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城读│城市生活本质上是一个巨大的数学问题
Luís M. A. Bettencourt, José Lobo, Dirk Helbing, Christian Kühnert, and Geoffrey B. West, 2007.Growth, innovation, scaling, and the pace of life in cities, PNAS,104 (17) 7301-7306. Luís M. A. Bettencourt & Geoffrey B. West, 2010. A unified theory of urban living, Nature, 467, 912–913. Source: http://www.smithsonianmag.com/innovation/life-in-the-city-is-essentially-one-giant-math-problem-37759041/?all
城市是独特的，你不会把里约热内卢的贫民窟(favela)混同于洛杉矶的市中心。二者由其特殊的历史、地理、气候等因素塑造而成。但，在深层次上，城市又是普遍的：城市是超越时空的社会、经济和物理规律的产物。一门新的科学——由于太新，尚未出现专门的期刊，甚至没有一个统一的名字——正在探索这些规律，我们将其称之为“城市性的数量理论(quantitative urbanism)”，以人类最古老最重要的发明——城市为研究对象，力图将其混乱的、生机勃勃的、奢华生活等特征简化为数学公式。 对城市的系统研究可以追溯到古希腊历史学家希罗多德(Herodotus)。20世纪早期，围绕着城市发展特定领域出现不同分支学科：分区理论、公共健康和卫生、交通与交通运输工程学。1960年代，城市规划作家简•雅各布斯(Jane Jacobs)和威廉•怀特(William H. Whyte)以纽约为观察对象研究街道生活、中城行人步行模式以及人们使用公共空间的方式。但是他们的判断往往是审美式的、凭直觉的。“他们提出了非常绝妙的观点”，圣菲研究所(Santa Fe Institute，SFI，一个以理论物理学知名的智库)的一位研究人员Luís Bettencourt评论道，“但是，科学在哪？决定我们想要怎样的城市的实证基础何在？” Bettencourt是一位物理学家，他的研究领域与城市性的数量理论有着深刻的联系——二者都要求理解大量实体之间的复杂互动，例如，纽约大都市区2千万居民之间的互动，或者核反应无数亚原子粒子之间的互动。 这一新领域是2003年诞生的，当时圣菲研究所举办了一个如何对人类社会建模的工作坊。Geoffrey West是领衔的学者之一，他是一位理论物理学家，后来转向生物学，探索生物体特征与其质量之间的关系。大象并非老鼠简单的加大版本，其许多可测量的特征，例如新陈代谢和寿命，实际上有一个适用于不同体型生物体的数学规律可循。体型越大，寿命越长，但动作也越迟缓（人类的寿命与其质量不成比例）：老鼠的心率500下/分，而大象的脉博只有28下/分。如果把动物体型大小和脉搏标在对数坐标轴上，基本上每一种哺乳动物都会落在或靠近同一条直线上。West提出，可能类似的规律也适用于人类制度。 图生物有机体体型（质量）与心率的关系
来源：Bettencourt, et al., 2007
这次工作坊产生了一篇里程碑式的论文，《增长、创新、幂律和城市生活的节奏》(Growth, Innovation, Scaling, and the Pace of Life in Cities)。这篇长仅6页的论文，满是方程与图表，Bettencourt, , Lobo, West和另外两位来自德雷斯顿科技大学的研究者，提出了城市如何随其规模变化的理论。“人们在城市里做的各种事情，无论是创造财富，还是谋杀，都与城市人口规模之间存在着某种联系，并且这种联系具有普适性，而不是局限于某一国家，或者某一历史时期”，Lobo如是解释。 这种联系可以用一个指数公式来表达，并且根据指数大小，可以分为三类：第一类，指数为1，说明两者呈线性关系，即两者增速相同，例如城市居民用水量或者用电量与人口规模之间的关系为线性。第二类，指数大于1，呈现“超线性(superlinear scaling)"关系，大部分的经济活动属于这种类型，例如，私营研发就业与人口规模增长之间的指数为1.34；新专利数量与人口规模之间的指数为1.27；GDP与人口规模之间指数介于1.13-1.26之间。如果一个城市的人口增长一倍，或者比较一个大城市与一个规模只有它一半的城市，前者的GDP是后者的两倍多。平均而言，大城市的人均生产率提高了15%。遗憾的是，新增艾滋病个案数量也与人口规模呈超线性关系，1.23；严重犯罪案件与人口规模之间指数为1.16。第三类，指数小于1，呈亚线性关系(sublinear)，即增速慢于人口增速，城市基础设施基本属于这一类型，例如，油站数量与人口规模之间指数为0.77；道路总面积与人口规模指数为0.83；电网电缆总长度与人口规模之间指数为0.87. 表 城市生活指标与人口规模之间的幂律指数
来源：Bettencourt, et al., 2007
上述三种关系中，最令人惊异的莫过于许多城市生活指标表现出来的超线性关系，在生物学上没有对等物，反映了独特的社会特征，是知识溢出(knowledge spillovers)的数量表达，溢出效应促进城市集聚，城市规模越大，人均生产率越高。工资、收入、GDP增长、银行存款和发明速度（用新专利数量和创新产业就业数量来测量）均与城市人口规模呈超线性关系。另一方面，超线性关系也有其黑暗面，住房成本、犯罪率、交通拥挤和流行病传播，也与城市规模呈现超线性关系。 图 可预测的城市：犯罪率、GDP、收入和专利数与城市人口规模的关系
来源：Bettencourt and West,2010
不同的指数比例关系背后有两种截然不同、甚至是互相竞争的动力：一是物质上的规模经济，例如城市基础设施；二是社会互动，有利于创新和财富创造。 惊人的是，这一规律适于世界上各种不同规模的城市，无论它们的历史、文化、地理如何大相径庭。无论纵向对比，还是横向对比，孟买不同于上海，不同于休士顿，但是它们都遵循上述规律。“给定美国任一城市的规模，我就可以告诉你，这个城市有多少名警察、多少项专利、多少个艾滋病患者，”West说道，“就好象你可以通过哺乳动物的体重来估算它的寿命”。 综上所述，尽管世界各地城市具有复杂性、人类行为多样性和地理差异，但城市表现出惊人一致的普遍的数量规律，城市人口规模是决定大多数城市生活特征的主要因素，城市人口规模与城市生活之间存在着幂律(scaling law)。