时事建模|什么时间做核酸最快？

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什么时间做核酸最快？

摘要

目前疫情形势起伏波动，为了更有效地落实疫情防控，学校增加了对全体师生的核酸检测频率要求。大量的检测对象加上可提供的有限的人力物力资源，带来了核酸检测点位的冗长排队现象。过长的排队时间以及人员聚集，不仅带来了同学们时间和精力的浪费，还有可能增加人员聚集带来的传染风险。

本文利用M/M/c/k经典排队模型和Poisson过程,建立数学模型，为同学们提供科学的排队策略，并且讨论校方如何合理安排核酸监测。

关键词：排队模型；Poisson过程

正文

模型一、如何安排核酸检测策略最优？（江雨萱）

【问题分析】

在短时间内无法快速完善基础建设、补充足量人力物力资源的情况下，对于排队现象进行数学建模可以帮助我们，提高检测效率。

在核酸检测场景中，可以抽象出两个要素，一是系统中的待测人员，二是系统中为待测人员提供的核酸检测服务。在此系统中，待测人员怎样到达，提供服务的系统有多大的运行空间和容量，提供服务的效率都与排队系统的服务能力息息相关（为适应经典排队理论，将待测者等价为顾客，将检测人员等价为服务员，将检测过程等价为待测者排队在服务台接受服务的过程）。

1. 顾客的输入过程

   待测者数目是不随着时间变化而变化的齐次Poisson过程。

2. 对顾客的服务过程

   服务时间可以认为是核酸检测人员对于待测者进行一次检测的时间

3. 监测资源

   短期来说认为监测点是固定的。待测人员数量是无穷的。

4. 服务规则

   基于核酸检测的必要性和强制性，我们认为串联结构的排队网络模型，顾客单向流动，

如下图所示：

图表 1 串联结构排队网络

【原理和建模】

计数过程{N(t),t≥0}在区间[t,t+τ]内发生的事件的数目的概率分布为：

称该计数过程为参数为λ的Poisson过程。显然，待测人员到达数量服从Poisson过程，而过程中两次相邻时间发生的时间间隔Tn独立同分布于均值为1/λ的指数分布。

M/M/1/q模型，其含义为：

1. 输入过程{N(t),t≥0}为Poisson流，平均到达速率为λ（单位时间内的顾客数, λ>0），其顾客源的个数为∞；

2. 对每个顾客的服务时间{v_n,n=1,2,3···}相互独立且都服从负指数分布，平均服务时间为E(v_n)=1/μ，其中μ>0，表示单位时间内服务完的平均顾客数目；

3. 服务台个数为1；

4. 系统容量为q。

将该过程看作生灭过程，通过计算，得到：

系统中顾客排队等待数量的均值L_W：

单位时间内平均进入系统的顾客数（有效到达率）为：

根据Little公式得到顾客平均等待时间：

标准400米田径场的足球场宽大约是70米。根据人与人之间间隔1米的要求，取q=70（然而实际上是否存在待测者站得比较紧密的情况）；假设单位时间（一分钟）内到达10人，则顾客到达速率取10；假设单位时间（一分钟）内服务完的顾客数目为3，取μ=3；则系统负荷水平或强度ρ=λ/μ=3，顾客平均等待时间：

即平均等待时长为大约22.9分钟。

【小结】

1. 提高单位检测效率，或者增加监测点可以有效降低平均等待时长；

2. 顾客到达效率越小，等待时间越小，即可以采取分区检测策略，安排不同区域的师生就近检测，避免扎堆聚集，降低顾客密度和顾客到达率，降低平均等待时长。

模型二、核酸检测我该怎么排队？（刘昱君、何昕芮）

目前我校正处于疫情攻坚战的关键时刻，根据疾控部门应急管控要求，学校采取连续三天做核酸的防疫策略。相关通知一经发出，朋友圈就被各种排队照片刷屏，“排到博物馆了”“排到图书馆了”，可是有的同学却能错开高峰期，花费较短的时间完成核酸。究竟我们该采取什么样的策略做核酸呢？

【问题分析】

1.检测流量

泊松分布函数为

在时间T内有k位参检人员到达的概率为：

其中，是在时间λT内参检人员到达的平均参检人员数，λ为单位时间内平均到达速率，即泊松强度。

2.核酸检测进行时间

核酸检测进行时间主要分为两部分，分别为身份证识别时间和棉签采样时间。医护人员是一个一个对师生进行识别的，且对参检人员师生的识别时间长短不一。识别时间往往通过概率分布进行描述，而此问题属于简单排队问题，故假设身份证识别时间服从负指数分布，其分布函数为：

其中，μ为常数，代表单位时间内的平均识别率。则平均识别时间可以表示为1/μ：

棉签采样时间通常在30s-2min之中不等，本模型选取1min作为常量。

由此，平均检测时间（5min为单位时长）为(1/μ)+5，则单位时间内的平均检测率为μ/μ+5.

3.检测点设置

图2 检测系统结构图

【原理和建模】

设在任意时刻t系统中有n个参检人员的概率为P_n(t)，当系统达到稳定状态后，P_n(t)趋于稳定状态概率为P_n，此时P_n⁼（1-ω）ωⁿ。

依据排队论及概统知识相关知识可得到如下衡量指标表达式：

（1）处在整个核酸检测系统中的平均参检人员数量A_s为：

（2）处在队列中等待的平均参检人员数量A_w为：

（3）参检人员的平均逗留时间T_s为：

（4）参检人员在队列中的等待时间T_w为：

 【模型实例分析】

 我们选择2022年11月9日8:00-12:30的核酸检测数据（当日12:30-13:00后基本无人），选取时间间隔为10分钟，设置一个操场宽度为50人（50米共51个点位减去核酸检测点位），最终量化数据如下：

图3 核酸情况共享表格

经过计算核酸检测平均到达率为：

平均检测率：

拥挤程度：

【小结】

汇集数据整理得到表格如下：

表4 模型数据

结论：

校方：

1. 维持秩序是最重要的，避免大规模人群近距离聚集，严格规范人与人间隔一米。

2. 根据学校操场设置，结合M/M/1模型，队伍一列对应多个检测点位切实可行、高效有序。即管理学生分波进入操场进行核酸检测，每个队伍排队人数以及平均检测时间趋于一致。

3. 可以配置核酸预约系统，效仿体测预约系统。

学生：

1. 在9:00-10:00以及12:00-12:30 两个时间段到达人数较少、拥挤程度轻（见表4）。

2. 在规定核酸开始时间开始后一个小时到一个半小时，以及规定结束时间前一个小时，人较少，建议大家错峰做检测。

- END-

作者：江雨萱 刘昱君 何昕芮

特别感谢：李明谦 唐诚 肖月茗

排版：陈辰

校样：杨文睿 刘倩妃

审核：武晓昱

篇幅限制，只截取了部分论文，论文全文供大家下载学习：

*建模结果为北京林业大学理学院知识产权，可直接转载或引用，但不许删除作者信息。

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