对称与守恒：一位数学才女的洞察
对称性描述的是大自然的数学几何结构，守恒定律说的是某种物理量对时间变化的规律，两者似乎不是一码事。但是，才华横溢的德国女数学家艾米·诺特，却从中悟出了两者间深刻的内在联系。现代物理学及统一场论中，对称和守恒已经成为物理学家们探索自然奥秘的强大武器。
张天蓉（德克萨斯州大学奥斯汀分校理论物理博士）
人们常常将微观粒子的旋转与天体转动作比较，因而，有时就会想当然地将“电子自旋”类比于地球的自转。实际上，量子力学中的“自旋”，是粒子的内禀特性，与地球自转完全不是一码事。比如说，地球自转一圈，旋转了360度回到原来的状态，而电子呢，要转两圈才能返回原来的状态。
因此，自旋空间中的旋转只等于真实3维空间中旋转角的一半。这是自旋为半整数的粒子，或者说是“费米子”的特性。自旋是微观粒子的内禀特性，经典世界中并无对应物。那么，在真实世界中是否也存在这种现象，旋转360度不能恢复到原来的状态，只有当旋转720度时才能恢复？
1986年，著名物理学家费曼在一次纪念狄拉克的演讲中，讲到反物质、对称和自旋时，为了生动地解释电子自旋，亲自示范，模拟演示了一段水平放置的杯子在手臂上的旋转过程，如图1a所示。费曼当时以风趣的语言及精彩的表演，赢得掌声一片。
费曼用奇妙的旋转演示，说明他的手臂也得转两圈才能返回原来的位置，正如同物理学中的自旋。费曼的演示实验，实际上是来源于狄拉克提出的所谓“Dirac’s belt”“Dirac’s scissors”等等实验想法，见图1b。
然而，这些真实空间中的旋转演示，毕竟不同于自旋空间中的转动，还是让更为强大的数学武器：李代数来帮助我们，才能对旋转李群有更深的理解。
自从牛顿和莱布尼茨发明了微积分之后，数学家们就喜欢上了“无穷小”。凡事都要“万世不竭”地追究下去。他们将无穷小概念搬上几何，便有了微分几何。
现在，我们将这“无穷小”用到连续旋转群上，也就是说，考虑如何对“群”作微积分。李群这种光滑的群流形，是作无穷小实验的好对象，因为李群既是群又是解析无限可微的流形，对我们研究它而言，这一点带来了复杂性，却也有其特殊的优越性。
李群既然是群，它作为流形一定有其与众不同之处。群中有一个特殊的幺元，我们就从这个“幺元”开始解剖群流形。
比如说，上一次（参看《超越直观：他们如何用数学参透永恒的旋转？》，回复“366”提取全文）讨论过的旋转李群U(1)，由复数平面上的所有旋转G (q)=eiq构成，因此U(1)的流形是单位圆（图2a）。这里的G(q)代表群元素，q是连续变化的实参数。当q等于0的时候，G=1，对应于群的幺元。旋转群中幺元的意思就是不旋转。那么，如果q有别于0，但等于一个很小的数值e的话，便将对应于一个无穷小的旋转：
G(ε) = 1+iε， （1）
无穷小总是和切空间联系起来，这点并不奇怪，在微积分中就是如此。因为微分本来就是对函数值局部变化的一种线性描述。在微积分中，曲线的线性化得到过该点的切线，平面曲线在给定点的微分便对应于该点切线的斜率。曲面的局部线性化，则得到过该点的切平面。
李群具有群结构，所以比一般随意变化的微分流形有更多的特色。这使得我们研究它时有了一些方便之处：比如，根据刚才U(1)群的例子，我们并不需要研究流形上每一个点的切空间，而只需要研究与群的“幺元”对应的那个点的切空间就可以了。这个结论可以从U(1)推广到一般李群。
更通俗地说，李群被表示成一个曲面，李代数就是包含曲面微分性质的幺元上的切空间，见图2b所示。为什么要研究李代数？因为比较起李群的流形结构而言，李代数是性质更为简单的线性矢量空间。
刚才例子中的U(1)群表示二维旋转，旋转是一种对称特性，奇妙的是，数学中的对称与物理中的守恒定律联系在一起。
在19世纪男性主宰的数学王国中，走出了一位杰出的女数学家——艾米·诺特。她不仅对抽象代数作出重要贡献，也为物理学家们点灯指路，她有关对称和守恒的美妙定理，揭开了自然界一片神秘的面纱。
艾米·诺特（Emmy Noether）是一位才华洋溢的德国数学家，曾经受到外尔、希尔伯特及爱因斯坦等人的高度赞扬。当年的希尔伯特为了极力推荐诺特得到大学教职，曾用犀利的语言嘲笑那些性别歧视的学究们：“大学又不是澡堂！”
诺特对理论物理最重要的贡献是她的“诺特定理”。这个定理将表示对称性的李群与物理学中的守恒定律联系起来。表面上看起来，对称性描述的是大自然的数学几何结构，守恒定律说的是某种物理量对时间变化的规律，两者似乎不是一码事。但是，这位数学才女却从中悟出了两者间深刻的内在联系。
考虑3维旋转群SO(3)，三维旋转可以通过绕空间三个独立转轴的2维转动来实现。所以应该有3种可能的类似于二维情形公式（1）的无限小转动：
g = 1+iε1A1，（2）
g = 1+iε2A2，（3）
g = 1+iε3A3，（4）
但三维转动不同于二维转动，二维转动是对易的，就是说，在二维xy平面上，先绕z轴转动20度，再转动50度，与先转动50度，再转动20度，两个过程的结果是完全一样的。三维空间中，绕不同方向轴的旋转是不对易的。读者从图3中很容易验证这种不对易性：图3a是将一本书先绕X轴旋转90度，再绕Z轴旋转90度；而图2b所示的，是将原来同样位置的这本书先绕Z轴旋转90度，再绕X轴旋转90度。这两个过程中，两次旋转的前后次序不同，造成最后结果不同，进而证明了这两次转动是不可对易的。
二维旋转对易，因此U(1)是阿贝尔群，三维空间旋转不对易，所以SO(3) 与SU(2)不是阿贝尔群。公式（2-4）中的符号Ai便反映了这种不对易性，被称之为李群SO(3)（或SU(2)）的生成元。U(1)和SU(2)是物理的统一理论中重要的李群。
为了更清楚地解释生成元的意义，我们首先通过几条简单的代数运算，将SO(3)无穷小群的表达式（2-4）改写成生成元的表达式：
熟悉微积分的读者会觉得这些公式有点眼熟，它们与微积分中导数的定义在形式上颇为相似。表达式中的(1)是什么呢？并不是简单的实数值1，而是李群中对应于参数ε=0时的幺元：(1) = g(0)。所以，如此看来，生成元A似乎就相当于在幺元处对李群流形的参数曲线作微分时切线的斜率，这也就与我们之前所述“李群上的李代数就是幺元上的切空间”一致，生成元则可看作是构成这个切空间的基矢量。旋转群SO(3)有3个参数，切空间是3维的，因而有3个独立的基矢量A1、A2、A3。空间的基矢量可以有多种方式选取，比如说，我们可以用对群参数1阶导数的“算符”来表示基矢量：
什么是算符？物理算符是物理学家通常用以表示某种运算过程（或者复杂方程式）的符号，有时候可以用来做一些形式上的代数运算而使得真正的计算简单易懂。只要不忘记这种算符表达的意义，便往往能够使推导过程看起来简明扼要并且经过最后验证得到正确的结果。公式（6）中所示的是大家熟悉的微分算符。微分算符通常作用在函数上，将一个函数变成另一个函数。量子力学中的微分算符作用在系统的量子态上，将一个量子态变成另一个量子态。
细心的读者可能会注意到，上述有关群参数的公式中（1~6），总是写iε而不是ε，为什么多了一个纯虚数i呢？这是为了保证公式中的生成元是厄密算符。复数和算符在量子力学中不可或缺，因为在量子理论中，粒子的轨道概念失去了意义，必须代之以粒子的波函数，或者系统的量子态，原来的经典物理量则用相对应的算符表示，量子算符的本征值必须为实数，才能表示量子力学中的可观测量，厄密算符的本征值为实数，符合可观测量的条件。
生成元算符中的约化普朗克常数（
生成元算符之间的代数关系，表明了李群的对称性。诺特将这种对称性通过系统的拉格朗日量与物理守恒定律联系起来。诺特定理的意思是说，每一个能够保持拉格朗日量不变的连续群的生成元，都对应一个物理中的守恒量。物理对称性有两种：时空对称性和内禀对称性。比如说，如图4所举的例子，空间平移群的生成元，对应于动量守恒定律；时间平移群的生成元，对应于能量守恒定律；旋转群SO(3)的生成元，则对应于角动量守恒定律。
此外，规范不变反映了物理系统的内禀对称性，统一理论标准模型中的规范对称，用U(1)×SU(2)×SU(3)来表示。考察一下最简单的情形：当U(1)群用在电磁规范场中时，所对应的守恒量是什么？电磁场规范变换φ → eiqθ(x)φ 的群元素是g= eiqθ(x)，旋转角θ是群参数，对θ求导后得到生成元= q，所以，对应于电磁规范场U(1)的守恒量是电荷q。根据类似的道理和数学推导，同位旋空间的SU(2)规范变换对应于同位旋守恒，夸克场的SU(3)则对应于“色”荷守恒。此外，除了诺特定理最初所说的连续对称性之外，在量子力学中，某些离散对称性也对应守恒量，例如，对应于空间镜像反演的守恒量是宇称。
总之，现代物理学及统一场论中，对称和守恒似乎已经成为物理学家们探索自然奥秘的强大秘密武器。感谢诺特这位伟大的女性，为我们揭开了数学和物理之间这个妙不可言的神秘联系。
参考资料：
[1]R. P. Feynman: Elementary Particles and the Laws of Physics (1986 Dirac memorial lecture) https://www.youtube.com/watch?v=cKzzG5DS6V8
[2]Kosmann-Schwarzbach, Yvette (2010). The Noether theorems: Invariance and conservation laws in the twentieth century. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Springer-Verlag.
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