建筑结构丨地震力到底是怎么算出来的——自振周期对动力响应的影响

来源：知乎；作者：猪小宝

看这篇文章之前，请大家先补充下之前发的两篇，以便理清思路：

其中，第二篇我们讨论了动力时程分析。所谓的动力时程分析，也就是对于我们这个小房子，已知一条真实的地震波，如何求解在这个地震作用下房子的位移情况。

比如我们以1995年阪神地震为例，如果我们的小房子经受一场跟阪神地震一模一样的地震，那它的位移就是图中的红色曲线。横坐标是时间，而纵坐标就是每个时刻的位移值。

我们注意到，对于每一个时刻而言，都有一个相对应的位移值。对于这每一个时刻的位移值，也都有相对应的作用力。位移乘以刚度，就是相对应的地震作用力，也就是说。

比如我们上一篇里就通过7.832毫米这一位移值，得到了1566千牛这一地震作用力。

再回到第一篇，我们是如何求房子的自振频率呢？

房子的自振频率是 ，变换一下形式，也就是。也就是说，我们的地震作用力其实是。作用力除以质量等于加速度，我们把质量除到等号左边，这个式子就变成了这又是什么意思呢？我们已经知道，对于我们的这个小房子，自振频率 ω 是一个定值而房子的位移 u 就是我们上面的红色曲线。把这条曲线等比例放大 ω 的平方倍，我们就得到了房子的地震加速度曲线。

比如说，对于某一个时刻，房子的位移等于2.352毫米，把位移带进上面的公式，我们就能得到这一时刻的房子的地震加速度。

这一时刻的房子加速度是1568毫米每秒的平方，重力加速度是9800毫米每秒的平方，所以此时刻的房子水平方向相当于承受 0.16 倍的重力加速度，也就是 0.16 g。

同样的道理，我对每一个时刻都做这样的处理，2.352毫米变到 0.16g，7.832毫米变到 0.53g……这样一来，我们就得到了房子本身所受的加速度随时间的变化。

最上面的就是地面的加速度，中间是房子的位移，这两个正是我们上一篇的内容。而最下面的则是房子的加速度，是由房子的位移等比例放大而来的。也就是说，在地震作用下，房子的位移越大，其等效的加速度也就越大，换言之，所受的地震力也就越大。

也就是说，我们所应该考虑的地震力的大小，就是最下图这条黑色曲线再乘上房子的质量。房子的质量是一个定值，所以这条黑色曲线所代表的，就是我们所应该考虑的地震力的变化。

注意到，最上面的蓝色曲线，地面的加速度，最大值大约在0.8左右。而最下面的黑色曲线，房子的加速度，最大值达到了1.47。换言之，地震作用在这个房子里被放大了。也就是说，房子插在地面上，地面的最大加速度是 0.8g，而房顶的加速度则达到了1.47g。

这是由什么因素决定的呢？为什么房子的最大加速度是 1.47g ？而不是 2g？或者 0.5g？哪个参数起到了决定性的作用？换言之，是哪个参数决定了地震作用在房子里是被放大还是缩小？

要弄清楚这个问题，我们先得说清楚怎么从第一条蓝色曲线得到的第二条红色曲线。而第三条黑色曲线只是把第二条红色曲线等比例缩放了而已。

我们知道，第一条蓝色曲线代表的是地面的加速度，我们用 ug 的二阶导数来表示，第二条红色曲线代表的是房顶的位移，我们用 u 来表示。这两者之间的关系是这样的：我们在第二篇里的 Matlab 代码，事实上就是在解这个微分方程，已知每个时刻的 ，求解每个时刻的 u。这里面的 m 是质量，k 是刚度，而 c 则是阻尼。质量与加速度相关，阻尼与速度相关，刚度和位移相关，这三者之和应该与外力平衡，而外力就是地面的加速度引起的惯性力。

阻尼 ，其中的就是我们第一篇里提到的阻尼比。而我们上面也得出了 。把 c 和 k 的表达式都带进微分方程：

我们得到 

两边都消去质量 m，我们就得到了 。

真相已经浮出水面了，在地面加速度和房子加速度之间的微分方程里，参数只有两个，一个是自振频率 ω ，另一个是阻尼比 ζ。我们已经知道，对于大多数建筑结构，阻尼比都是0.05，因此，起作用的独立参数只有一个，就是自振频率。

换言之，同样的地震来了，同样的地面加速度，为什么不同的房子反应不同？为什么不同的房子的加速度不同？原因只有一个，那就是它们的自振频率不同。频率是周期的倒数，也就是说，自振周期直接决定了房子的地震作用的大小。

也就是说，刚度会有影响，质量会有影响，但是，真正起作用的是它们的比值。如果我等比例放大刚度和质量，保持它们的比值不变，那么我还是会得到相同的地震等效加速度。我们上面的红色曲线和黑色曲线都不会变。

还是以我们的这个小房子为例，第一篇里，我们已经知道它的自振周期是0.243秒，它的地震位移是上面的红色曲线，地震等效加速度是上面的黑色曲线。所谓的地震等效加速度，也就是地震力与自身重力的比值。阪神地震作用下，小房子的最大位移是 21.7 毫米，最大地震力与自身重力之比是 1.47。

如果我改变房子的刚度和质量的比值，让它的自振周期变成0.5秒呢？

这个时候，它的三条曲线是这样的：

蓝色曲线永远不会变，都是阪神地震的实测地面加速度。但是红色曲线和黑色曲线都变了。这时候的最大位移达到了 132.74 毫米，最大地震力跟自身重力的比值达到了 2.137。

如果把房子的自振周期变成1秒呢？

这时候变化就更大了，最大位移达到了371.92毫米，最大地震力和自身重力的比值为1.497。

咦？跟0.5秒的相比，最大位移从132.74变大到了371.92，而最大地震加速度怎么从2.137减小到了1.497呢？黑色曲线和红色曲线不是等比例缩放吗？

没错，地震等效加速度和位移之间是等比例缩放，但注意，缩放系数是自振频率的平方，也就是，缩放系数跟周期有关。所以，虽然都是缩放，但是周期0.5秒时的缩放系数大，而周期1秒时的缩放系数小。所以，132.74乘以一个比较大的缩放系数能够得到2.137，而371.92虽然比132.74大，但需要乘以一个比较小的缩放系数，所以只得到了1.497。

如果把房子的自振周期改到 2 秒呢？

这时候，最大位移为391.93毫米，而最大地震力与自身重力的比值是0.394。

有的看官说了，最大位移391毫米，都快40厘米了，真的会这么大吗？

这是1971年美国 San Fernando 地震中 Olive View 医院一楼的角柱，混凝土几乎全部破坏，纵筋严重变形，整个二层以上的建筑物发生了60厘米的水平位移。怎么样？地震的力量真的是超乎想象的。

我们回顾一下我们的这个小例子，自振周期分别为 0.5、1、2 秒时，最大地震力与自身重力的比值分别是 2.137、1.497、0.394。

什么意思呢？当阪神地震来的时候，所有自振周期为0.5秒的房子，都要承受相当于自身重力2.137倍的地震力；所有自振周期为1秒的房子，都要承受1.497倍自身重力的地震力；而所有自振周期为2秒的房子，则都要承受0.394倍自身重力的地震力。

那你觉得，就这三种房子而言，哪种更为不利呢？哪种需要承受的地震作用相对最大呢？

对于一般的房子而言，自振周期跟什么有关呢？最最简单的估计，自振周期跟高度或者层数成正比。也就是说，三层的房子，周期大概0.3秒，二十层的房子，周期大概2秒。

根据我们的结果，如果是阪神地震，所有的三层房子都要承受2倍自身重力的地震力，而所有的二十层房子要承受0.4倍自身重力的地震力。你觉得哪种房子震害会严重一些呢？

1995年阪神地震震害主要集中在低周期段，所以三层房子的震害要比二十层的严重。实际的震害也证明了这一点，多层建筑破坏严重，而高层的破坏相对较轻。有句话说「超高层建筑反而是地震中最安全的地方」，也是这个意思。周期非常大的超高层建筑，地震力与自身重力的比值会非常小。

需要注意的是，不同地震与不同地震的特性不同。如果我们拿另一个地震的实测数据来计算，得到的可能就是截然不同的结果，比如0.3秒的房子最大地震加速度是0.4，2秒的房子最大地震加速度反而是2。也就是说，这种地震作用下，三层房子承受的地震力是自身重力的0.4倍，而二十层的房子则要承受自身重力2倍的地震力。

像1985年墨西哥城大地震就属于这种比较少见的类型，震害偏向高周期段。所有的低层建筑几乎毫发未损，而高层建筑的震害非常严重，多座钢结构高层建筑发生整体垮塌。震后的景象令人乍舌，小砖房、破瓦房都好好的，钢结构的高层反而倒了。

既然如此，我们如何考虑这种不同地震之间的差异呢？我怎么知道我设计的这个房子将来可能要经受哪样的地震呢？众位看官，且听我们下回分解。

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