当数学和物理联手，会搞出什么大事情呢？（下）

Kevin Hartnett 中国物理学会期刊网 2022-05-18

外在的推动力量

即便在理论不完备的状态下，量子场论（Quantum Field Theory，QFT）也引发了许多重要的数学发现。QFT促进数学发展的一般模式是：使用QFT的物理学家偶然发现了令人惊讶的计算，然后数学家试图给出一些解释。

“这就像是一台产生想法的机器，”汤大卫说。

在基本层面上，物理现象与几何学有着密切的关系。举一个简单的例子，如果你把一个运动的小球放在一个光滑的表面上，它的轨迹将对应出表面上任意两点之间的最短路径，这种特性称为测地线。这样一来，物理现象就可以检测出某种形状的几何特征。

现在我们用电子代替之前说的小球。电子以某种概率存在于表面上的每一点。通过研究包含这些概率的量子场，你可以了解到表面的整体性质（用数学家的术语来说是流形），比如它有多少个洞。这是从事几何学和拓扑学相关领域的数学家想要回答的一个基本问题。

“一个粒子即使待在那里什么也不做，我们也能了解流形的拓扑结构。”汤大卫说。

在20世纪70年代末，物理学家和数学家开始应用这种观点来解决几何中的基本问题。到了90年代初，塞伯格和他的合作者爱德华·威滕（Edward Witten）弄清楚了如何使用它来创建一个新的数学工具——现在我们称之为塞伯格-威滕不变量，它将量子现象转化为一个形状的纯数学特征的指标：通过计算量子粒子以某种方式表现的次数，可以有效地计算出了形状中的孔洞数量。

爱德华·威滕

来自牛津大学的数学家格雷姆·西格尔（Graeme Segal）说：“威滕指出，量子场论为几何问题提供了完全出乎意料但又完全精确的见解，这使棘手的问题得以解决。”

另一个两种学科交叉的例子也出现在20世纪90年代早期。当时物理学家正在进行与弦理论相关的计算，他们根据本质上不同的数学规则，在两个不同的几何空间中进行这些运算，并不断生成精确的长串数字，这些数字彼此吻合得很好。数学家们抓住了这条线索，把它发展成一个全新的研究领域，叫做镜像对称。数学家用它来研究一致性以及其他许多类似的问题。

“物理学能提出这些惊人的预言，而数学家会用自己的方法来加以证明，”本-兹维说道，“尽管这些预言既奇怪又精彩，但结果几乎总是正确的。”

然而，尽管QFT已经成功地为数学创造了线索，但它核心思想的大部分仍然存在于数学之外。数学家们有方法去使用多项式、群、流形和其他学科的支柱（其中许多也同样起源于物理学），但是对于量子场论，数学家们理解得还不够好。

对于物理学家来说，这种与数学的遥远关系是一种迹象——对于这个他们创造出来的理论，物理学家们还需要去了解更多。“在过去的世纪里，物理学中使用的每一个概念在数学上都有其天然的地位——除了量子场论。”塞伯格说。

我想说的是物理学家不一定无所不知，但物理学是的。

大卫·本-兹维，德克萨斯大学奥斯汀分校

而对于数学家来说，QFT和数学之间的关系似乎应该比偶尔的互动更深。这是因为量子场论包含了许多对称性，或者说是潜在的结构，它们决定了场的不同部分中的点是如何相互联系的。这些对称性具有物理意义——它们体现了量子场随时间演化时像能量这样的物理量是如何守恒的。同时它们本身也是数学上有趣的研究对象。

“数学家可能关心某种对称性，而我们可以把它放在物理环境中，”卡斯特罗说，“这就在这两个领域之间建立了一座美丽的桥梁。”

数学家已经利用对称性和几何的其他方面来研究从不同类型方程的解到质数分布的所有问题。通常，几何会将数字问题的答案编码。QFT为数学家提供了一种丰富的新型几何对象，如果他们能直接着手处理，那就不知道他们能做什么了。

“在某种程度上，我们是在玩QFT。”德克萨斯大学奥斯汀分校的数学家丹·弗里德说。“我们一直在使用QFT作为外部激励，但如果它是内部激励，那就更好了。”

为QFT铺平道路

数学不会轻易接受新学科。许多基本概念都经过了长时间的考验，才在这一领域中确立了其应有的、规范的地位。

以实数为例——它是数轴上无限多的所有刻度。人们通过将近2000年的数学实践，才在定义它们的方法上达成一致。最后，在19世纪50年代，数学家们确定了一个精确的五字陈述，将实数描述为一个“完备有序域（complete ordered field）”。它们之所以完备，是因为它们不包含间隙；之所以是有序的是因为总有一种方法可以确定一个实数是否大于另一个实数；并且它们形成了一个“域”，对数学家来说，这意味着它们遵循算术规则。

弗里德说：“这几个词代表了历史上的一段艰难的斗争。”

为了将QFT转化为一种内部激励——一种他们可以用于实现他们自己目的的工具——数学家们希望对QFT给予与实数相同的处理：任何特定的量子场论都需要满足的一个严格的特征表。

圆周理论物理研究所的凯文·科斯特洛正在构建一个框架，它可能将量子场论最终构建于在严格的数学基础上

把QFT的一部分转化成数学的许多工作来自圆周理论物理研究所的数学家凯文·科斯特洛（Kevin Costello）。2016年，他同别人合著了一本教材，这使得微扰QFT理论有了坚实的数学基础——包括形式化地描述了如何处理随着相互作用增强而出现的无限量。这项工作是在2000年代早期的一项叫做代数量子场论的研究的基础上进行的，该理论也是在寻求类似的目的。所以现在虽然微扰QFT仍然不能真正描述宇宙，但数学家知道如何处理它产生的没有物理意义的无穷大。

“他的贡献非常巧妙，也很有见地。他把微扰理论放在一个很好的新框架中，而这个框架适用于严格的数学。”摩尔说。

科斯特洛解释说，他写这本书是为了让微扰量子场论更合乎逻辑。“我只是发现某些物理学家的方法没有动机，而且是临时的。我想要一个更独立的、数学家可以使用的东西。”

通过精确地说明微扰理论是如何工作的，科斯特洛构造出了一个基础。物理学家和数学家可以在此基础上构建满足他的微扰方法所要求的新的量子场理论。这个工作很快就被领域的其他人所接受。

“肯定有很多年轻人在这个框架下开展研究。”弗里德说，“凯文的书产生了很大影响。”

科斯特洛也一直致力于定义什么是量子场论。简单地说，量子场论需要一个几何空间，在这个空间中，你可以在每个点上进行观测，并结合相关函数来表示不同点的观测值是如何相互关联的。科斯特洛的工作描述了一组相关函数需要具备的性质，以便将此作为量子场论的可行基础。

最常见的量子场论，如标准模型，包含了并非在所有量子场论中都存在的附加特性。缺乏这些特征的量子场论可能描述了其他尚未发现的性质，这些性质可以帮助物理学家解释标准模型无法解释的物理现象。如果你对量子场论的看法过于接近我们已知的版本，你甚至很难想象其他必要的可能性。

盖奥托说：“有一个大灯柱，你可以在灯柱下找到某些场的理论（比如标准模型），它周围则是（量子场论）的一大片黑暗，我们不知道如何定义，但我们知道它们就在那里。”

科斯特洛用他对量子场的定义照亮了一些黑暗的空间。从这些定义中，他发现了两个令人惊讶的新的量子场论。尽管它们都不能描述我们的四维宇宙，但它们确实满足了具有相关函数的几何空间的核心要求。这是一项纯思维的发现，类似于你发现了一个可能存在于物理世界中的形状，一旦你对一个形状有了一个大致的定义，你就可以用自己的方式去思考那些与物理无关的例子。

如果数学能够确定量子场论的全部可能性——满足一个涉及关联函数的一般定义的所有不同可能性——物理学家可以利用这些可能性找到解释他们最关心的重要物理问题的具体理论的途径。

卡斯特罗说：“我想知道所有QFT的空间，因为我想知道量子引力是什么。”

延续几代的挑战

这项工作还有很长的路要走。到目前为止，所有的量子场论都是用数学术语来描述的，它们都依赖于各种简化——这使得它们更容易进行数学处理。

几十年前，简化问题的一种方法是研究更简单的二维QFT，而不是四维QFT。一个法国的团队最近敲定了一个重要的二维QFT的所有数学细节。

其他的简化方法假设量子场是对称的，但这有时不符合物理现实。不过从数学的角度看，这使它们更容易处理。其中包括“超对称”和“拓扑”QFT。

而下一步，也是更困难的一步，是去掉“拐杖”，提供一个更适合物理学家最想描述的物理世界的量子场论的数学描述：四维连续的宇宙，所有的相互作用都可能同时发生。

“有一件很尴尬的事：我们没有一个可以用四个维度、非微扰的方式描述的量子场论。” 雷兹纳说。“这是一个很难解决的问题，显然需要一两代以上的数学家和物理学家来解决。”

但这并不能阻止数学家和物理学家不断为之努力奋斗。对于数学家来说，QFT是一种和他们所预想的一样的丰富的研究对象。定义所有量子场论所共有的特性几乎肯定需要合并数学的两大支柱：解释如何控制无穷的分析方法和为讨论对称性提供语言的几何学。

迪杰格拉夫说：“就数学本身而言，这是一个迷人的问题，因为它结合了两类伟大的思想。”

如果数学家能够理解QFT，谁也不知道在这一过程中有什么样的数学发现在等待着数学家们。很久以前，数学家定义了其他对象的特性，如流形和群，现在这些对象几乎渗透到数学的每个角落。当它们第一次被定义时，不可能预料到它们所有的数学结果。QFT至少在数学方面有着同样的希望。

“我想说的是，物理学家不一定无所不知，但物理学是的。” 本-兹维说。“如果你问对了问题，它就已经具备了数学家正在寻找的现象。”