数学也要写论文，IB这样衔接国外大学课程
看点 继IB化学课程和IB经济学课程之后，国际课程圆桌会又请到上海市世界外国语中学数学教师、IBDP 数学考官於嵩为我们介绍IB数学课程。通过与另两大主流国际课程AP、A Level的比较，於老师展示了IB数学在知识体系、个性化教育、评价模式上的独到之处，而数学学科对知识论理念的落实，又显示出IB对数学思维和数学核心素养的重视。
文 | 於嵩 编辑 | 闻琛
▲ IB-DP数学主流教材
我从2008年开始从事IB数学教学，有幸见证了IB（特别是DP和PYP）课程的蓬勃发展。仅以2014年上海教委批准的21所国际高中示范校为例，21所中开设IB-DP课程的学校就有9所，接近一半。
作为从业者，自然是希望自己从事的是朝阳行业，也为课程的蓬勃发展感到欣喜。但是欣喜之余，也有所思考：为什么IB课程会受到学校、家长和学生的认可和追捧？课程本身有何优势？
可以展开的方面很多，之一就是IB课程很好地衔接了国外大学课程，能让学生更好地接受国外的高等教育。
偶尔会和已经毕业的学生聊起大学阶段的数学学习，很多人都觉得高中IB数学对大学学习非常有帮助。但问到具体的帮助，大多数学生觉得因为IB学过微积分和数理统计，而大学阶段的数学学习大多都建立在这项知识的基础上，所以他们学习起来比其他同学有优势。
站在学生的角度，我自然能理解他们的想法，我在学生阶段也会以学过的知识对下一阶段的学习是否有用作为知识学习效用的评判标准。然而作为教师，我却无法接受这个答案。因为如果仅仅以有没有学过微积分和数理统计而言，学习AP、A Level也是可以达到同样的目的的，那我们究竟为什么要选择学习IB课程呢？
当然我们也可以从课程角度具体去比较IB、AP、 A Level三大主流国际课程的优劣，再去说为什么IB课程衔接得更好。下面我就从数学学科角度谈谈为什么我认为IB课程是衔接国外大学最好的国际课程。
不过由于我对IB-DP更加熟悉和了解，对AP、A Level大多是翻阅资料所得，难免在表述上存在一些主观臆断，如果有表述错误存在谬误的地方，还请读者批评指正。
其实单从单科的难度和宽度而言，IB-DP和A Level数学难度不相上下。而AP就微积分方面而言，比IB-DP的微积分多了一个参数方程及其求导等。但为什么说IB-DP数学的知识体系更为完备，因为在知识点上IB-DP和A Level相差不多，所以这里主要以AP和DP的数学知识点比较为例：
从该表我们可以发现：
如果一名学生只选择了AP微积分AB，那么他的数学知识储备是少于DP数学标准水平的；只有当学生选择了AP微积分BC和AP统计学后，在知识储备方面才能完全超过选择DP数学高水平的学生。
但是如果选择AP课程，学生可以选择不学习微积分或者统计，而IB-DP课程学生必须要学习这两个知识点。所以相对而言，IB-DP数学学科的知识体系更为完备。
IB崇尚的是全人教育，这从它的课程设置可以看出端倪——它需要学生文理兼修，必须从六大学科组中选出六门学科进行学习。而相对应的AP、A Level 可能只要选择4门课左右即可（当然AP学生也可以选10多门去参加考试，但毕竟不是主流）。而且，六门学科因为选课制度要求，必须有文有理。不像AP、A Level可以自由选择，可偏文也可偏理。
那么有人会问，个性化教育体现在哪里？个性化教育体现在学生选择的六门学科中，根据自己对于该学科的兴趣和擅长，可以选择不同的层次，选层的制度是必须选择三门学科的高水平以及三门学科的标准水平。而高水平和标准水平的难度差别很大，充分考虑了学生个体在学科学习方面的差异。
IB数学学科在层次设置方面尤为突出地考虑了学生个体差异，分设了4个层次：数学study、数学标准水平、数学高水平、数学超高水平。
各层次知识点如下图所示：
从知识内容和结构看，IB-DP数学学科在层次设置上充分考虑了不同学生个体间的差距，充分体现了个性化教育理念。
如果前面说的两点优势相比其他课程也并不非常明显的话，那么评价模式上，IB-DP课程确实走在了其他课程前头。以数学学科为例，学生要顺利取得DP文凭，需要完成外部评价也就是IBO组织的IB5月统考，以及内部评价也就是IB要求的数学小论文。
外部评价采取的模式还是传统的书面试卷模式，这个与AP、A-Level无本质差别，但内部评价要求学生独立完成一篇12页左右的数学小论文，不限定题目。这个对于中国学生的要求很高，同时也很锻炼学生的数学表达能力。而数学表达能力是目前中国学生相对比较缺乏的。
▲ 数学小论文（点击可放大察看）
对于学生而言，完成一篇数学小论文，从过程看主要可以培养这几种能力：
1. 选题。很多学生写惯了命题作文，现在要写数学的文章，并且不是命题的，第一反应是毫无头绪，这个也是正常的。通过选题这个过程，一方面可以让学生回顾自己之前学过的知识，另一方面也是对学过知识的再认识。
2. 解析问题。在分析过程中，学生可以培养自身分析问题的能力，同时也需要查阅文献，解读他人思想。有些问题的解决可能需要用到超出IB大纲范围的知识，也能培养学生自学的能力。
3. 成文，培养学生数学表达能力。通过这个过程，学生也能明白一篇合格的数学文章需要包括几个要素，对他将来从事科研工作有莫大的帮助。
数学小论文的形式不光对学生的能力提出了较高的要求，同时也对教师的能力提出了高出其他课程很多的要求。教师在这个过程中的教学任务有：
1. 保证学生能顺利完成数学小论文并给予一定的指导。
2. 就学生提交的论文根据IB大纲给的标准打分，并寄送样本到IBO给考官审核。
IB课程在业界被称为最难读的国际课程，这个难不止针对学生，也是针对教师的。课程本身对教师提出了相当高的要求。可以斩钉截铁地说：一个优秀的IB教师，如果去教AP、A Level，一定不会有什么问题。但反过来就不一定了。
了解IB课程的人都知道TOK（知识论）这门课程。事实上，TOK在IB的设定中并非一门单独的课程，而是应在每一门学科中都落实TOK的理念。而TOK理念的落实，对于IB数学学科培养学生的数学思维和数学核心素养起到了很大的作用。
举几个IB大纲里数学和TOK联系的例子，比如对数是一项发明还是发现，比如数学和现实的联系，比如归纳法在数学学科和科学学科中有什么不同。学生和教师如果对这些问题多加思考，对于培养和扩展学生的数学思维就会有很大的帮助。
而IB课程中还需要教师和学生注重ATT（教学方法）和ALT（学习方法），ATT和ALT对学校培养终身学习的国际型人才很有指导意义。而这一些，或许在其他课程中也有提及，但真正把它们系统化的，目前只有IB课程。
具体的我建议大家可以看一下IB数学的大纲，里面对数学的历史、与现实的联系、与其他学科的联系以及与TOK的联系，都有详细的说明。
▲ IB-DP数学大纲（点击可放大察看）
综合上述，无论从知识体系还是能力培养上，IB课程能更好地让学生适应大学学习。当然，课程再好，理念再先进，也需要适当的执行者去执行，这个执行者包括学校、学生和教师。
IB课程理念很先进，但不是所有IB学校都能执行好这先进理念；IB课程培养全人，但如果学生能力达不到这个培养的基础要求，也不一定能达到培养的目的，反而可能适得其反，还没有学习其他课程效果好；IB课程能让学生更好衔接大学学习，但教师也需要达到课程要求，对课程深入研究了解。
教育需要沉淀，所以目前一窝蜂开国际学校的现象是不可持续的，最怕的是最后劣币驱逐良币，伤害的是真正想做好国际课程的教育者，而最终伤害的则是广大的家长和学生。
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