what is Bifurcation
我们称一个系统自身动力学模式发生变化的过程为Bifurcation-非线性动力学理论的又一丰碑。
Bifurcation 与相变
我们用Bifurcation研究一个动力学系统的演变。动力学系统由状态变量（即构成系统维度的变量）和控制变量（参数）组成。在初步讨论一个动力学系统性质的时候，我们先假设参数不变，然后求定点和轨道。
但是若要研究一个动力学系统本身的变化，我们就要让参数变化。我们关注参数变化是否引起动力学系统的基本性质变化。有的变化只是定量的变化，却无定性改变。比如定点的位置可以改变，但流行的结构却没变（拓扑等价）。
但有的时候，当参数的变化超越某个范围，系统的动力学性质就会发生彻底的变化。这时我们叫它Bifurcation。好比两个人在一条路上走着走着，突然到了岔路口，从此南辕北辙。
用一张图形象的表示bifurcation的概念：
图中的小球一开始在谷底，处于稳定平衡。这个谷就代表系统的参数，当参数固定，山谷的形状就是确定的。当我们改变参数，山谷的形状发生变化，谷底逐步被拉平，而最后隆起出一个小山。在这个过程里，中心点的稳定性丧失，小球将面临一次全新的选择，是向左还是向右？ 这个谷底变成小山的过程就叫Bifurcation，而谷和丘的临界点，就是Bifurcation Point。
从此图可见，Bifurcation的本质是系统反馈性质的变化。当小球在谷底，一个负反馈保证它不离开（稳），而当谷底逐步变平突起的过程，负反馈演化成离开谷底的正反馈。
Bifurcation Point上的小球具有“自由意志”，或者说非常敏感，一个随机的扰动都可以被放大（正反馈的作用），使它向左或向右。这就是历史的转折点。而当Bifurcation的过程结束，小球就落入了新的平衡点。此时的它，已经被一个负反馈束缚住，非有强大的能量，是不会离去了。
Bifurcation， 正是物理里相变的化身。 在动力学的世界观里，那些定量的改变等于没变，而只有Bifurcation-分道扬镳，才是真正的变化。物理，化学，生物一切最有趣的现象，都在Bifurcation点上，因为它的敏感，它的无限可能。
* Bifurcation Point，就是我们所说的决定性瞬间。在这个时候，系统的前途未卜，而有任何一个风吹草动都可能使它转左或转右而走向截然不同的未来。 如同高考考场上的同学， 还有历史上的关键期。
如同姜文新片《一步之遥》马走日讲的那个故事，作为满清贵族的他，被老佛爷赋予下达全国男人剪辫子的命令，那天他跑出去下达谕旨， 天却下了大雪，他喝了两桶酒睡到天亮，没想到天下已经民国了....这个故事很真，因为1911年就是中国历史的Bifurcation Point，只有在Bifurcation Point -相变点上， 一个人的小事才能左右国运。
君主立宪还是走向共和？ To be or Not to be，that is a Bifurcation
Hopf-Bifurcation : 沟通平衡与振动的世界。
用一句话说， Hopf-Bifurcation 描述一个系统定点失去吸引力并最终产生闭合轨道的过程
BZ反应 (Belousov Zhabotinsky 化学反应)
我们高中课本有个东西叫化学平衡， 说的是化学过程最终都导致平衡，该反应的反应过了，我们就得到一堆万年不变的反应产物。 但是1950年代的一个苏联科学家belousov却在它的反应里发现了一个十分惊人的现象， 他发现他手里的混合物反应后还会在一段时候回到原来的状态，然后又重新反应，如此周期反复。这一现象一出，他就被封杀了。因为他的结果不符合热力学第二定律（系统区域平衡），又加上适逢冷战，他到死也没看到他的成果被承认，成为科学史上几个重大悲剧之一。
但是它的发现却开拓了一个全新的领域-化学振荡，而他的发现也成为复杂性可以从简单系统中诞生的典型例子，与图灵对生物斑图的研究一起，开拓了复杂科学的先河。
周期振荡的化学反应，红变蓝又变红。
Belousov的化学振荡可以自发产生美丽复杂的斑图，被认为是复杂性从简单系统产生的典范。 对生命起源等问题都很有启发。
如果我们给这个化学反应写出热力学方程，我们就可以发现，循规蹈矩的化学平衡和“异常”的化学振荡可以完全统一在一个系统里，只是根据反应物浓度不同而不同。 它的本质即Hopf Bifurcation。
Belousov反应具有众多反应物和接近20个步骤，但是可以简化为一个二维动力学系统（内容繁杂在此不续）：
随着参数a，b的变化系统具有完全不同的动力学模型，见下图：
Hopf Bifurcation， 左图是一个具有静止平衡态（定点）的系统，动力学流从不同的位置旋入这个系统。 右图为振动解（limit cycle）的诞生， 事实上，两张图描述的是一个系统的连续变化，开始那个稳定的平衡点失去稳定属性，流行从旋入这个点变为旋出，而归于确定的闭合轨道。这就是Hopf Bifurcation的范式。
Hopf Bifurcation 作为阐述振动和静态平衡互相演化的基本手段， 在生物，经济等领域反复出现。
甚至我们的生命过程本身也可以理解为一个大的Hopf Bifurcation。 心脏的跳动和新陈代谢的循环伴随我们一生，这是系统的振动解。 我们死的那一刻，振动解救步入了静态平衡。这就是Bifurcation Point。
中国历史的演变可以看做一个大Hopf Bifurcation。 从中国历史的初始阶段-东周列国（不考虑部落传说时代的夏商）到大秦帝国的诞生，可谓经历了Bifurcation。因为动力学系统的性质前后发生了根本变化， 从之前小邦国的平衡状态发展到帝国循环的动力学模型。
春秋战国可谓中国历史的关键期（critical period）。 但即使在秦帝国初建的时候，前一个动力学模型依然没有完全结束，两个模型依然在竞争（Bifurcation point）。 所以秦帝国才只持续那么短，因为邦国并立的组织虽已破坏，但其“鬼影”还在。 所以陈胜之后，才有六国后人的争相复辟， 而项羽则作为旧的动力学模型的最后惊魂一瞥划过天空，作为楚国贵族的他，夺了天下，却只想分封诸侯，回到六国旧梦。
而也因如此，注定他只是一颗流星，他终是敌不过作为新帝国模型代言的刘邦。他的失败，根本是他所代言的动力学模型的失败， 而非孤勇。 汉帝国能够成为中国第一个持续两百年以上的帝国， 也是因为因为汉初皇帝彻底瓦解了邦国的旧动力学体系。他们所做的分封刘氏皇族，进一步加强大一统，都彻底瓦解了旧的社会组织。 旧贵族的梦是在几千年都兴不起来了。
注： 虽然中国历史也多次经历分裂诸侯并立的时代，但那都是作为帝国循环的谷底而存在，而非稳定的状态。
注： 中国历史曾有的小邦并立的动力学模型，也对应百家争鸣，文化技术突飞猛进的时代。这也可以从动力学模型本身解释。因为小即自由。 小邦国的人可以以脚投票，决定自己去自己想去的地方，和什么人在一起。 事实上战国的思想家，往往是“international”， 像苏秦张仪吴起之流。当你可以用脚投票，君主也必然为招揽人才不遗余力。 其实这样最终的结果已经和古希腊的民主制差不多了。 这种由于小邦并立而导致的优化，是西方文明进化的法宝之一。
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