六年级知识点：长方体和正方体
本讲内容是在学生认识了长方体、正方体的面、棱、顶点等结构与特征，理解并熟练掌握了长方体、正方体的表面积、体积和容积的意义及计算方法，能进行几何体与其展开图之间的转化，并能灵活运用这些知识解决实际问题的基础上，进一步探索比较复杂的此类问题的解题方法。是教材内容的拓展和延伸，加大了空间想象的力度，以发展孩子的空间观念为主要目的。
形体 | 面 | 顶点 | 棱 | 关系 | ||
长方体 | 6个 | 相对面完全相同，至少4个面是长方形 | 8个 | 12 条 | 相对的4条棱长度相等 | 正方体 是特殊 的长方 体 |
正方体 | 6个 | 6个面完全相同，都是正方形 | 8个 | 12 条 | 12条棱长度都相等 |
1.概念：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它们的表面积。
2.计算公式：
重点提示：不足6个面的实际问题根据具体情况计算，例如鱼缸、无盖纸盒等。
1.长方体和正方体的体积、容积比较
体积 | 容积 | ||
不同点 | 意义不同 | 物体所占空间的大小叫做物体的体积。 | 物体所能容纳的体积，叫做这个容器的容积。 |
测量方法不同 | 求物体的体积要从该物体的外部来测量长、宽、高。 | 求物体的容积要从容器的内部来测量长、宽、高。 | |
单位名称不完全相同 | 体积单位一般用：立方米、立方分米、立方厘米。 | 容积一般用体积单位。盛放液体的容器，容积也常用升或毫升来表示。 | |
相同点 | 计算公式相同 | 长方体体积（容积）公式=长×宽×高 或 正方体体积（容积）公式=棱长×棱长×棱长 或 长方体和正方体的体积（容积）=底面积×高 或 | |
重点提示 | 1. 有的物体既有体积，也有容积。如箱子、油桶等。 2. 有的物体有体积却没有容积。如：石头、木头这些实心的物体。 3. 既有体积也有容积的物体，它的体积一定比容积大。只有把容器的厚度忽略不计，容积才可看作与体积相等。 |
2.体积（容积）单位进率换算：
1立方米=1000立方分米
1立方分米=1000立方厘米
1升=1000毫升
1立方分米=1升
1立方厘米=1毫升
练习题
【题目1】：
一个长方体和一个正方体的棱长之和相等。已知长方体的长是6分米，宽是4分米，高是2分米，求正方体的表面积和体积？
【解析】：
要求出正方体的表面积和体积，必须先求出正方体的棱长。
长方体有12条棱分为3组：4条长、4条宽、4条高；正方体有12条棱，每条棱的长度都相等。
设这个正方体的棱长为x分米，根据题意，可以列出方程：
12x=（6＋4＋2）×4
解得：x﹦4
正方体的棱长为4分米。
所以正方体的表面积为：42×6﹦96（平方分米）。
正方体的体积为：43﹦64（立方分米）。
【题目2】：
一块长方形铁片（厚度不计），四个角剪去边长为2.8分米的正方形，焊成一个长方体铁皮盒，可以盛水546升。已知这块长方形铁皮的长是21.2分米，求长方形铁皮的面积。
【解析】：
546升﹦546立方分米，即焊成的铁皮盒的容积为546立方分米。厚度不计，铁皮盒的容积也就相当于它的体积。
如上图，铁皮盒的体积为546立方分米，铁片盒的高为2.8分米，铁皮盒底面的长为：21.2－2.8×2﹦15.6（分米）。
所以，铁皮盒底面的宽为：546÷2.8÷15.6﹦12.5（分米）。
则铁皮原来的宽为：12.5＋2.8×2﹦18.1（分米）。
由长方形铁皮原来的长、宽，可以求出它的面积为：
21.2×18.1﹦383.72（平方分米）。
【题目3】：
一个长方体，如果从它的高度方向锯掉3厘米的一段，正好得到一个正方体，但表面积减少了72平方厘米，原来长方体的体积是多少？
【解析】：
如下图：
从长方体高度方向锯掉3厘米的一段，表面积减少部分就是高3厘米的长方体的四个侧面和一个上面，同时表面积又增加了一个切面，切面面积正好与原长方体上面的面积相等，互相抵消。因此，剩下正方体表面积比原长方体表面积减少的72平方厘米，就是高3厘米的长方体的侧面积。
所以长方体的底面周长为：72÷3﹦24（厘米）。
剩下部分是个正方体，即长方体底面是正方形，所以长方体的底面边长即所得正方体的棱长为：24÷4﹦6（厘米）。
所以原长方体的体积为：
6×6×（6＋3）﹦324（立方厘米）。
【题目4】：
如图，一个正方体切去一个长方体后，剩下图形的体积和表面积各是多少？（长度单位：厘米）
【解析】：
原正方体棱长为8厘米。
在原正方体的一个角上切去一个长方体，表面积减少部分相当于切去长方体的3个面，表面积新增加了三个面恰好是相对的长方体的另外3个面，减少部分和增加部分抵消了，因此剩下图形的表面积就等于原正方体的表面积：
8×8×6﹦438（平方厘米）。
剩下图形的体积为：
8×8×8－2.5×2.5×4﹦487（立方厘米）。
【题目5】：
一个长方体水箱，长30厘米，宽42厘米，水箱里装着水，并有一个长21厘米，宽15厘米的小长方体铁块完全浸没在水中，当把水中的铁块取出后，水面下降了1厘米，铁块的高是多少厘米？
【解析】：
把水中的铁块取出后，水箱里的水的总体积减少部分即下降的水的体积，就等于铁块的体积：
30×42×1﹦1260（立方厘米）。
根据铁块的体积和长、宽，可以求出铁块的高为：
1260÷21÷15﹦4（厘米）。
【题目6】：
把一个长8分米，宽6分米，高5分米的长方体木块，锯成一个最大的正方体，这个正方体的表面积是多少？体积是多少？
【解析】：
长方体锯成一个最大的正方体，则这个正方体的棱长等于长方体的最短的棱长，即正方体的棱长是5分米，利用正方体的表面积计算公式S=6a2和体积计算公式V=a3即可解答．
解：长方体锯成一个最大的正方体，则这个正方体的棱长等于长方体的最短的棱长，即正方体的棱长是5分米，
5×5×6=150（平方分米）
5×5×5=125（立方分米）
答：这个正方体的表面积是150平方分米，体积是125立方分米．