美国老师如何教数学系列1：数感
前言
昨天我写了前言，发的时候莫名其妙的给没了。。。最近很多人转载我的文章，我很感谢提前通知我并且标注公众号名称转载的人。对于那些没有通知和标注的，我觉得我有必要把以前的文章统统挖出来，稍微修改一下，然后加原创重发了。所以最近大家会看到我开始陆续重发，没有糊弄老读者的意思，请大家谅解~
李小喵
2015.7.30
正文
2014年我修了两门课，都是教老师如何教k-8的数学课。教这门课的老师都是台湾老师，在美国中小学教过多年数学，有着很丰富的经验，所以跟我们介绍了很多美式数学的教法，让人脑洞大开。。。
美国教育最大的一个特点就是，老师必须掰开揉碎，一步一步地教，这一点跟美国人的思维方式是一样的。所以乃们看美国的教材，从幼儿园到大学，全部一步一步写得特别清楚。很多人在国内学高数觉得很难，到了美国看原版教材反而觉得更简单，就是因为美国编教材的人把读者都想象成傻子，所以解释得特别详细的原因，而且还辅助大量生动的案例、插图，等等。
美国数学教材的难度其实和国内差不太多，我个人认为，但是差别在于练习和考试的难度。印象中我小时候教材、书后练习、市质量检测和考试的难度是酱紫滴：
美国中小学考试是酱紫滴：
基本就是学什么考什么，因为考试是assessment的一种，目的就是测试学生是否掌握知识，而不是说看谁有超前学习，谁额外学得多什么的。
好了吐槽完毕，今天我们就来聊聊数感（Number Sense）的问题。
数感，简而言之就是对数字的一种感觉。
“[They] can think and reason flexibly with numbers, use numbers to solve problems, spot unreasonable answers, understand how numbers can be taken apart and put together in different ways, see connections among operations, figure mentally, and make reasonable estimates.”
-About Teaching Mathematics, Marilyn Burns
美国对于低年级学生的其中一个训练就是数数。你可能问数数有嘛好数的，但是这就是培养对于数字的一种感觉。比如说给你几个点点，让你数数一共有几个。
来来来，数一数下图一共有几个圆圈~
6-7个以下我们都能数出来，但是再多，就很难数了。所以美国小学数学有一种练习，就是看图数点点，然后告诉老师你是用什么方法数的。
（你看出来第二张是个米老鼠了喵？）
除了数点点，我们还可以花样数数。我们小时候都数过。来，大家一起数偶数，2，4，6，8，10。。。大家5个5个数，5，10，15，20，。。。但是这样一班人坐在屋里一起数很无聊啊，于是就有老师发明了一个游戏bizz buzz。听上去很弱智，但是小盆友们很喜欢啊！比如5个5个数，小盆友排排站，挨个数数，但是不是说数字，而是说bizz和buzz。第1-4个小盆友说bizz，第5个要说buzz，然后6-9说bizz，10说buzz，酱，以此类推。谁说错了可以待会唱个歌什么的。
对于小盆友，不能把规则说了就开始玩，他们会困惑。首先要解释规则，演示一遍(demostration)；然后要带着他们一起做(guided practice)；最后再让他们自己做(individual practice)。群里也有老师管这个叫做to-with-by，怎么叫都行，反正就是这个顺序。
除了这个bizz buzz的游戏以外，还有一个游戏叫做mingle and count。不知道大家看得了看不了这个视频，我弄了半天没法下载，所以也没法传到国内。。。因为公众号里有读者给我留言说想要了解美国课堂的情况，这个视频是个很好的栗子。
https://www.teachingchannel.org/videos/mingle-count-a-game-of-number-sense
具体玩法就是老师一直在说mingle，然后学生四处走动，然后老师忽然说一个数字，比如5，然后5个学生就要抱在一起，然后大家一起数：5，10，15。。。剩下的没有组的可能学个鸭子叫神马的，下次找好组。老师还说了一些规则，这些规则要在小盆友们玩之前重复，比如不要拒绝不喜欢的人一组，不要推打神马的，否则屋里就会乱成一团。。。
第二种训练数感的方法就是凑成10（Make 10）
老师会在白板上放上这个Make 10 Chart，用来辅助学生进行运算。比如老师问7+3=？然后会在第一排放上5个红色圆形，下面放上2个红色圆形和3个黄色圆形，然后学生就很清楚地看到是10，因为老师教过一行是5个，两行是10个。
随着年龄的增长，会逐渐增大数值，20以内的运算就可以用两个Make 10 Chart。比如12+5=？然后第一个chart放12个红色圆形，第二个放5个黄色圆形，然后学生要把第二个chart里的3个黄色圆形放到第一个chart里，凑成10，然后第二个chart里剩下2个，就能得出12+5=10+7=17，就比较明显。
不要小瞧这些看似很简单或者很没用的东西，这就是在逐渐培养学生number sense的过程。其实他们教育的初衷还是希望能够让学生多维度地去思考和解决问题，而不是看谁算得快。我个人的看法是：学还是要这样学的，但是不能都小学毕业了还这样算，那时候还是需要很快地心算出来，而不是还在那画图来解决20以内的加减法。
为什么要做酱紫的练习？
众所周知，中文和英文有很大的差异，其中最大的一个差异就是关于数字的数法。中文是一……十、十一、十二、十三……二十。英文是one, two, …ten, eleven, twelve, thirteen, fourteen, …nineteen, twenty. 不知道大家有木有发现什么规律。
中文数字的数法是十进制的，也就是到了十以后，十加一等于十一，两个十就是二十，这些东西因为都是母语，所以我们早就习以为常。除了中文以外，日语的数法也是跟中文一样的，十进制的。但是英文不一样，英文的eleven和twelve和ten一点关系也木有！你完全看不出来eleven哪里能体现是ten+one，只有thirteen到nineteen都有个teen，才让人有种感觉，这些数字在10-20之间，但是很遗憾，11和12不在这个范围内。
这样会导致一个什么问题呢？讲英文的孩子number sense可能不如中国孩子好。语言和思维方式其实是互相影响的，有很多潜移默化的问题我们都没有注意到。我们习惯了十进制的算法，所以不能理解为什么讲英文的人number sense不好。我举个栗子吧，相信大家对于二进制或者十六进制没有十进制熟悉，下面大家试试看这个二进制运算。
这是二进制的法则：00＋00＝00，00＋01＝01，01＋00＝01，01＋01＝10
来来来，算算这个二进制是十进制的多少：100101
答案是37。你算对了喵？
题目来自维基百科。
所以，不熟悉十进制的人学起来数学的难度就跟我们算二进制一样。
关于二进制，我们可能暂时理解了，但是算的时候还是会总出错。这就是为什么美国老师这么强调十进制的原因——因为他们的语言习惯和我们不一样。所以有一些老师会在数学课上教小盆友用数学语言数数，比如eleven说成ten-one，twenty数成two ten等等，便于他们理解十进制。
今天介绍了数感的一些内容，希望大家能够理解它在基础算数中的作用。不要觉得母语是中文就不需要这些，这些东西就像种子一样，小时候种下去，长大之后会慢慢发芽。在年幼的时候，这些数学思维和能力的培养远远胜于运算速度的快慢。
最近在知乎上看到一篇文章《北京「严查幼儿园小学化倾向」可能会给幼儿教育带来怎样的影响？》http://www.zhihu.com/question/28834008， 我很赞同@李小羊的回答（诶，跟我就差一个字=v=）。他就写到说每个年龄阶段都有不同的特点，需要根据这些特点来因材施教。我个人也主张年幼的时候以培养能力为主，尤其是上学以前，比如专注力、意志力、数感，等等，而不是具体的知识，那些是上小学以后的事情。
以后会陆续介绍美国老师如何教数学系列，比如如何用画图来证明正负相乘为嘛得负，剧透完毕，敬请关注~ 欢迎大家跟我分享乃们学校是如何教数学哒~
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