克莱因《数学简史》，阐明三次数学危机的经典科普书

（克莱因《数学简史》）

第一次看到三次数学危机是胡作玄的一本小册子，是在上个世纪80年代。最近的李永乐老师的科普视频，讲的就更加清楚。不过这应该都源于克莱因的这本经典科普书《数学简史：确定性的消失》。

跟数学有关的，有两个克莱因，一个是德国数学家，哥廷根系的代表人物，有趣的克莱因瓶就是以他名字命名，日常在一些格调高雅的饭店或酒吧就偶尔能看到。另一个就是数学简史的作者，是一个美国应用数学家，科普书写的比德国克莱因通晓易读，也以此闻名。

现代著名数学家阿蒂亚爵士《20世纪的数学》其实就是模仿德国克莱因的名作《数学在19世纪的发展》而作。而美国克莱因这本《数学简史》，时间跨度更长，是贯通数学发展史的一部重要作品。

有志于了解一点数学的，都应该读一下。

1，简介和概要

近年来，人们对数学的历史和哲学的兴趣，被重新点燃。而后者试图阐明我们学科的本质，克莱因教授一直是其中的贡献者（Raymond G. Ayoub）。

这位Raymond G. Ayoub是华罗庚的美国学生，他总结了克莱因这本《数学简史》的主要观点，简单列举一下：

（1）现代数学是对数学的根深蒂固、广为人知的真理和逻辑完美性的嘲弄。

（2）希腊的奇迹和繁荣使得科学的数学化成为可能。

（3）第一个崩溃是非欧几何和四元数的发现。

（4）17、18世纪的微积分的逻辑基础非常脆弱，这是灾难性的。

（5）19世纪数学家几乎基于逻辑完成了数学的基础，但

（6）悖论的发生打破了完美的计划。

（7）希尔伯特计划希望拯救它，但

（8）哥德尔定理敲响丧钟，并导致了最终的崩溃。

然后，与上述事实无关，

（9）应用数学是唯一适宜的种类。

（10）尽管如此，数学仍然有它不可思议的有效性。

克莱因教授其实有一个预设的立场，应用数学的立场。这带来了评价数学成果的一个简单的原则，就是如果“有用”，它就是好的。这个原则贯穿在整个数学简史的叙述中，主旨如Wigner所言，数学的重要之处是在物理之中不可思议的有效性。这就是倾向性的问题了，反对的人比如I. Shafarevich，会引用托马斯“…如果灵魂为了肉体而来，那就是奇迹中的奇迹”。他接着说：“所有数学的历史就是一个让人信服的证据，证明这种奇迹中的奇迹是不可能的”。

当然，不同派系、不同立场的人也可以在数学本身的追求之上找到共同点。所以，在全书的结尾，克莱因引用怀特海的话：“让我们把数学的追求看作是人类精神之上，上帝授意的疯狂吧”。

疯狂？也许可以这么说，但是，毫无疑问，它是神授的。一一克莱因《数学简史》

2，数学派系

这里所说的派系并不是北中复之类的。而是基于理念。一直以来，关于数学的理解从未统一过，总是处于冲突中，呈现二分叉或者更多。

当然，这在某些哲学人的眼中，就会进入一个“本质的概括”，数学“和目前的成熟学科研究的状况不同，它现在并不是一个成熟学科，它热闹了很多年，现在仍然是个战国群雄的阶段，各种研究彼此竞争。这对哲学家来说是一个利好消息，如果一门学科成熟了，大家彼此之间没有什么内部争论，哲学家要插话的机会很少，他们只要乱了，哲学家就会浑水摸鱼、乱中取胜”。而且，它必须对“何为数学”这个问题做出解答，如果它不解答，那么哲学就会替它来解答。就像AI哲学之中发生的一样。

几何通常源于空间的直觉，而代数是时间。前者总是连续的，而代数一开始就是就是离散数量的知识。这造成了无理数的发现以来两种对立的派系，纠缠至今。我们可以称之为连续派和离散派，简称连派和离派。阿蒂亚爵士曾经指出两边的代表人物。连派阵营，即倾向于几何精神的是牛顿-庞加莱-阿诺德；离派阵营，即倾向于抽象代数的是莱布尼兹-希尔伯特-布尔巴基。

《数学简史》的作者克莱因应该倾向于连派。而华罗庚是离派。

20世纪的连离之争，表现在直觉主义和逻辑主义，当然，还有第三派，就是形式主义。阿诺德认为在数学中添加挑战大脑的“抽象数学”，是一种丑陋建筑物、是一种毒害，这种毒害竟然发生在贡献了Lagrange、Laplace、Cauchy、Poincaré、Leray、Thom这些顶级伟大人物的法国。德国的克莱因认为，数学模型的毒害作用恰恰体现在由现实世界抽离而绝对化的模型，不再与现实相符合。

相比起来，克莱因教授在《数学简史》中所谓的应用数学才是唯一体面的类型，数学的重要之处，是在物理之中那不可思议的有效性，在这些言论之中，就不那么突兀了。

3，数学简史

我们在“统一”角度下梳理下数学简史，除了更近一些的历史，大部分都在《数学简史》有较为详尽的描述。注意到，不是数学的失败，而是统一的野望失败了。请参考该文中的“统一的野望”。

（1）算术

通常将毕达哥拉斯用算术统一数学失败，即无理数的发现，作为第一次数学危机。

传说，毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了无理数，使得毕派算术统一失败，被投入水中杀害。类似于根号2的无理数的发现，动摇了毕氏学派利用算术统一数学的根基。

（经常与希帕索斯混淆的希帕提娅）

算术从来被当作是数学中最稳定的基础。它由数字和基本运算组成。数字，即从实体中抽象出来的数学符号，基本运算是两种，加法和乘法。算术中有一个概念叫做“封闭”，即参加运算的数字，运算最后的结果，均是同一个集合中。比如1+2=3，其中1、2、3均是自然数。但自然数对减法（加法的逆运算）并不封闭，1-2，结果就不是自然数。不过这个问题好处理，引入负数即可，对减法就封闭了。我们把自然数、0和负整数，一起称为整数。乘法呢，就更复杂点，1/2的结果肯定不是整数。这个问题也好处理，引入一个分数，就好了。我们把分数和整数一起称为有理数。但无理数，比如根号2，即√2，并不能表示成分数形式。

（李永乐老师讲数系）

封闭问题，还带来一个问题，整数除以0怎么办？2/0是1/0的两倍吗？这个问题，是微积分、集合论等工具发明后，在解决它们的基础的时候发现的（缘起于芝诺悖论）。这被称为第二次数学危机。

《数学简史》中谈到非欧几何的发明，是算术作为数学的基础，完全失去其合法地位的最后一根稻草。由此数学家失去了几何直观，意识到真实世界和数学概念远非一致。

不过，毕达哥拉斯的观点，“万物皆数”，即数是万物的本质，一开始是算术，后来演化为数字和计算，到现在仍然是一些人的信仰。有一个电影叫做《π》，核心观点是三个主要的假设，“一、数学是自然界的语言。二、我们周边的事物可以用数字来表示。三、将这些数字转换成图像就会形成模式”，而股市，全球经济的数字系统，是一个巨大的神经网络，是一个有机体，也有一个模式。

讲真，开心就好。

（2）几何和代数的统一

欧几里得吸取毕氏学派失败的经验，通过公理化方法整理既有数学知识。直到笛卡尔在我们现在称为笛卡尔平面引入数字坐标，它一直都是纯几何的。笛卡尔的做法是将几何为基础的数学体系化约为更为可靠的代数运算。

（3）逻辑

算术的基础动摇后，一些天才的数学家，开始把算术化约为逻辑的尝试。

19世纪数学家几乎基于逻辑完成了数学的基础，但悖论的发生打破了完美的计划（弗雷格-罗素）。20世纪之后，希尔伯特发起了一个计划，试图挽救它。希尔伯特的宣言“我们必须知道，我们必将知道”，至今也仍然是一些人的信念。

但哥德尔导致了最终的崩溃。

这就是第三次数学危机。

（4）结构

形式逻辑统一数学梦碎之后，一群年轻的法国数学家，又开始了新的统一，他们以布尔巴基为公共的笔名，使用一种结构化的方法，梳理数学的已知部分。阿蒂亚爵士也把布尔巴基称为希尔伯特最著名的弟子。

哥德尔定理其实是离派数学内部发起，砍向离派的大刀。不过，后来在连派和离派的数学体系之间，出现了连离的翻译。这使得哥德尔不完备定理的大刀不仅仅砍向离派，同时也砍向连派。

所以，布尔巴基的统一，是针对数学的已知部分的。

（5）对偶

对偶一定程度上也是翻译，比如哥德尔-根岑翻译。不同的数学是由不同的语言写就，而将不同的语言，翻译成同一种语言，就是对偶。相比使用逻辑、结构重构数学大厦，翻译是更高层次的统一。

总的来看，某种程度上，统一之路，翻译的思路都可以算是巩固了进展，而重构的思路，几乎都走入了死角。一个时代的力量总归是有限的啊。

1967年朗兰兹给韦伊的一封信中，对互反律进行更一般情形的猜想。之后才发现可以做的更多，形成了联系多个领域包含数论、几何、群论的大纲领。这就是朗兰兹纲领。力迫法之后，集合论为基础形式化方法走向末路。布尔巴基原始的形式主义数学，一直未纳入数论。而朗兰兹就是从数论入手的。受朗兰兹启发，Wiles在90年代证明了费马大定理。阿蒂亚将朗兰兹的部分引入量子场论。20年后，朗兰兹的思想启发了统一弦论中的M理论。

（朗兰兹纲领被誉为数学的罗塞塔石碑）

（6）展望

阿蒂亚说，还有什么会发生在21世纪？比如Connes的非交换数学，相当宏伟的统一理论仍然会出现。

过去的数学的发展之中，从不缺乏统一的野望。这些统一曾经遇到过危机，曾经崩溃过。

但未来的数学发展，同样也不会缺乏统一的野望。

4，数学和物理之争

数学和物理向来有着神秘的联系。2015年FQXi有征文，“诡计还是真理：物理和数学之间的神秘的联系”，引用最多的就是Dyson的错失的良机，Wigner的自然科学中无可思议的有效性。这个题目也很有意思，有点儿Weinberg所说的“一些数学家出卖灵魂给魔鬼，以换取何种数学在许多年后将为物理学家所应用的信息”的幽默感。

简史的争论远算不上什么，实际上，在20世纪，还有一次著名的数学和物理之争。而它又可以回溯到更早的关于数学本质的争论。

机械唯物论一直是现实Reality和数学一致（传统是物质归为数学，意识归于思想；一脉相承的是数学不完备，需要元数学，即理念世界，理念世界如何是可能的，它来自自指的神），而早期的经验论者根本就不信需要作实验。自然科学家其实更偏向于古希腊。自然科学家几乎很天然的相信能从数学中导出物理，实验不过是反对神学的借口。笛卡尔、莱布尼兹都是，当然也有霍布斯这种干脆反对实验的逗比。相反，后来物理学认为实验是第一性的时候，发生了真正意义的思想巨变。

空间的本质在连派和离派还是略有区分的。牛顿的时候，空间和时间还是作为框架而存在的，莱布尼兹就认为空间是涌现的，后来马赫继承的是莱布尼兹，启发了爱因斯坦。最终给出了空间和时间作为涌现的数学框架。爱因斯坦之后，空间几何不再是自然律的一部分。时间和空间是从定律中产生的。

现代数学的基本理念是，不再是从现实中（或观测数据）导出数学公式，而是先得出一个自洽的数学体系，我们所做的，是寻找它与现实世界的联系。

有趣的是，20世纪一些重要的数学工具的进展，其实是来源于物理的推动。比如镜像对称，后来发展为T对偶，也是从物理学中发展而来，数学工具上表现为复几何和辛几何对偶。在物理学中得到的结果如此震惊，起初他们自己都不相信，数学家也不信任他们，因为他们并没有给出严格的数学证明而是通过直觉。最终，这开启了代数几何的一个全新的领域。阿蒂亚说：

这是一记妙招：物理学家先飞上天去，使用一个叫作降落伞的东东出现在代数几何的中心，他们立即占领了整个城市。一一阿蒂亚

So it’s a spectacular coup: physicists go up into the sky, they land by parachute in the middle of algebraic geometers and they capture immediately the whole city. by Atiyah

物理学家先产生一个答案，而之后，数学家通过其他方式证明它。然后，他们可以交换信息。

然而，Dyson在1972年遗憾的宣称，

作为工作在一线的物理学家，我意识到这样一个事实，数学和物理学之间取得丰富成果的几个世纪的婚姻，最近以离婚告终。一一Dyson《Missed Opportunities》 

As a working physicist, I am acutely aware of the fact that the marriage between mathematics and physics, which was so enormously fruitful in past centuries, has recently ended in divorce. from Missed Opportunities by Dyson

Gregory W. Moore在2014年《Physical Mathematics and the Future》中说，他们又重新结婚了。

希望不是Woit在《Not Even Wrong》中评论的越来越远吧。

5，结语

我是能体会到克莱因在《数学简史》结语时候的那种感受的，人孤单的生存在一个冷酷的、陌生的宇宙中，他凝视者这个神秘的、瞬息万变的宇宙，为他自己的渺小感到迷惑、困扰、甚至惊骇不已。这让人想起了卡尔·萨根在旅行者1号驶向深空时说的话。

就知识的确定性而言，数学是一种理想。确定性也许只不过是我们在不断捕捉的一个幻影（想想Hubert Dreyfus）。然而，正义、民主、甚至上帝都是理想。数学也一样。

人在寻求秩序，他的目的，就是建立与瞬间的感觉相对应的知识体系，建立可以帮助他获得有关其生存环境奥秘的解释模型。

那是从一种永远的不确定之上，引入一种确定性，从完全的不可能之中，引入的一种可能性。

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参考文章：