漫谈熵
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作者：苗兵 (中国科学院大学 材料科学与光电技术学院)
摘要 熵是物理中的一个既重要又微妙的概念。文章从物理学引入熵谈起，依次讨论熵与热力学第二定律、熵的统计力学定义、熵增与基础物理理论的矛盾，以及时间箭头与玻尔兹曼大脑，最后介绍著名的黑洞熵。
关键词 熵，热力学第二定律，时间箭头，玻尔兹曼大脑，黑洞熵
熵(Entropy)是物理学中极为重要的概念，却又是一个仍未得到完全理解的概念。在今天的物理学中，熵在众多不同的研究方向间架起了桥梁。在统计力学里，熵最大定义了平衡态统计，而若说平衡态只是一点的话，那么统计力学里要面对的更多是广阔的非平衡问题，熵在非平衡的讨论里占据中心重要的位置。在宇宙学里，人们曾经根据广义相对论认为“黑洞无毛”，然而热力学的思考带来了黑洞熵的概念。
当信息论的创始人申农(Claude E. Shannon)与冯·诺依曼(von Neumann)讨论如何命名他新发现的度量信息传输中不确定性的量时，冯·诺依曼曾经评论：“You should call it entropy，for two reasons. In the first place your uncertainty function has been used in statistical mechanics under that name, so it already has a name. In the second place, and more important, no one really knows what entropy really is, so in a debate you will always have the advantage.”
1 登场和定义
熵进入物理学最早是从热力学开始的[1]。德国物理学家克劳修斯(Clausius)在研究卡诺循环时引入了Entropy 的概念。卡诺循环蕴含了热力学的两条基本定律。热力学第一定律明确了热是一种可与机械能相互转换的能量，数学表示成能量守恒定律。然而，热能又与机械能有所不同，这导致了卡诺热机的效率恒小于1，因为总会有一部分热能不能转化为机械能而最终向低温热源释放，这是热力学第二定律。
克劳修斯思索如何用数学形式表达热力学第二定律， 他发现可以定义一个新的物理量：S =Q/T ，即热温之商。如此定义的物理量S 在一个可逆的卡诺循环里变换为零：dS =0 ，因而S是一个状态函数(不依赖于过程)；若热机不可逆，则dS >0 。这样，克劳修斯表述热力学第二定律为：在一个孤立系统之中， dS ≥0 。
克劳修斯将这个新物理量取名为Entropy，这来自于希腊语。前缀可见Entropy 与能量Energy有关，而后缀是变换之意，因此Entropy 联系的是能量变换的过程。写成S 可能是为了纪念卡诺(N. L. Sadi Carnot)。中文翻译“熵”体现的是热温商之意。可是，这个最初由热力学引入的概念在后来的研究中变得极为重要，其意义也远远超越了Entropy 或者中文翻译“熵”所暗示的内容，在包括信息学、宇宙学等领域内都大放异彩。
热力学研究的是宏观物理量之间的转换，而统计力学的目的是从微观自由度(分子、原子)入手推导出热力学关系。熵的统计力学公式由奥地利物理学家玻尔兹曼(Boltzmann)在1877 年的一篇论文中给出：
如今，它被镌刻在玻尔兹曼的墓碑之上(图1)，以纪念这位统计力学的奠基人之一。该式中，熵S是热力学状态变量， W 是在给定宏观状态约束下一个系统所可以具有的微观状态数。由于微观状态数极为巨大，因此取对数并乘上一个非常小的常数k ，即玻尔兹曼常数。取对数并且使得这样定义的熵成为一个具有可加性的热力学广延量。显然公式的左右分别对应了宏观和微观，因此玻尔兹曼定义体现的正是以微观推导宏观的统计力学思路。
图1 玻尔兹曼墓碑。上面镌刻着玻尔兹曼的熵公式
公式(1)中， W 取自德语“Thermodynamische Wahrscheinlichkeit”，意为热力学概率。给定宏观限制下，一个系统的微观自由度越多， W 越大。若所有自由度(微观状态)等概率，则P～1/W 。玻尔兹曼公式写成S =-k logP 。进一步推广，若各自由度不等概率，即P 是微观状态依赖的，则将S 写成S = <-k logP> ，平均对于所有微观状态进行，此时有熵的吉布斯(Gibbs)定义：
在量子统计力学中，熵的公式由冯·诺依曼推广给出：
这里描述状态的密度矩阵ρ 取代了经典概率P 。
在信息论中，申农熵的定义为
这些公式中，求迹操作Tr代表对微观状态的求和。
可见，熵在物理中有明确的定义。给定一种概率分布，就可以从数学上定义对应的熵。然而，熵与其他物理量的一个明显不同是，它不对应于一个可观测物理量。在量子统计中，可观测量和状态分别由算符和密度矩阵描述，然而熵不对应于任何一个算符。从定义中已经看出，实际上，熵是一个状态的性质，定义一个状态，就可以定义相应的熵。
2 矛盾和策略
有了玻尔兹曼公式，热力学第二定律就是说一个孤立系统获得了一个演化方向，即具有更多微观状态数(更大自由度)的方向，这就是常说的熵增原理。熵增原理也可以表述成所谓的最大熵原理：孤立系统在达到平衡时熵倾向于最大化。然而熵增原理在物理中引入了不可逆过程，从而定义了时间箭头，这与一些基本物理原理矛盾。
在经典统计力学里，一个统计力学体系的微观状态由相空间里的一个点描述：ω =(q3N , p3N ) 。这样，微观状态不再是可数的离散变量，微观状态数则要由相空间体积(测度)给出。随着时间，状态演化由相空间里点的运动描述。考虑一个给定能量的体积元：dω =δ[E -H(ω)] d3Nq d3Np/N!，这定义了一个相空间上的测度。经典力学的刘维尔(Liouville)定理说：dω =dω(t) 。即：给定能量，相空间体积在时间演化过程中不变。由于熵对应于相空间体积，因此，熵在时间演化中是常数。这与热力学第二定律矛盾。
另一方面，庞加莱(Poincaré)回归定理说：一个有限测度空间上的保测度变换具有无限回归的性质。热力学体系的相空间是一个有限的测度空间，应满足庞加莱回归定理。因此，在充分长时间后，热力学体系将回归相空间的初始点，从而与演化开始时具有近似相等的熵，这又与热力学第二定律矛盾。
在量子统计中，由薛定谔(Schrödinger)方程可知，随时间演化，密度矩阵满足：
这里已取普朗克常数为1。演化算符的幺正性使得密度矩阵的本征值不随时间改变。而从熵的冯·诺依曼公式知道，熵只依赖于密度矩阵的本征值，因此熵在时间演化中不变。这样，量子力学的基本方程与热力学第二定律矛盾。
这些矛盾的根源在于物理学从微观到宏观过渡时描述方法的改变，涉及到一个叫作粗粒化(coarse graining)的概念，这是由玻尔兹曼的学生埃伦费斯特(Ehrenfest)最早指出的。
在微观层次上，量子力学的幺正性保证了信息守恒，以及微观状态演化的相空间体积守恒。然而，从玻尔兹曼的熵公式((1)式)已经知道，由于W 是满足给定宏观约束下的微观状态数，所以熵是一个定义于某个宏观尺度的物理量。当我们计算熵时，需要去数满足宏观约束的微观状态数，或者说计算相应的相空间体积，这时候，由于解析精度不够，有一些信息会对我们隐藏起来。换言之，在一些尺度之下，由于我们无法解析出完整的状态信息，带来了熵计算时微观信息的丢失。承认对这些微观信息的无知，我们在这些小尺度上假设对应于最大熵的等概率分布。这一过程就是相空间的粗粒化平均过程，具体而言，让我们把相空间Ω 划分成若干格子Ωi 。每一个格子内，因为无法解析出更多信息，假定概率分布是均匀的，因此定义粗粒化密度分布：
该粗粒化定义的密度分布被用于计算对应的熵，而描述该粗粒化密度分布的运动方程将不再是经典力学中的哈密顿(Hamilton)方程，或量子力学中的薛定谔方程。取而代之，我们用随机方程描述粗粒化层次上状态的运动，例如玻尔兹曼方程。基于分子混沌和单粒子关联函数，玻尔兹曼方程可以推导出不可逆的熵增。因此，概括起来，相空间解析精度导致的粗粒化平均造成了计算宏观量熵时微观世界信息的丢失，乃至于宏观世界描述的随机性特点，而随机性导致了宏观尺度的不可逆性，表现为熵增原理。可见，粗粒化是协调上述微观和宏观矛盾的关键。
熵增原理第一次在物理学中引入了时间箭头，经典力学以及量子力学里物理过程的时间可逆性被破坏。玻尔兹曼在熵增问题上有深邃的思考，他意识到熵的增加只是在概率的意义之下，并通过他的运动学方程推导出了H 定理(玻尔兹曼H函数(负熵)随时间不会增加，即dH/dt ≤ 0 )。可是在那个年代，连原子论都尚未被广泛接受，因此玻尔兹曼的思想超前了，不能被物理学界广泛接受。另一方面，玻尔兹曼在表达自己的想法时也有模糊不清及前后矛盾之问题。据说，他讲课时学生表示内容太难难以听懂，玻尔兹曼便在下一次上课时，于继续讲述繁难的问题后，在黑板上写下1+1=2，转身对学生说：“我讲的是多么简单啊”。
长期的不被理解最终酿成了悲剧，玻尔兹曼在一次次辩论之后精疲力尽，也许他感到了一种深深的绝望，最后在意大利的里雅斯特附近的杜伊诺以自杀的极端方式告别了这个世界。今天，玻尔兹曼上吊自杀的地方被保留下来，成为一个供游人参观的景点。
遗憾的是，玻尔兹曼的学生埃伦费斯特也是以自杀的方式告别这个世界。埃伦费斯特生于奥地利，在维也纳大学就读期间受教于玻尔兹曼，对分子运动论的学习启发了他对理论物理的浓厚兴趣。在布拉格期间，埃伦费斯特结识了爱因斯坦，并从此成为忠诚的朋友。后来，他接任洛伦兹(Lorentz)任荷兰莱顿大学教授，在莱顿成立了一个国际理论物理学校，与世界上顶尖的理论物理学家保持着紧密的联系，同时，对热爱理论物理的年轻人埃伦费斯特总是不遗余力地给予帮助和鼓励。
3 更多思考
在日常生活中，人们很容易区分过去和未来。例如，打碎的鸡蛋不会再重新组合复原。如果你观察鸡蛋打碎的过程录像，很容易判别录像是正放还是倒放的。换句话说，在我们的宇宙里时间是单向的。
如前所述，时间单向这个基本事实在热力学里被总结为热力学第二定律，我们通过定义熵这一单向增加的物理量来描述单向的时间箭头。并且，也通过粗粒化的策略协调了熵增与基础物理理论之间的矛盾。然而，由熵增就真的可以解释我们宇宙里时间的单向性吗？
有一个人对这个基本问题进行了持续和认真的思考，此人还是玻尔兹曼。玻尔兹曼坚信原子论，他相信热现象一定可以由大量原子的运动进行解释。在玻尔兹曼对热现象的思考里，一个热力学体系具有微观自由度，即大量原子的位置和动量。如前所述，玻尔兹曼发现，如果将熵和给定宏观状态的微观自由度数目联系起来，就可以对熵增这一事实给出一个概率论意义下的解释。简而言之，事情向更可能的方向演化。在给定宏观约束下，一个热力学体系将向与该约束相容的更多微观自由度(即更大相空间，更大概率)的方向演化，如果定义熵与微观自由度数目正相关，就可以解释为什么会有熵增。这一想法体现于熵的玻尔兹曼公式(1)中。并且玻尔兹曼就熵增证明了H 定理。然后，有了熵增，熵增导致我们在日常生活里体验到的时间箭头，解释结束。
可是，进一步思考会发现，在这种解释里存在一个漏洞[2]。既然大概率的事件倾向于发生，那么，在一个热力学体系中，小概率的事件发生机会很少。如果你在此刻看向过去和未来，应该都看到更大的熵。因此，在这种思考里，并没有时间箭头。换言之，由于微观自由度的运动方程是时间反演对称的，在相空间中，考虑此刻的微观状态点，诚然，面向未来会倾向于运动向一个更大的相空间，获得更大的熵；可是，这一论断同样适用于面向过去的运动，状态点在向过去的运动中也会是熵增的过程。这样，你并没有通过概率的方法打破时间反演对称，并没有解释宇宙中的时间箭头[3]。
玻尔兹曼深刻地认识到了这个漏洞，并且被此深深困扰。他最后的解决方法是创造一个特殊的初始条件，人为地打破时间反演对称。热力学第二定律告诉我们，宇宙是熵增的单向过程。这样的话，如果追溯宇宙的起源，即看向过去，必然有一个熵极小的宇宙状态。假设存在一个这样的早期宇宙低熵状态，那么结合概率论，宇宙向更大概率的高熵状态演化，宇宙中的时间箭头就可以得到解释。
这一解决方法称作玻尔兹曼的盒子(Boltzmann′s box)。考虑一个盒子，盒子里有大量的物质，例如原子。规定在起始时刻，所有的原子集合在盒子的一个角落，这对应一个低熵状态。随着时间演化，概率论告诉我们，原子将从角落开始向整个盒子扩散，因为这样的状态对应更多的微观状态，有更大的概率。在某些时刻，有趣的事情会发生，这些原子会组织形成一些结构。然而，随着进一步的演化，这些结构将消失，体系最后抵达熵极大的均匀分布状态，原子均匀分布在盒子里，没有任何有趣的事情再发生，体系达到了热平衡。
这是一个不错的解决方案。用现代宇宙学的语言来说，它对应的是宇宙大爆炸理论。宇宙起源于一个高温致密的奇点，这是一个低熵的状态。宇宙大爆炸导致宇宙的膨胀和冷却，在这个过程中，在引力的作用下，各种星系结构形成了，进而是黑洞的形成，对应于我们今天的宇宙状态。在未来，所有的结构都会蒸发消失，宇宙将归于热平衡(图2)。
图2 宇宙的演化
一切都挺好。可是，还是玻尔兹曼自己，清醒地认识到了这种论断里的致命漏洞。这个漏洞的根源仍然是概率论带来的。玻尔兹曼已经知道，在概率论的意义下，熵只是几乎总是增加的。但如果给足够长的时间，小概率的事件原则上是可以发生的。因此，在玻尔兹曼盒子里，热平衡之后的均匀状态不会是最后的故事。只要等足够长的时间，从这种平衡态里可以涨落出一个小概率低熵的原子分布状态。注意，这个低熵态来自于高熵平衡态里的随机涨落(random fluctuation)，因此它是不同于一开始的起始低熵态的(这个起始态是我们人为精心准备来打破时间反演对称的)。当然，这对应于动力学理论中的庞加莱回归现象：体系在足够时间后总会回到起始点的附近。这样，玻尔兹曼盒子里就有这种回归现象：从平衡态里随机涨落出来的低熵状态进一步演化，熵增，平衡，涨落出新的低熵态，熵增，涨落……
由上分析：(1) 如果宇宙对应的是从平衡态涨落出来的低熵态，则我们的宇宙不会有时间箭头，因为面向过去(平衡态)和未来(平衡态)熵都将增加；(2) 这个随机涨落的低熵宇宙是什么样的？答案是玻尔兹曼的大脑(Boltzmann′s brain)：宇宙中只有一个孤独的大脑在游荡。这是一个基于人择原理(anthropic principle)的结果。因为：(a) 既然此刻宇宙中有一个对于熵增现象发问的意识存在，则根据人择原理，尽管是小概率事件，但是一定已经从高熵的平衡态涨落出了一个发问的意识结构；(b) 如果涨落出一个意识是目标，较之于目前包括大量星系和生命的宇宙状态，一个孤零零的大脑更为简单，因此具有更大的可能性，即更大的熵。如果是随机涨落的话，涨落出一个孤零零的大脑概率要大得多。所以，在这些来自随机涨落的宇宙结构中，只有一个孤零零的大脑存在，它发问，并且很快就会消失而重新归于高熵的平衡。
因此，这种回归现象将导致玻尔兹曼的大脑，而这样的宇宙里没有单向的熵增，没有时间箭头，这也不是我们目前的宇宙。玻尔兹曼发现了自己对于时间箭头基于概率论解释的问题。且不说那个人为引入的起始低熵宇宙状态是怎么来的(别忘了概率论倾向于高熵态)，就算是可以有这样一个宇宙的低熵起点，来自于平衡态随机涨落的回归现象导致的玻尔兹曼大脑也是该解释的致命之处。
在玻尔兹曼的年代，原子论还没有被广泛接受，并且人们对于宇宙的看法是，宇宙是永恒的，因此玻尔兹曼的工作和思考被物理学界深深怀疑和拒绝。他最后选择了自杀。遗憾的是，仅仅在其自杀后的数年里，原子论就通过一系列的工作被物理学界所接受，热质说宣告破产。宇宙学的研究中发现了宇宙微波背景辐射(宇宙大尺度的均匀和各向同性)，以及宇宙加速膨胀，这些观察使人们认识到宇宙可能是有一个起点的，这产生了宇宙大爆炸理论。如前所述，这为玻尔兹曼低熵起始态的思考提供了一定的支持。
从分析中可以看出，如果可以避免回归现象，那么在一次性的宇宙演化中，通过引入宇宙起始的低熵假设，就可以通过熵增的过程产生目前的宇宙，进而宇宙走向平衡，这里有一个明确的由过去低熵，未来高熵决定的时间箭头。不会再有玻尔兹曼大脑带来的问题。所以，问题的关键除了低熵起源的不自然性之外，就是我们只要有一个一次性的、不回归的宇宙模型，就可以回答时间箭头之谜。那么，现代宇宙学里对这个问题是否已经解决了呢？答案是，仍然没有。
在目前的宇宙大爆炸理论里，宇宙起始于一个低熵高温致密奇点，大爆炸，膨胀冷却，星系形成。取决于暗能量，即宇宙学常数，的正负，有一个开放或者封闭的宇宙模型。在我们的宇宙里，宇宙学常数是正的，因此宇宙将是开放的和始终膨胀的，这被哈勃观察遥远星系的红移现象所证实。根据哈勃定律， v =HR ，其中， v 是宇宙膨胀中星系远离我们的速度， R 是星系距离我们的尺度， H 是一个正的哈勃常数。显然， R 大则v 大，远离的星系将有更大的速度。考虑一个极限，何时v 抵达光速c ？很容易算出R0 =c/H 。此后， R >R0 ， v >c ，我们将不再能收到任何该星系的信息。而这个距离R0 给出了宇宙的视界。
宇宙视界的存在使得宇宙形成了一个类似于玻尔兹曼盒子的构造。随着宇宙的演化，星系将蒸发成质子等基本粒子，进而这些物质将随着宇宙膨胀运动到视界之外，宇宙将空无一物。如果故事停在这里，我们会有一个一次性宇宙模型，有一个低熵起点导致的时间箭头。遗憾的是，量子力学告诉我们，在宇宙视界附近会有由于量子不确定性原理带来的大量粒子存在(这类似于黑洞附近的霍金辐射)，而这些粒子将在随机涨落中带来回归现象，创造出玻尔兹曼的大脑。因此，我们再一次回到玻尔兹曼的盒子，被玻尔兹曼大脑所困。
现代宇宙学的研究中，人们正在构造更多的宇宙模型以理解时间箭头之谜。
4 黑洞熵
黑洞熵是如何从量子涨落和热涨落的联姻中产生的呢？
由于量子力学的不确定性原理，一对共轭量的不确定性之积被普朗克常数定义了下限，例如能量和时间：ΔEΔt ≥h/4π 。所以，在极短的时间里，能量守恒可以不必满足，允许有极大的能量涨落。根据爱因斯坦的质量—能量关系：E =mc2 。若Δt 小到使得ΔE >mc2 ，能量涨落就足以产生物质。这表现为真空中极短时间内产生的正反粒子对。这些正反粒子只是电荷相反，却都具有正质量，因此是正能量。
可是，长的时间里能量需要守恒。因此由量子力学不确定性原理凭空借来的能量，还要还给真空，这就是正反粒子对的湮灭。真空里充满了这样的由不确定性原理所引起的正反粒子对的产生和湮灭。从以上分析，只要是正反粒子都有正能量，这就没问题，真空是稳定的，能量借了再通过湮灭还，时间平均来看真空仍然是空的。这样的过程，也使得一个量子体系的自由度(对应于粒子数)是不定的无穷多，因此，要引入处理无穷自由度的场描述，这就是量子场论。
会不会有这样的局面，其中正反粒子对中一个仍是正能量，而另一个变成负能量？这样粒子对的能量和就变成零，量子涨落借来的能量不用再通过正反粒子湮灭归还给真空。也就是说，真空可以通过量子涨落产生粒子。
答案是“有”。这个过程发生在黑洞的视界附近。
黑洞(图3)是引力塌缩的结果，其中心是爱因斯坦广义相对论的奇点，离开奇点有一个特殊距离：
称作史瓦西(Schwarzschild)半径，是为纪念德国物理学家卡尔·史瓦西(Karl Schwarzschild)而命名。史瓦西在一战的战壕里阅读了爱因斯坦1915 年11月发表的广义相对论论文，并惊人地迅速发现了场方程在球对称情形下的解。在史瓦西半径处粒子逃逸速度等于光速；小于RS ，逃逸速度大于光速，粒子无法逃出，这就是黑洞解。史瓦西半径定义了黑洞的视界，视界是当你坐飞船去探索黑洞时，再也不能送回信号的地方，跨越这里，你将消失不见。
图3 黑洞示意图
在视界外部，虽然在广义相对论中时间和空间统一成了一个时空，对应的能量和动量统一成了一个能动量张量，然而时间和空间性质不同：时间是单向的，空间是双向的；在时间轴上粒子无法如在空间轴上一样前后移动，结果导致能量是个标量，只能为正，而动量则是一个可取正负的矢量。然而，在视界内部情形不同，强大的引力使得能量获得了类似动量的性质，变成可正可负。
考虑黑洞视界附近，量子涨落产生正反粒子对，其中一个粒子迅速进入视界内部，也就是掉入黑洞，这样该粒子能量可以为负。因此粒子对能量和变为零，不用再通过湮灭的方式来满足能量守恒了。在视界外的粒子，由于逃逸速度小于光速，可以带着正能量逃逸出去，这就好像是黑洞在产生辐射。这个现象是剑桥大学著名物理学家霍金做出的，称为霍金辐射(图4)。随着霍金辐射的进行，负能量粒子进入黑洞，使得黑洞的能量或者质量越来越小，就像是黑洞在蒸发。
图4 霍金辐射示意图
既然有粒子的辐射，就有温度，这就是热涨落。所以，在黑洞附近，强大的引力使得量子涨落变成了热涨落。有温度，有能量，就有熵。因为从热力学已经知道，温度就是能量对状态数的变化率。所以，黑洞并非“无毛”的简单物体，而是具有自由度，也就是具有熵。
黑洞熵是多少呢？这里做一番极为简单的标度估算。
黑洞能量：E =Mc2 ；
黑洞唯一的长度尺度：史瓦西半径RS =2GM/c2 ；
由长度得出黑洞能量激发单元：Eb =hν =hc/λ =hc/(2RS) ；
激发粒子数：n =E/Eb ≈c3A/(Gh) ，这里黑洞表面积A ≈RS2；
微观自由度数：W ≈2n ，这里2 代表每个激发粒子的内部自由度，例如光子的两个极化。
则黑洞熵由玻尔兹曼公式估算出：
黑洞熵公式最早是由贝肯斯坦(Bekenstein)在黑洞表面积始终增加的启示下得出的，当然推导过程不是这样。黑洞熵公式的美妙在于，它将物理学中重要的基本常数h , k , c , G 结合于一起，反映了黑洞熵是量子场论、热力学和统计力学，以及广义相对论相结合的美妙结果。由(8)式可知，黑洞熵与黑洞表面积成正比，而不是与黑洞体积，这是一件不平凡的事情，蕴含了全息原理：黑洞的信息都储存在表面上，一个三维空间的引力理论等价于一个低一维(二维)空间的量子理论。
从量子力学和广义相对论估算出了黑洞熵。结合热力学，我们进一步估算黑洞的温度。因为温度是能量对于熵的变化率，因此大约有：
这里用到了A ≈RS2 。这就是霍金的黑洞温度公式，该公式(准确的含系数形式)镌刻在了霍金的墓碑上(图5)。从这里，我们看出黑洞温度反比于质量，因此通过霍金辐射、黑洞蒸发、质量减小的过程，黑洞越来越热。
图5 霍金墓碑。上面镌刻着霍金辐射的温度公式
如上所述，黑洞物理奇妙地将广义相对论、量子场论、热力学和统计力学融合在了一起，这就是为什么黑洞在基础物理中变得美妙且重要的原因。
5 结语
本文从热力学中熵作为一个状态函数被引入以表述热力学第二定律谈起，讲述了熵的统计力学定义，以及熵增原理与时间箭头，介绍了如何在时间反演对称的基础物理理论中，通过相空间的粗粒化而涌现出熵增现象，进而讨论了玻尔兹曼在时间箭头问题上的深入思考，以及玻尔兹曼想法的现代宇宙学证据，最后以黑洞熵的讨论而结束。希望可以启发人们对熵这一饶有趣味且内涵丰富的概念进行进一步思考和研究。
参考文献
[1]Wehrl A. Rev. Mod. Phys.，1978，50：221
[2] Susskind L. Lecture at Santa Fe Institute，2013
[3] Penrose R. The Road to Reality：A Complete Guide to the Laws of the Universe. Jonathan Cape London，2004
本文选自《物理》2020年第4期