经济学中的数学方法：有待澄清的几个观念
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经济学中的数学方法是一种非常有用的简化工具，经济学家运用数学模型的精妙之处在于“经验”而非“逻辑”，不同经济模型之间的互补性远大于替代性。
作者：胡怀国，中国社科院经济研究所 来源：经管之家
引子
两大体系的命运目前，经济学界“数学化”的高歌猛进与饱受抨击，似乎已成为一种现象：年轻学子的推崇、学术“主流”的自信、部分学者的猛烈抨击等相互交织，令人眼花缭乱。在高校里、在学术杂志中，在“规范化”、“与国际接轨”的大旗下，“数学化”大潮浩浩荡荡；在不少人眼里，不玩点数学模型，似乎就成了不入流的边缘学者。与此同时，对于“言必称数学模型”之辈，不少学者抨击其“纯粹是欺骗天真的经济系学生”，“动机不纯”兼“后果严重”。为避免陷于泛泛而谈，不妨考察一下“两大体系的命运”，即“哥白尼体系”和“凯恩斯体系”的际遇，它们或多或少都与“数学方法”有关。 数百年来，哥白尼的“日心说”似乎已成为“方法”问题的经典案例。经济学大师亚当·斯密开始做学问前，就曾先拿它“练手”（牛津大学求学期间即着手积累素材）。我们生活在21世纪，相对论、量子力学等已有近百年历史，“地心说”、“日心说”谁错得多一些已不重要（参照点而已，浩瀚宇宙，任何一点均堪此任，选择可谓无穷），但该体系的命运还是耐人寻味的。
哥白尼体系面世之初，确实存在太多的先天不足：
（1）基础理论方面，牛顿力学（包括万有引力）出现之前，“哥白尼体系”简直是匪夷所思：地球飞速自转，“在赤道附近的每一点将日行2.3万英里，即时速1000英里或每分钟近16 42 35102 42 14939 0 0 3346 0 0:00:10 0:00:04 0:00:06 3346英里，比炮弹还要快”（斯密：《哲学论文集》，格拉斯哥版第78页）。
（2）在理论框架上，在开普勒提出“椭圆轨道”和“非均速运动”之前，“正圆轨道”和“均速运动”经常令该体系狼狈不堪。
（3）在理论应用或经验方面，哥白尼体系对现实世界的解释，远远比不上传统的托勒密体系精准（预测能力大致旗鼓相当）。言及此，不免想起“布鲁诺悲剧”：拿着这样的“武器”到处“叫板”，不出事才怪。
尽管如此，既然有“哥白尼革命”之谓，亦非浪得虚名。尤其在斯密眼里，该体系最大的优点是“简洁”——尤其是引入牛顿力学之后。有关启示至少包括：
（1）哥白尼体系是一个数学模型，同经济学中的数学模型并没有本质区别；
（2）不同的数学模型，在很大程度上依赖于假设前提（选择地球还是太阳为参照点）；
（3）好的数学模型，应该是简洁的、开放的：如果没有牛顿力学，哥白尼体系将一无是处；
（4）数学模型的好坏，最终取决于经验证据：没有伽利略的经验观测，哥白尼体系还要走许多弯路！伽利略曾经说过，“世界是一本以数学语言写成的书”；但他还说过：“一切推理都必须从观察与实验中来”。
对于经济学家而言，“凯恩斯体系”耳熟能详，仅简要归纳如下：（1）与哥白尼体系不同：它从现实来、到现实去，且符合人们直觉。（2）凯恩斯主义模型非常简洁，故而“开放”，便于进一步发展。凯恩斯的《通论》，并没有使用数学语言，但易于数学化；希克斯（1937）等归纳的IS-LM模型，加减乘除而已，手工计算亦无多少工作量；萨缪尔森（1947）提出的比较静态分析，更令IS-LM模型简单直接、含义丰富、便于应用。（3）凯恩斯主义的勃兴，恰逢经济数据和计量经济学快速发展时期。借助于IS-LM模型和计量分析，任何人都可以便捷地输入数据、精确地估算出IS和LM曲线的有关参数，政策分析成为简便、直接、准确的“简单劳动”。 哥白尼体系和凯恩斯体系的不同命运，既说明了数学方法的妙用和经验检验的重要性，也说明好的数学模型应该具有什么样的特点：简单实用、便于经验检验。
数学方法简单VS复杂
数学是经济分析的一种简化工具，“简化”是数学应有之意：“自然界喜欢简单化，而不爱用什么多余的原因夸耀自己”（牛顿：《自然哲学的数学原理》法则I）。经济学大师马歇尔亦曾指出，“数学上的熏陶有助于运用极其简练的语言来清楚地表述经济学推理的某些一般关系和某些简短的过程”（马歇尔：《经济学原理》附录四）。 两大体系的命运同其简洁性有关，目前流行的DSGE模型的命运亦是如此：早在上世纪80年代，真实经济周期模型已为其提供了基本框架、新凯恩斯主义已考虑了各类“粘性”处理技巧，但始终略显繁杂，难以步出象牙塔。此后，随着各类简化方法的引入（如“Calvo定价”，简单的一个调价概率参数便可轻松处理“粘性”问题）和计量技术的发展（计量软件使得极大似然估计、数值模拟等成为一个半傻瓜过程），DSGE模型才终于流行起来，从纯理论界步入央行等应用研究机构。 就“简洁”而言，D-S模型（迪克西特、斯蒂格利茨：《垄断竞争和最优产品的多样性》）令人印象深刻：借助于一个简单的D-S效用函数，就把规模经济情形下的分析几乎简化到完全竞争的程度，进而推动了内生增长理论、新贸易理论和新经济地理学等一系列理论创新。而诺奖得主克鲁格曼在《收益递增、垄断竞争和国际贸易》（1979）和《规模经济、产品差异和贸易模式》（1980）等论文中的“简化”，更是令人叹为观止：一种产品、一种要素（劳动）加上进一步简化的D-S生产函数，把规模经济、产业内分工时代的国际贸易问题梳理得清清楚楚，并以此开启了国际贸易理论新时代。 当然，因研究目的不同，经济学中的不同模型各具特色，有简单模型，也有复杂模型。不过，就现有文献而言，复杂的数学模型往往是该理论不成熟的表现，或有关经济理论处于初级阶段的标志，而不是相反。在这个问题上，国内某些学者似乎理解反了，似乎觉得模型越复杂，理论就越有深度，自己的水平就越高。事实也许相反：譬如自然界，山谷枝繁叶茂、虫鸟嘶鸣、热闹非凡，但不能说这个世界上就没有崇山峻岭、碧海波涛，只能说你站得不够高！
数学模型逻辑VS经验
经济学中的数学模型，不仅涉及数学自身的“逻辑”属性，而且同经济活动的“经验”性质有关，不能仅仅强调前者而完全忽视后者。在古希腊哲人（怀疑论者）看来，演绎和逻辑推理并不能产生新知识，“演绎说不出任何相对于已经蕴含在前提之中的东西而言的新东西。在这种意义上，演绎是缺乏新意或同语反复”（希尔贝克、伊耶：《西方哲学史》第118页）。经济学中的数学模型同样如此，它的结论隐含在假设前提之中，而假设前提更多地属于“经验”而非“逻辑”范畴。 “形而上者谓之道，形而下者谓之器，化而裁之谓之变，推而行之谓之通，举而错之天下之民，谓之事业”（《周易·系辞》）。对于经济学家而言，数学模型中的数学推导（逻辑）属于“器”，基于经验的各类假设和模型设定属于“道”；经济学家运用数学模型，应该“化而裁之”、“推而行之”、“举而错之”，如此才可“谓之事业”，而这种“事业”涉及诸多“经验”层面的东西。在这个问题上，国内经济学界似乎过于迷恋数学模型的“逻辑”属性，而对其“经验”属性重视不够。对于经济学家而言，数学模型的逻辑属性固然必不可少，但对于经济学“事业”远远不够。深陷其中，极易如纣王般“作奇技淫巧，以悦妇人”（《尚书·泰誓》）。 以最优行为为例。在经济理论和数学模型中，通常假设每个市场主体都是精于计算的、理性的利益最大化者。该假设或效用函数的具体形式，并非严格的逻辑结果，而是一种经验的概率判断。以普罗大众为例，一日之内可谓决策无数：起床时间、牙膏品牌、早餐喝咖啡还是豆浆、上哪家网站、听哪首歌、读哪本书等。这些决策，涉及历史文化传统、个人习惯和家庭传承、客观条件和外在约束、潜意识、本能冲动甚或纯属偶然等诸多因素，并非全部是审慎计算、理性选择的结果。经济学家之所以选择“理性”，在很大程度上是基于概率事件的经验结果：个体间的相互抵消和个体内的路径依赖等，令理性选择可以“大致近似”人们在现实生活中的行为选择。
而这种选择，基于的主要是“经验”而非“逻辑”。仍以DSGE模型为例，不论该模型如何精美，仍需以其数值模拟（校准）结果是否“足够接近”现实经济为判断准绳；不仅如此，况且不论数据本身的问题，现实经济诸变量往往因时因地而变，这种基于数值模拟和历史经验数据的对比，仅限于“已经发生的事实”，故被人们批评为“以复杂的数学模型讲述众所周知的故事”。
事实上，盯住数学本身的内在逻辑，而忽略经济模型本身的经验性质，很容易陷入无聊的数字游戏，凯恩斯曾对此做过激情抨击：“在近来的‘数理’经济学中，只能代表拼凑之物的部分实在太多了；这些部分的不精确程度正和它们赖以成立的假设条件是一样的。假设条件使那些作者们能在矫揉做作和毫无用处的数学符号中，忘掉现实世界的复杂性和相互依赖的性质”（凯恩斯：《就业、利息和货币通论》重译本第309页）。
经济模型替代VS互补 毫无疑问，现实经济存在一些共同的东西甚至规律，但不同的时代、不同的国家，亦必然面临特殊的问题。在这个意义上，古往今来的经济理论和模型，谈不上绝对的高低对错之分。国内学术界似乎过于强调经济模型间的“替代性”，而忽视了经济理论之间的“互补性”，进而认为当前流行的经济模型是“高级的”、正确的，而过去的经济理论似乎全是“垃圾”。果真如此，不仅太过小觑数百年来经济学家的智慧，而且有“视现实经济为玩物”之嫌；果真如此，经济学家很可能从“知识分子”退化为标准化“流水线”上的“高级产业工人”，成为《国富论》第五篇批评的有技术、没文化的群体。 笔者一直认为，任何经济理论和经济模型都有可取之处，它们之间更多地是互补而非替代关系，需结合时代背景和研究目的辩证看待。譬如重商主义，在现代经济学家眼中似乎一无是处，但在市场体系构建之初，借助于国家力量，对内打破封建割据、构建统一市场，对外武力开拓潜在市场（把“非市场”变为“市场”），在特殊条件下并非全然没有道理（相对于大使命而言，其具体“器物”层面的谬误并不重要）。一旦市场体系开始良性运作，打破垄断、自由市场自然成了古典经济学的首要选择。 不妨以人们熟悉的凯恩斯主义和新古典宏观经济学为例。按照市场机制是否对有关冲击做出了充分反应，我们可以将经济问题分为短期问题和长期问题。传统凯恩斯主义针对的是短期问题，探讨的是“短期怎么办”；新古典宏观针对的是长期问题，分析的是“如果短期这么办，长期会怎么样”。没有凯恩斯主义，ZF部门将束手无策；没有新古典宏观经济学，ZF部门将一错再错！现代经济缺了谁都不行！在这个意义上，二者是互补，这也是曼丘（2006）将凯恩斯主义称为“工程师”、把“新古典学派”称为“科学家”的主要原因，并认为“如果宏观经济学家始终记住他们的双重角色，那么该学科的进展将更为顺利、更卓有成效”（《作为科学家和工程师的宏观经济学家》第30页）。
现代市场经济在中国的历史并不长，市场机制尚未完善，同样的市场调整过程也许会经历更长的时间。从这个意义上讲，我们面临的许多中长期问题很可能是经济学意义上的“短期”问题（市场机制尚未做出完全调整），但国内学术界似乎有着用长期框架、分析短期问题的倾向，再加上过于重视数学推导、轻视经济学的厚重性和现实性，影响了对现实经济问题的准确判断。
此外，数学模型通常依赖于高度简化的假设前提，再加上数学推导和数据可得性的限制，故不得不舍弃现实经济中的许多重要方面；对于市场机制尚未完善、不仅面临“市场运行”而且面临“市场构建”的中国经济而言，数学模型的这种“舍弃”无疑“窄化”了经济理论在现实经济中的应用范围。正因如此，以中国经济为研究对象的国内学术界，更应重视不同模型之间的“互补性”，而不是一定要争出个高低对错，徒增无谓内耗。
结语 简言之，经济学中的数学方法是一种非常有用的简化工具，经济学家运用数学模型的精妙之处在于“经验”而非“逻辑”，不同经济模型之间的互补性远大于替代性。如果“身在庐山”、片面理解，很可能会糟践数学这个好东西：“在人类文明中，数学如果脱离了其丰富的文化基础，就会被简化成一系列的技巧，它的形象也就被完全歪曲了”（M·克莱因：《西方文化中的数学》第vii页）。 从学术研究看，国内越来越多的学者、尤其是年轻一代，开始使用数理模型研究经济问题，这是一个好现象，但应该注意避免“形式化”倾向：数学推导过程实际上是自己的思考过程、是给自己看的；给自己看的东西，同给读者分享的东西之间，还是有一定区别的：譬如驾车旅行、上传“微博”，读者想知道的是沿途风景和人文思考，不一定要把每一次抬离合、挂挡、加油等详列清单，间或炫耀一下自己的车技！驾车技巧，自有专门的俱乐部或汽车杂志，不一定要讲给一般受众。
再比如“三高”课程，大量时间应该讲授经济模型的理论背景和现实意义、不同模型的精妙之处等，而不是重复推导不同模型，甚至变成小学生的“奥数”辅导班。目前的“三高”内容有必要精练（重在基本方法）、扩展（不同模型之所以然）、增加厚重感和现实感。唯有如此，才能够让学生们认识到：经济学是厚重的，经济学家是有文化的，甚至偶尔能够承载知识分子之谓。
胡怀国老师的翻译文章：曼昆带你一览宏观经济学简史（点击可查看）