“数学的发展”与“人类的进步”这两个短语可以说是几乎等价的，在几千年的世界文明史中，数学发展与人类进步相辅相成，并肩而行。近一百年前，英国的数学家和哲学家怀特海 (Alfred North Whitehead，1861-1947) 在他的名著《科学与近代世界》(Science and the Modern World) 中特辟一章，专讲“作为人类思想史要素之一的数学”。这章的一开头，他说：“纯数学这门学科在近代的发展，可以说是人类灵性最富于创造性的产物。”在所有其他的人类文明活动中，他认为只有音乐与数学同享如此崇高的地位。 的确，几百年来的近现代科学史，有多少科学大家吟诵过数学的赞美诗！实验科学的鼻祖、英国历史上两位伟大的“培根”中更早的那位罗杰·培根 (Rogers Bacon，1214-1293)，直截了当地宣称：“所有科学都需要数学”。近代实验物理先驱、意大利人伽利略 (Galileo Galilei，1564-1642) 的名言“自然之书是用数学符号写的”，被本文作者之一放在了他的科普书《智者的困惑——混沌分形漫谈》（丁玖著，高等教育出版社，2013年）的扉页上。学过线性代数的大学生都知道“二次型惯性定理”，它的发现者、英国数学家西尔维斯特 (James Joseph Sylvester，1814-1897)，当过律师，爱写诗歌，两度跨越大西洋帮助美利坚发展现代数学，唱出一曲“数学是理性的音乐”。现代物理学家们也很爱数学，尤其是那些理论物理学家。杨振宁和他在普林斯顿高等研究院的同事及终生朋友戴森 (Freeman Dyson，1923-2020)，甚至都成为杰出的“数学物理学家”。杨振宁少年时代在父亲的书房里就被群论的对称之美所吸引，戴森在成为理论物理学家前就已写出十篇数学文章。
与几十年前中国天才的“虚怀若谷”相反，西方人一直直言不讳地宣传“天才论”，承认天赋之才，并不遗余力地寻找人才、培养人才，做得卓有成效。笔者之一在多年前访问北京的中国科学院数学与系统科学研究院时，读到一份考察报告，其中一句话让他印象深刻。这句话是：美国百分之五的各行各业的精英创造了科技成就，而剩下的民众则享受这些成就。这就是说，那些百分之五的资优生，长成参天大树后，为整个国家的兴旺发达，做出了不可替代的巨大贡献。 资优的英文单词是“gifted”，是由名词“gift”转化而来的形容词。英文单词 gift 的意思是“礼物”，因此“资优”是来自父母基因最大的礼物，完全是上天的赐予。但是上天的礼物是有选择性的，100对父母中大概也只有5对收到礼物，生下了幸运之子，因而西方教育界人士觉得这份礼物来之不易，份量很重，切勿浪费，所以要好好利用，以求它的最大化效应。他们懂得，只要因势利导，这些极端聪明的孩子日后成为栋梁之才的概率就能大幅度提升。为达到这一目的，“资优生教育”作为大众教育的一个极其重要的部分，在西方备受重视。美国的教育思想遵循的是中国孔夫子的教导：“有教无类”和“因材施教”。对于前者，这个国家和中国做得一样好：任何人都有受教育的权利。但是它对后者的解释可能是对大多数学生“放任自由”，因为一般学生并非“智力超群”而“才华横溢”。在这一点，美国或许没有中国做得好，至少在数学教育这一方面。一般的美国高中毕业生对于初等数学的运算和理解远不及相应的中国毕业生。进了就业市场后，他们的代数操作和推理能力限制了他们的工作效率。然而，正如杨振宁先生所指出的那样，美国的教育对学生中的前百分之五十有益。美国中小学学校的做法是：充分注意每个学生的个性和特长，极其尊重每个学生的兴趣和爱好，创造条件让每一位天才茁壮成长。对于具有超级脑袋瓜并有鸿鹄之志的资优学生，学校开小灶，如果小灶也吃光了，就把他们送到附近的学院或大学，和本科生甚至研究生一起上课，待遇更高的是和教授一起做研究。笔者之一的任教大学有个名叫Lawrence Mead的物理教授，书教得特别棒，擅长解释新概念，拿过两次校级杰出教学奖，研究也做得不错，早期的一篇开创性论文直到现在还不时被引用，也和笔者之一合写过几篇文章。他一生的几个亮点之一就是指导了许多高中生做研究，写成文章，发表在有声誉的物理期刊上，如《数学物理杂志》(Journal of Mathematical Physics)。这些出类拔萃的高中生考上了很好的大学，有的后来当上了名校的物理教授。Mead教授几年前退休后，完全是兴趣使然，继续在家做理论物理和数学物理的研究，发表论文，无功利心地探索未知，已成习惯，这自然也会影响曾随他研习物理的那些高中生们。在同一所大学的数学系，一位华人教授的儿子倪襄龙是按照美国资优生教育的道路成长的。在他刚进小学时，父母就细心地观察到，儿子具有很强的接受能力和自学能力，尤其拥有数学和物理细胞，于是就带他在“因材施教”的康庄大道上整装上路了。
美国斯坦福大学他进了斯坦福大学常年提供的“资优青少年教育计划 (Education Program for Gifted Youth) ”，这是专给高天赋学生设计的一套远程教育网上课程，内容丰富，教学方式不按部就班。他八岁学了初等代数和平面几何，九岁完成三角函数和微积分预科 (Pre-calculus)，十岁时修了四门初等微积分课。那时他的正式身份是小学四年级学生，但是他却同时参加了全美的高中数学竞赛，并打入下一轮的美国数学邀请赛。从初二开始，他就没在他的学校修数学课，到了高中，他就干脆去了附近的大学修课，比如学习通常研究生才修读的《抽象代数》，考试成绩全班第一。更进一步，他跟随作为数学系教授的笔者之一做研究，探讨迭代对数函数的周期点问题，形成的研究论文发表在美国数学协会 (Mathematical Association of America) 旗下的《高校数学杂志》(The College Mathematics Journal)上。他顺理成章地被麻省理工学院录取，进了数学系，2018年他大学毕业，去了加州大学伯克利校区数学系读博士学位，专攻代数拓扑，导师是位于伯克利的美国国家数学科学研究所所长 David Eisenbud 教授。这位天赋异禀的学生是幸运的，因为美国到处都有各种“天才班”，不愿放过那前百分之五的青少年甚至儿童。比如，笔者之一的女儿读小学四年级时，就被选进学校一个冠名EXCEL的资优生班，班级英文名字的一个基本词义是“胜过”；这些孩子的确名不虚传，日后的发展大大胜过别人。班级的活动真是丰富多彩，有时解剖青蛙，有时请电视台的气象学家讲天气预报。某一天，她一回到家，就迫不及待地告诉爸爸，今天资优班的老师讲了“混沌与分形”，然后她就向他画图展示了从一个等边三角形开始，一步步画出的经典分形“科赫雪花”，俨然像一个讲授分形几何理论的大教授。这说明，美国的资优生教育不是热衷于给这些聪明的孩子大量地刷题或者拼命地灌输，而是不失时机地向他们展现现代科学和当代数学的一些新鲜思想和基本概念。从小学到高中毕业，智商优良并有强烈爱好的学生，都可以申请参加许多大学提供的多学科资优生教育计划，尤其在暑假的那两个月。再拿斯坦福大学来说吧，它的“暑期高中生培训计划” (Stanford Pre-Collegiate Summer Institutes)，对象是从14岁到17岁的高中生，集中住校三周，由本校教授和研究生课堂授课。2019年8-11年级的覆盖学科是：生物科学、商业、计算机科学、工程、数学、物理与地球科学、社会科学、写作与应用艺术。其中的数学课程有数论、逻辑与解题、纽结理论、离散数学、对称的数学、密码学。从名称中可见这些课程的内容基本上都是大学里的相关材料。此外，斯坦福大学还组织不同学科的夏令营，与数学有关的就有“斯坦福大学数学夏令营” (Stanford University Mathematics Camp)。它的对象是10和11年级的学生，面向全世界招生，用五周的时间强化高等数学的学习。还有一个常年运行的数学活动，叫做“斯坦福数学圈” (Stanford Math Circle)。每周数学爱好者在斯坦福校园内聚集一起，在数学家和教育家的指导下探讨数学。“斯坦福高中生在线大学程度数学与物理” (Stanford Pre-Collegiate University-Level Math & Physics) 则全年提供高中一般不开设的13门数学和物理高等课程。对于培养资优学生，斯坦福大学的确是不遗余力的。美国其他地区的许多大学也提供了大同小异的资优生教育计划，如位于美国东南地区的杜克大学与南密西西比大学合作，每年联合举办“学术资优青少年暑期活动”(Academically Gifted Child Summer Programs)，面向高中生，提供数学、心理学、演说与辩论、全球视野、天体物理、人类生物学等课程。
美国杜克大学
南密西西比大学有本州最好最大的教育学院，资优生教育专家Frances A. Karnes于40年前创办了资优研究中心，现以她的名字命名 (Frances A. Karnes Center for Gifted Studies)。它是美国东南部的主要资优研究中心之一，Karnes教授著作等身，获奖无数，包括她的博士母校伊利诺伊大学颁发的杰出校友奖。除了大学开办的多姿多彩的资优生教育计划，美国还有不少优秀的高中吸引资优青少年。一类是寄宿高中，主要集中在美国东北部的新英格兰地区，那是美国建国初十三个州的骨干部分，教育发达，集中了常春藤名校。这些私立高中接受外来申请者，择优录取，而学费则根据家庭收入酌情收取，甚至全免。