从数学的角度来谈公平

前言

「员工拼死干活，老板毫无表示，员工创造利润，有权要求分享」这是黄凡近着，〈财阀〉长篇小说中工人向资本家要求公平待遇的口号。生动的刻划出了一些社会上的不平之鸣。「不平」，不但受害人觉得委曲，就是旁观者也愤怒难忍，仁者悲天悯人，奔走呼号，勇者路见不平，拔刀相助，而对一个求智者而言，我们能不能客观的决定怎样才是公平？是资本家剥削得太厉害，还是劳工要求过份？您也许不会相信一个简单的数学公式就可以基本上了解这个问题，而且让我们看到一幅崭新的图画，体会到人间的真理。

有人说过问题是数学的灵魂。那么我们就从问题开始吧。假定有一个资本家（厂主）、一个工程师及二个工人。资本家有工厂，但若没有工程师及工人则不能赚钱。若资本家与工程师合作，没有工人，则二人大才小用，做些工人的工作，每月可赚三万元，若加一个工人，因工人有体力技术，效率大增，三人合作每月可赚6万元，若再加一工人，则一月可赚9万元。但若只有厂主与工人没有工程师，则工厂亦不能开工。现在问这9万元的利润要如何分配方为公平合理？（请注意这九万元完全是利润，工厂保养、资金利息、股东红利均已扣除。）

厂主可能对工人说：我们二一添作五，一个月给你一万五吧。

工人可能会回答，这岂不是太黑。我们每人每月为工厂「净」赚三万。给我们一人二万有何不可？这样你们仍可以白白分到我们劳工所创的二万利润。何必贪得无厌。

厂主会说：笑话，我不给你工作，别说一万五，你一毛都赚不到，给你一万五还人心不足！于是纷争遂起，工说工有理，主说主有理。那么聪明的你会站在那一边呢？我们能用理智来解决这个分配问题吗？在往下看之前，我希望您暂时合起本文，闭眼想一想这个问题应如何着手解决。先自己想清楚再看答案是增加数学趣味及功力的重要法则。

想好了？那么我先告诉您答案，一个相当公平的分配应是厂主与工程师各得三万五，二个工人各得一万元。不公平？不，再找不到比这公平的法则了。

在谈到数学之前，我们可以看看这个问题的博大精深。几乎所有的经济问题都与这个问题有关。医院赚大钱，医生、护士、技师、警卫均不可少，他们要如何分配这笔大钱？学校中校长、教员、职员、工友在待遇上应有何差别？学生论文发表，教授的功劳应算多少？更进一步，我们身为社会一份子，应付多少税，取多少薪水，也可做如是观。一切权利的基础也应从公平上着手，我不亏待人，但我也不允许别人亏待我。

谢卜勒   (Shapley) 公平三原则

首先我们必须明白有合作才有分配公不公平的问题。否则你走你的阳关道打猎，我过我的独木桥捕鱼，在山吃山，靠水吃水，各顾自己，就谈不到分配不均的问题。今令 ω 为一个可由多人合作的工作，而 S 表示可以参与工作的人们的集合。若 U 为 S 的一个子集，则 表示 U 人合作时可得的工作利润。以前面工厂为例，则

若 U={厂主, 工程师} 时，(万元)，若 U={厂主, 工程师, 工人甲}，则 ，若 U={厂主, 工人甲}，则 ，为了简便起见，令 S 中的元素以 1,2,…,n 为代号，即 。令 表示 i 成员在 ω 工作上该得的报酬。谢卜勒在1953年的论文中，订下了三个公平的原则。

原则1：报酬与名字无关，只与各人的贡献有关。即若 i 与j 互换而不影响 ω 时， 。

没有人会反对这个原则，即同工应同酬，张三若可做李四的事，则张三可拿李四的报酬，与他叫张三或李四无关。

原则2：利润属于工作者， 对所有 均成立。

这也是一个公平的原则，U 人合得的利益，自然分给 U 里的人。

原则3：若有二件工作，则对所有i 均成立。

这也是无人反对的公理，我做二份工作，自可得二分酬劳。

稀奇的是(在谢氏原论文中，他亦称奇)。只要这三个原则，即可求出 。

定理（Shapley）：根据上项三原则，若对所有 已给定，则 的唯一解为

s = U 所含之元素数目, 

且 U-{i} 表示 U 中减去成员 {i}。 

虽然本定理的证明不长(大约二页，高中代数程度)，我们不在此重复，有兴趣的读者一定可以从本文的参考资料中找到。而且下文中会对(1)式做直观的分析，即使不查证明，多数人也会相信(1)是一个公平的分配方式。为了明了此公式的用法，让我们演算一下厂主的报酬，令

S={1,2,3,4}

1,2,3,4 依次代表厂主，工程师，工人甲乙。U 是 S 的子集合，共有 2⁴=16 个。可细列如下：

(1) 空集合及含有一个元素的集合均使

(2)含有二个元素的集合有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)。其中只有

，其余均为0，而 

(3)含有三个元素的集合有(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4)，其中

且

(4)含有四个元素的集只有(1,2,3,4)得

因此求得

同理可得

现在如果谁要再说这种分配不公平就为时已晚了，因为一旦你承认了谢卜勒三原则，则剩下的推导全是推不倒，像a+b=b+a 之类的数学公理。而谢卜勒原则似乎又无懈可击。因此我们不得不承认这个 3.5:3.5:1:1 是一个公平的分配法。

从另一个角度来看(1)式，我们发现

表示的是 {i} 加入 U 时所增加的(边际)利润，也就是 {i} 所带给 U 的利润。而 r_n(s) 表示在所有 1,2,…,n 排列中，{i} 在 s位置而能保持前后成员不变的或然率，因 s 是 U 所含的元素数目，也就是 {i} 成为 U 中最后加入成员的或然率。因此(1)所表示的是 {i} 成员为 S 团体带来边际利润的期望值，这自然应是 {i} 所得到的报酬。好象不容易说得清楚，且看一个例子。因前例 4!=24 太大了一点，我们在前例中减少一个工人，看看(1)的分配是什么回事。同时也可以比较一下少一个工人时对各人收入的影响。现在 S={1,2,3} 依次代表了厂主、工程师，及工人甲。表一的左边有这三个数的全部排列法。其第二，三，四列代表的是在这种排列下，各人所带的边际利润。以第一行的排列 1 2 3 为例。厂主先到，他不能开工，因此他带来的利润是 0，工程师第二个到，他与厂主合作可得 3 万利润，因此他带来的边际利润是 3(不全是他的功劳，但算他带来的)，工人最后来，他又带来了 3 万利润 因此这 3 万就记在工人名下，因此在第一行中各人所带来的利润是 0,3,3，但我们没有理由让厂主先到，这 3! 的排列应有同等的机会(很公平是不是？)因此一平均下来，各人所带来的利润，也就是他们应有的报酬是 2.5,2.5,1。表一的最后三列是代表此表与(1)式的关系，只要仔细对照一下，就可以看出(1)所表示的就是这些排列下所产生的平均值。

排列	1	2	3	含1的 U	s
123	0	3	3	{1}
132	0	6	0	{1}	1	2/6
213	3	0	3	{2,1}	2	1/6
312	0	6	0	{3,1}	2	1/6
231	6	0	0	{1,2,3}
321	6	0	0	{1,2,3}	3	2/6
和	15	15	6			1
平均 (和/6)	2.5	2.5	1

表一：对 {i} 而言的边际利润

若把表一的结果与先前有二个工人的结果比较，我们会发现多来的工人乙与原先的工人甲同工同酬(很合理，是不是？)，都得了一万元的报酬，但他所造成的另外二万利润则又被厂与工程师吞去了 (您觉得工人很倒霉是不是？还有更倒霉的事情在后面，如果真的要公平的话。) 因此无论由三原则推导，或由(1)式直观，我们发现公平的分配并不像我们想象的那么难缠。谢卜勒能看到这一点已造成他成为一代宗师的地位，他的公式已成为数理经济学的柱石。

谢氏定理一些有趣的结果

工作不能增加利润，则他的报酬当是 0。此人称为冗员 (dummy)，因对一个冗员 i 而言，

恒为 0，故

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在上题中我们看到工程师与厂主的报酬相同，这似乎与事实不合，在大部分的工厂中，工程师拿不到厂主的待遇。这个原因是在一般情形下，工程师不只一个，尤其当工程师供过于求时，他们的身价就会惨跌。现设 S={厂主，工程师甲，工程师乙，工人甲} 其代号仍依次为 1,2,3,4。但只需一个工程师就够了。在这时候，若厂主请了其中的一位，他仍付他二万五？且看公式(1)中的结果。 

(1) 对空集合及含一元素之集合而言，

(2) 对二元素的集合而言，只有

不为0。 

(3) 对三元素的集合而言，只有

不为 0 ( U(1,2,3)-U(1,3)=3-3=0，因另一个工程师乙捷足先登，工程师甲的工作就泡了汤。) 

(4) 对四元素之集合

因此工程师甲的报酬应为

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引用原则一，或再导一次可知工程师乙之公平所得亦为0.75，二者之和只有1.5万，竟然比原来一个人可得的2.5万少了一万。这说明了供过于求一个可怕的结果，多一个工程师不但不能增加工程师的收入，而且拖了同仁下水。其原因自然因为厂主有恃无恐，不怕找不到工程师而可以加以杀价的缘故。但这个事实竟能从公平三原则中反映出来，不可不谓数学的奇迹。现在看看资本家与工人可因此多获利多少。稍加计算可得

可见其中大部分的好处为厂主所得，但工人也因工程师多而身价小增。依理往前推，若工程师再多，则其身价必又再跌，原来工程师之所以可以与资本家平分秋色乃是因工程师只有一位，没有他开不了工，奇货可居之故。当然若只有一个工程师而有二个工厂，则他的身价会增加而厂主的报酬就要下跌。但在一般社会中都是资本家少，工程师多，而劳工更多，因此工人可以分得之公平工资之惨，可以想见。

公式(1)之推导固然精彩，可惜(幸好)在一般情形下，不容易计算，因为

含有 S 中全部的子集，有 2ⁿ 个。当 n 稍大时，计算量就会压死计算器。但在某些情形下，特别是成员的能力大多相同时，表一中的排列法就能减少到可以计算的地步。现举一个这样的例子。 

设某鸟商请一个村子里的人为他养鸟，各家养一只。到收购的时候，他宣布他只能买成对的鸟儿，一对一千元。村人各户人家集合算了一下，发现有雄鸟110只，雌鸟90只，因此可卖九万元，为了不使养雄鸟之家抢卖打破头起见，全村一气，算大家共卖，因此得了九万元，放生了20只雄鸟。现在问题是钱要如何分配才「公平」。当养雄鸟之家主张均摊，即每只鸟值 9万/200 = 450 元，但养雌鸟人家认为物以稀为贵，雌鸟之所以活得少，必定是比较难养，理应多分一点，纷争又起，如何摆平？如果我们以谢卜勒原则看公平，则因鸟只有二种，可以求出

式中 [y] 表 y 之整数值，n₁ 为 i 所属之类的鸟数，即若 i 为雄，则n₁=110，i 为雌，则 n₁=90,n₂ 另一类鸟数，n=n₁+n₂。用计算器算出结果是雄鸟单价值 109 元，雌鸟单价为 876 元，而全部雄鸟之值只有雌鸟的 6.5 分之一。其实稍不平衡，价差就很惊人，如果雄、雌各为 102 及 98 只，则其单价比为 1:1.82，物以稀而贵，一致于此。

记得若干年前台湾适婚年龄者男多女少，少女身价百倍。现在好象是女多男少，单身汉行情看涨。不过人间的情形很复杂，我们不能把每位少男少女像鸟儿一样看为等价。因各人条件不同，每个人的公平地位就不容易由(1)计算出来(2ⁿ子集而?)，条件好的男女是不介意情敌多少的。但(1)式至少能解释一个重要的现象，稍不平衡，就产生极大的价差。 

其实人们虽不知公式(1)，但这种现象早已深植于人们的心中，每个人都想改变自我环境，使得公式(1)对我有利。当供过于求的时候，人们曾经把粮食、牛奶、羊毛倒入海中以求增加价格，以鸟儿为例，若雄鸟人家先商量好，偷偷放走20只 则对养雄鸟人家都有利， (若放走30只则更有利，这时候雌鸟每只只值201元而雄鸟值773元，虽全部只剩下80对鸟儿，但对雄鸟人家而言则有利。但这要合作才行，若你自己把鸟放了，则可能一文都拿不到。)各行业防止供过于求，用执照、工会、帮会、码头等加以限制人数。而大家也都知道要进到一个行业中成为一个不可少的人。

然而也有些人虽不喜欢不平，但却想破坏公平，有人破坏第一原则，利用各种关系，使得报酬与名字有关，他是我的儿子，报酬就自然加大，有的破坏第二原则，没有做事的人也巧立名目，拿一些钱。当然，最坏的是鼓励生产力不足的人用抢，严重的破坏了公平的分配。

一点感想

从公平的原则看来，社会上才智高的人似乎反而没有拿到他份内公平的报酬，这些不可少的创业家，发明家，若照谢卜勒的公式，他们的报酬可能应是不可思议的大。因此当我们未来再为自己诉不平的时候，就该想到公式(1)：从公平的观点来看，是天下人负我，还是我负天下人？

Shapley 的原文发表在 Shapley,L.S.(1953)〈A value for n-person games〉,in《Contributions to the Theory of Games》, Vol. II,Ed. by H.W. Kubn and A.W. Tucker, Princeton University Press.

一些最近的发展可看

《The Shapley Value:Essays in Honor of Lloyd S. Shapley》,1988,Ed. by A.E. Roth, Combridge University Press.

Shapley 1953年论文亦收在此书内。