用fix point解释马尔萨斯人口论
18世纪末，在工业革命前夜的英国，一个叫做马尔克斯的伟大思想家提出了这样一个困扰了人类几个实际的问题： 人类的人口呈指数增长，而食物的总量至多成代数增长， 所以当人口的增长超过食物，人类将不可避免的陷入饥荒，疾病和战争。而普遍性的贫穷，是人类文明的宿命。
这个理论解释了为什么许多古代文明陷入发展停滞的泥沼，从埃及，两河领域到古中国。
马尔萨斯的理论，其实诠释的是一个叫Fix Point-定点的动力学概念。 它所说的是，在一个复杂系统里，事物的增长往往不是线性的，而是存在一定的稳恒状态，系统的变化会逐步减速并自发的把自己维持在这个状态上。
这样的现象几乎在生活中一挑一大把。比如说小孩子长高到一定程度就不长了，你在网上发状态，开始很多人点赞，但在一定时间后减速直至停止。
非线性动力学用定点fix point来描述这种现象。 为什么fix point 普遍存在？ 因为负反馈的普遍存在。当一个事物像一个方向走的太远，就往往有一种反方向的作用力把它拉回，有点像我们所说的物极必反或阴阳相抵。
回到马尔萨斯， 人口理论其实符合一个叫做Logistic Model的经典一维动力学模型, 它也因它那美妙绝伦的S曲线而闻名。
这个模型说的是，在没有环境压力的时候（人人吃饱饭）人口的增长率是恒定的，所以如果第一年是2，那么第N+1年即使2的N次方（几何增长），但是一旦人口接近环境的阈值，就会有人开始饿死，而这个饿死的比例随着人口的增长而增大（负反馈）。这样，当饿死的人等于出生的人，两个此消彼长的要素就在某个点上平衡了。 所谓定点。
反应在数学上，就是这样一个微分方程 ：
人口的变化取决于两个相乘的因子，一个描述增长 （rN），一个描述饥饿（1-K/N）。 定点，就是使微分（人口变化率）为0的点，当人口数恰好处在这个点上，就会不增不减。
这个定点具有一个更深刻的性质，无论你的人口一开始是多少，只要K给定，系统都会趋于一个相同的值。这个值由环境本身的容量所确定。
这个微分方程的解是一条优美的S型曲线（Sigmoid Function），它的身影在自然界中比比皆是，反映了自然生长的一般规律。
注： 左图为系统N随时间的变化， 不同的曲线代表从不同初始位置出发的结果。箭头带表N变化的趋势。 右图是N的导数和N的关系图，可以看到使得N导师为0的N值即系统的定点，这里是0和K。
马尔萨斯的确是一个有着深刻洞察力的思想家，它在没有任何这些数学概念的时候发现了这一原理。 当人口的增长达到一定限度，大规模的饥荒和战争将使人口增速变慢实现大自然的平衡。
这的确是人类社会的基本矛盾，而且是古代社会变化的一个核心动力。为什么欧亚草原的游牧民族没个几百年就会对农业文明的世界进行一次大扫荡，从2世纪横扫中国直至欧洲的匈奴到14世纪的蒙古帝国？ 为什么中国每到一个朝代的结束就会发生饥荒？ 难道是真有天意？其实都是由于人口增长与环境负载的矛盾。在游牧民族这是侵略的动力（饿了，跟我走！）。而在中国，表现在人口与土地的矛盾，显然王朝初年和王朝末年都有灾荒，但是唯独在王朝末年具备破坏力（系统脆弱）。为什么？王朝末年往往经历了较长的太平期，人口增长，土地不变（可开垦的荒地往往被开垦光了），造成人多地少局面，马尔萨斯的预言就开始发挥效力，系统通过农民战争，饥荒，需找平衡（定点）。
注： 土地与人口的比例，是中国历史的第一主要变量，但是它无法解释为何中国历史进入循环而非静态平衡? 有待下文。
注：懂动力学的人，不会去信古代那些史学家别有用心的说辞，而是写出一行漂亮的微分方程。
但是，马尔萨斯完全正确吗？ 事实上，马尔萨斯的诅咒可以用于所有古代文明，却唯有一个不再试用，那就是产生马尔萨斯的文明本身-西方文明。西方文明崛起的时代，就是人类人口快速增长，而人均生活水平却在不断提高的时代。 为什么？ 很简单，答案依然在定点理论。
刚才我们的动力学系统有一个隐含的假定，就是环境的负载K一定，所以定点是不随时间改变的。但是这个假设依赖于一个条件-技术。
农业技术的发展使得环境的负载值K也在增长，甚至比人口N还快，就使得系统的定点随时间增长，因而人口可以不停增长。这里面其实还有一个潜在的动力学效应。就是人口数量增加如果配合良好的教育，甚至会成为科技发展的动力，因为有更多的人从事研究，而这种效应，无疑提供一个人口增长强大的正反馈，事实上观察美国等现代国家的发展也正是这样的例子。
动力学系统定点的分析，告诉中国人，要感激的是袁隆平而不是邓小平。还有，人类不想返贫的办法只有不停的投入研发。
定点的稳定性：
动力学里最重要的概念-定点（fix point），但是定点本身却只具有系统很少的信息，更关键的性质来自于对定点周围区域的分析。 或者说定点的稳定性。
那在一些情况里，定点好想是系统变化的宿命。起点还是什么都不重要，你不需要担心输在起跑线上，只要你起跑了，就会到一个地方-定点。 而在另一些情况里，定点虽然存在，但是你只有在极特殊的条件下才能达到，类似于屌丝逆袭，屌丝的逆袭是有的，但是要有极好的运气+相当高的智慧才行。即使你达到了这样的定点，稍有风吹草动也会失去它。
我们用一个叫做稳定性的概念来描述这一特性。稳定性是描述当系统处在定点周边的状态，它是比较容易进到定点还是离开它。
一个典型的例子是单摆, 单摆的微分方程有两个取零的点，但是你通常看到摆处在最低点却极少有机会看到一个处在顶点的单摆。原因很简单，单摆的低谷是稳定定点而高点是不稳定的。 除非你一开始就静止在最高点而且排除任何外力，否则最轻微的偏离就可以导致单摆回到稳定的最低点。
在物理的角度很容易理解一个定点是稳定的还是不稳定的，只需要稍微的离开定点，看一下系统的运动情况，看看系统在定点的相邻区域里的运动趋势怎么随位置变化。而这翻译成动力学语言就是在定点周围进行泰勒展开，并取一阶线性近似（在一维得到一个线性的斜率，高维就是雅可比矩阵的特征值）。如果在定点周围的运动趋势指向定点（线性的斜率为负，雅可比矩阵特征值为负），则定点在局域内稳定，反之则局域不稳定。
注：定点的稳定性，取决于泰勒展开的不为零的第一项的正负。左图为稳定平衡，右图为不稳定平衡，虽然均为定点，但周边性质迥异。
稳定性，换一个词叫吸引力。一个稳定性定点，就像一个区域的主人，它能把进入其辖区内的所有人都吸收到它的点上。它所管辖的区域，称为-Basin of Attraction。它是强韧性的代表，无论你怎么干扰它，迫害它，结局都将归于它。找到Basin of attraction 是利用定点预测系统的必备条件，给定一个系统，如果它的初始位置处在basin of attraction，那么它必归于定点。
不稳定性呢，就是脆弱性的代表了。任何环境的风吹草动都能结束她表面的美丽。如同得了艾滋病的人，今天看着好好的，随便一个病毒就可以摧毁他。
最强的定点具有全局稳定性，即无论任何初始条件，系统都将趋于这样的定点，这样的系统就是高度可预测系统。
很多系统往往具备一个稳定点和一个不稳定点成对出现。比如刚才的人口模型，人口为0就是一个不稳定平衡点。当人口为0的时候，它可以永远为0，但只要系统的人口增长了1，它就会趋于定点K，掌控系统除0之外所有区域的稳定点。
算命先生往往就是掌握动力学定点理论的人，它们往往根据一些片段的细节，做出一些“大胆”的预测，比如看到一个20岁左右打扮漂亮的女士，就会说你会有一个有钱的老公，漂亮的房子一类，看到满手老茧的老妈子就会说你一定一切为丈夫和孩子操心了一辈子一类。 它们往往知道系统有一个稳定点和一个不稳定点，美丽的大姑娘找到幸福美满的婚姻呢是稳定点，跟了一个穷二代是不稳定。沧桑的老妪为家庭奔波一生是稳定点，风流一生是不稳定点，所以有50%以上概率命中就不足为奇了。
判断简单系统，抓住定点就是抓住了命门。
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