叉(比如图2(c))。需要注意的是，即使所有n 的分量都是整数，n 也可能并不对应一个绝缘体(比如图2(b))。我们把第一性原理计算得到材料的n 用该材料所属空间群对应的原子绝缘体基组( 即{ai， i=1，2，…，dAI})做展开：
展开系数qi 可以很容易求出。从展开系数qi 来判断拓扑材料。
展开系数必定属于以下3种情形之一：
(i)所有qi 都是整数，这时材料有机会绝热等价为符合空间群对称的原子绝缘体。由于只用到了高对称元素上面的信息，所以本方案不能判断出TaAs等拓扑材料[52]；
(ii)存在非整数的qi ，同时所有qiCi 都是整数(Ci为基矢ai的公因子)。此时材料在BZ所有高对称点均有能隙，但无法退化到符合该空间群对称的原子极限。这种情形又可以细分为拓扑绝缘体和拓扑晶体绝缘体。根据qi 可以求出材料对应于SI 因子群ZCi中的值： SIi = qiCi mod Ci ，可取0，1，2，…，Ci-1。这样，根据展开系数，容易求得整个SI 群中的取值SI= (SIp，SIp+1，…，SIdAI)，其中Cp>1， Cp-1 = 1 ；
(iii)存在qiCi 是非整数，这种情形可以分为下面两种子情形：
1) n 的某个分量为非整数，说明非整数分量对应的高对称点存在能带交叉；
2) 所有n的分量都是整数，说明BZ所有高对称点都存在直接带隙，但是在高对称线/面上存在能带交叉。
其中，情形(i)中仍可能具有非平庸拓扑，需要进一步的分析，但是情形(ii)和(iii)必然具有非平庸拓扑，因此我们主要关心情形(ii)和(iii)对应的拓扑材料。
本文选自《物理》2019年第6期
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