无翻转几何映射的构造 | CVMJ Spotlight

日前，Computational VisualMedia期刊第7卷第三期上刊登了一篇有关几何映射的综述论文[1]，该文从无翻转的几何映射的应用需求出发，对设计变量选择、优化目标构造、无翻转约束处理、优化求解算法以及其他特定约束几个方面，对几何处理中无翻转映射的建模与求解问题进行了全面的回顾，并对所面临的挑战和未来研究方向进行了展望。

这篇综述论文由中国科学技术大学傅孝明副教授、宿建平博士生、赵征宇博士生、方清博士生、叶春阳助理研究员及刘利刚教授合作，在CVMJ上联合发表。

研究背景

在计算机图形学和几何处理领域，几何映射是定义在不同的几何模型之间的映射函数。研究和计算几何映射有大量的实际应用场景。例如，在几何处理中，把模型映射到特定值域能够显著降低几何处理任务的难度；在纹理映射中，网格参数化将现有二维纹理映射到三维模型上；在有限元仿真中，优化原始区域到网格的几何映射能够有效提高网格的质量，从而提高仿真的精度。

任何自然界材料都没有零体积或者负体积。直观地说，任何物理变形都不会导致体积为零甚至为负。几何映射的雅可比矩阵的行列式表示变换后模型微元到原始模型微元之间的体积的比值。因此，该行列式在定义域中应处处为正。该约束被称为无翻转条件。如图1所示，存在翻转的参数化导致了视觉可见地不光滑的纹理映射效果；其中，左图中的黄色三角形表示翻转的三角形，三角形颜色的深浅表示扭曲的大小，白色三角形扭曲更低。

图1 满足/不满足无翻转约束的参数化

因此，构造高质量的无翻转几何映射在很多实际应用中是一个重要的、必不可少的任务，具有重要的研究价值与意义，近年来受起了广泛的关注。该论文通过对构造无翻转几何映射的工作进行综述，希望能够帮助研究者了解该方向的发展历程以及最新动态。

构造无翻转几何映射的概述

为了全面概述无翻转几何映射构造，该文从以下几个方面进行讨论：

1. 设计变量选择：变量的不同表示会导致不同的算法性能。网格顶点位置是几何映射计算中常用的变量。然而，针对特定任务，更恰当的表示可以显着提高算法的效率和鲁棒性。

2. 优化目标构造：目标函数通常由不同的应用需求而定。例如，形状变形和网格参数化领域往往会在设计目标函数时，优化变换后网格与参考网格之间的变形。文章讨论了多种度量扭曲的方式。

3. 无翻转约束处理：无翻转约束是非线性的。处理约束的方法决定了算法的难度。文章讨论了关于无翻转约束的数学分析以及实现无翻转目标的不同方法。

4. 优化求解算法：目前有许多方法来求解无翻转几何映射。如果初始几何映射是无翻转的，保持映射始终停留在无翻转空间，理论上可以保证生成满足无翻转约束的几何映射。另外，文章也讨论了将有翻转映射优化为无翻转映射的一些方法。

5. 其他特定约束：对于特殊应用，需添加一些其他线性或非线性约束。文章讨论了双射、曲面间双射、轴对齐和全局无缝约束。这些约束给构造无翻转几何映射带来了更多困难，因此需要设计专用算法。

针对上述的每个方面，文章都通过相应的章节进行了详细的说明，阐述了不同因素对构造无翻转几何映射的影响。

构造无翻转几何映射的问题和挑战

尽管构造无翻转几何映射在学术界和实际应用中均取得了显著的成果，但仍然存在一些长期的研究挑战。特别是在无翻转约束的基础上，添加更多应用自有的约束后，问题会变的更加复杂、困难。比如：

1.  理论保证：如果初始映射不是无翻转的，目前没有任何方法理论上保证结果始终是无翻转的。这是研究和计算无翻转映射的最基本问题。

2. 双射体映射：三维中的双射映射对于许多几何处理任务至关重要。但是三维中边界碰撞的情况比二维情况更复杂，导致现在的方法计算代价都非常高。未来，如何降低计算成本是一个值得研究的方向。

3. 六面体网格质量提升：提高六面体网格的质量需要同时优化拓扑结构和顶点位置。有几个问题值得研究。首先，如果输入网格包含翻转的六面体，如何有效且高效地消除它们？其次，如何在满足几何保真度约束和拓扑约束的同时稳健地计算简单的拓扑结构？最后，能不能用结构优化技术来帮助我们消除翻转六面体？

作者希望该综述论文能够促进几何映射计算与构造的发展与应用，并为相关从业人员和研究人员提供一个全面的参考。

点击下方的“阅读原文”，可以阅读论文，也可从如下网址下载：

https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s41095-021-0233-9.pdf

参考文献

1. X.-M. Fu, J.-P. Su, Z.-Y. Zhao, Q. Fang, C. Ye, and L. Liu. Inversion-free geometric mapping construction: A survey，Computational Visual Media, 2021，Vol. 7, No. 3, 289-318.

作者简介

傅孝明，中国科学技术大学副教授，分别于2011年和2016年在中国科学技术大学获得学士、博士学位。2016年至2021年于中国科学技术大学任副研究员。研究领域为计算机图形学与计算机辅助设计，研究方向为几何处理、优化、建模、制造等。已在ACM SIGGRAPH/SIGGRAPH ASIA/ACM TOG上发表14篇论文。

宿建平，中国科学技术大学数学学院博士研究生，导师为刘利刚教授与傅孝明副教授，于2017年在东北大学获得学士学位。研究领域为计算机图形学与几何优化，已在ACM SIGGRAPH上发表1篇论文，PG上发表2篇论文，IEEE TVCG上发表1篇文章。

赵征宇，中国科学技术大学在读博士，指导导师为刘利刚教授与傅孝明副教授，于2018年在湖南大学获得学士学位。

方清，中国科学技术大学在读博士，指导导师为刘利刚教授与傅孝明副教授，于2015年获得中国科学技术大学数学与应用数学学士学位。

叶春阳，中物院高性能数值模拟软件中心助理研究员。分别于2012,2021年在中国科学技术大学获得工学学士，理学博士学位。研究方向为数字几何处理。已在CCFA类国际会议和期刊发表论文5篇。

刘利刚，中国科学技术大学教授，国家杰出青年基金获得者。于2001年在浙江大学获得应用数学博士学位，曾于微软亚洲研究院、浙江大学、哈佛大学工作或访问。从事计算机图形学研究。曾获得陆增镛CAD&CG高科技奖一等奖、国家自然科学奖二等奖等奖项。曾任多个国际会议的大会共同主席或程序主席，现任多个国际学术期刊编委。刘利刚教授的研究主页为：http://staff.ustc.edu.cn/~lgliu

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