黑洞物理的先驱者 ——纪念雅各布•贝肯斯坦

提起黑洞，人们首先想到的人物大概是霍金。的确，霍金为黑洞物理的研究做出了巨大贡献，又撰写了不少影响及销量极大的科普著作，进行了多次公众演讲，获得了很高的公众声望。事实上，在黑洞物理这个前沿领域还有许多具有同样原创思想但在公众中尚不知名的研究者，贝肯斯坦（J. Bekenstein）就是其中杰出的一位。

撰文：

张宏升（上海师范大学教授）

胡亚鹏（南京航空航天大学副教授）

贝肯斯坦1947年生于墨西哥，犹太人，在美国完成大学到博士的教育，1974年回到“祖国”以色列(其父母是波兰犹太人，后移民墨西哥)工作，直到2015年去世。贝肯斯坦生前获得许多学术荣誉，包括朗道奖(1981)、威兹曼奖(2011)、沃尔夫奖(2012)、爱因斯坦奖(2015)等。贝肯斯坦1969年本科毕业于美国布鲁克林综合技术学院，后只用三年时间就在普林斯顿大学取得博士学位，导师惠勒(J.Wheeler)教授。惠勒在20世纪物理学的两大主题引力论和量子论两方面都有意义深远的创见，指导了许多杰出的学生，贝肯斯坦便是其中之一。

惠勒指导学生的方式有玻尔的风格，承袭苏格拉底、亚里士多德的传统，主要以谈话的方式寻找师生共同感兴趣的课题。贝肯斯坦一入学，惠勒就同他进行了两个多小时长谈，惠勒说通常认为引力在基本粒子物理中不起作用，但如果有一个能放大1035倍的放大镜，就能看到空间充满了泡沫和浪花，从而很可能对粒子物理有很重要甚至是至关紧要的影响。贝肯斯坦仔细思考了这些想法，但他发现很难用方程定量的描述这些想法。又过了一阵子，惠勒再次跟贝肯斯坦聊天，这次谈及的是贝肯斯坦将要大显身手的课题——黑洞。惠勒说，把一本书或者一个苹果扔进黑洞，宇宙中的熵就减少了，因此违反了热力学第二定律，这怎么可能？贝肯斯坦答道，因为黑洞也有熵，而且黑洞的熵可能就是视界面积。惠勒对贝肯斯坦的答案非常欣赏。很短的时间内，贝肯斯坦就写出了一篇论文，推测黑洞也有熵，且正比于其视界面积。这是一篇黑洞热力学奠基性的工作，但在当时反响平平，很多人甚至认为这个想法很荒唐。贝肯斯坦不为所动，坚持自己的观点。事实证明他是对的，1975年霍金发表黑洞辐射的文章后此文越发显得熠熠生辉。

图1:贝肯斯坦(1947年5月1-2015年8月16日)。照片取自维基百科。图中贝肯斯坦正在演示张量-向量-标量理论的一个中间过渡产品，MOND场论（类似牛顿理论写成拉普拉斯-泊松形式，这对MOND并不容易）。后文我们会稍微详细的阐述贝肯斯坦的这一贡献。

贝肯斯坦熵及熵界

为理解这个工作，我们先解释一些基本概念。黑洞，正如这个名字所暗示的，第一“黑”，即不发光；第二“洞”，即物体掉进去就出不来。黑洞是现代引力论——广义相对论的概念。但在直观意义上粗略的理解它，在牛顿引力论中也可以做到。牛顿曾经设想过，水平抛出一块石头，初速度越大，它的落点就离出发点越远，当初速度达到一定程度(7.9公里每秒)，它就不再落下来，而是环绕地球运转，变成一颗人造卫星，这在今天已经做到了(考虑到空气阻力等实际情况，卫星的发射速度要大于这个第一宇宙速度)。如果速度更大，就能挣脱地球引力变成太阳的一颗人造行星，如果速度更大就能挣脱太阳的引力而逃离太阳系，这就是先锋号现在的情形。光的速度虽然很大，但也是个有限数。于是引力足够大的星星就能够把光也拉住，使得这颗星在远处看起来是暗的，这就是黑洞最初的名字“暗星”。在1800年左右英国的米歇尔和法国的拉普拉斯都根据牛顿引力论和光的粒子说做出这个预言。按照这个预言，如果把太阳压缩到一个半径三公里左右的球内，那么光就不能从这个区域内逃出。请注意这个数值，它跟后来广义相对论的结果精确相等，但这只是个巧合。此后一百余年间，这个惊人的预言没受到多少重视。因为科学家在不久便发现光用波来描述更合适，建立在光的粒子说上的暗星就被尘封了。光的本性从牛顿时代开始就有粒子说和波动说的争论。直到20世纪我们才确认光具有波粒二象性，而表现出粒子性或者波动性依赖于我们做何种探测。光可以说既是波又是粒子，或者说既不是经典波也不是经典粒子，本质上是量子客体。我们将看到贝肯斯坦的论证会用到光的波动性。

下面我们稍微理解一下熵。熵是物理学中最微妙的概念之一。我们不准备讨论它的历史来源，只在最直观的意义上做一点解释。熵是系统某个宏观状态所包含所有可能的微观状态总数的对数(差一个常数因子，叫做玻尔兹曼常数)，用公式可表示为S=k ln(W)，其中W就是那个所有可能的微观状态数。什么是宏观状态什么是微观状态事实上也依赖于定义，相同的系统不同的定义会导致不同的W。举个简单例子来说明。一个班级有50名学生，50把椅子。我们把每个学生都坐在一把椅子且仅坐在一把椅子上叫做一个宏观态。老师上课时一看人来全了就好了，不太关心谁坐在哪个座位上。我们把具体某个人坐在某个位子上叫做一个微观态，注意必须把全班学生都排好才算是确定了一个微观态。这样一共有50！=3.04×1064个微观态，在日常生活中这个数显得难以想象的大，取对数后才比较容易理解。现在我们规定一下排位方式，规定男生坐左半边，女生坐右半边(假定男女人数相等)才算是一个合格的宏观态，这样的一个宏观态当然包含在原来的宏观态之中。显然，原来很多合格的微观态被排除了。现在总的微观态只有25！ 25！=2.4×1050个，比原来少多了。但现在我们关于大家如何排座位的信息比原来多一些，指定任何一个男生，我们就知道他坐在左边，原来我们无法得到这个信息。这说明，系统熵越大，我们关于系统微观态的信息越少，或者说这个系统隐含了越多的信息。更进一步的，我们规定学号是1的同学坐在1号位，2号同学坐在2号位，以此类推，所有的同学都按这个规则坐好。这个宏观态只包含一个微观态，它的熵是零(ln(1)=0)。相应的，我们关于这个系统的微观态有最清晰的了解，得到的信息最多，或者说这个系统不隐含任何信息。

图2：对于上下这两间办公室，谁的熵高一些？因为我们没有定义满足要求的宏观态和微观态，所以答案是不知道。

我们通过“看一眼”的方式能否得知系统的熵，或者至少定性比较两个系统的熵？答案是不能。常见科普书甚至教科书上图片两间差不多的房子，一间整整齐齐，一间乱七八糟，就说整齐的是低熵态，混乱的是高熵态，实则未必。因为这里并没有规定什么是合格的微观态。如果那个乱七八糟的房子里的东西的放置是唯一满足规定的微观态，那么它的熵是零。回到原来的例子，我们能否通过在门口看一眼来确定哪个班熵比较高呢？肯定也不能，我们甚至没有规定一个同学听课还是睡觉还是玩手机算不算同一个“微观态”。在上面的例子中，这些都是未被激发的“自由度”，相当于在总熵中加上一个常数。

那么有没有方法确定一个绝对的微观态数，而不依赖于我们的规定呢？也就是说，对于一个给定系统，熵有没有一个绝对值呢？贝肯斯坦指出，对于黑洞(不作特别说明，本文黑洞都限定于史瓦西黑洞，即真空球对称渐近平直的黑洞)，其熵的绝对值可以写作S=A/ (2Lp)2，其中Lp =1.61619910×10-35米是普朗克长度，A是事件视界面积。这里的关键是熵与视界面积成正比。

黑洞有熵这件事为什么这么重要？回到惠勒原来的问题，把一本书或者一个苹果扔进黑洞，其熵就消失了，为什么使惠勒如此震惊？原来热力学有一条非常重要的定律，即热力学第二定律(第二定律并非重要性次于第一定律，而只是发现年代早晚)，该定律表明孤立系统的熵不减。这个定律有极大的普适性，与支配这个系统相互作用的种类以及具体物理过程都没有关系。爱因斯坦说，面对纷繁复杂的现象和过程感到无从下手时，我总是求助于热力学。惠勒对黑洞的思考方法一定为爱因斯坦所欣赏。现在看出惠勒所述问题的严重性了。把苹果和黑洞看作一个孤立系统，带熵的苹果掉进黑洞后，系统将变成一个新的黑洞，因此该孤立系统的总熵就减少了(如果黑洞没有熵)！这和热力学第二定律直接矛盾。

图3：苹果掉进黑洞，它的熵就消失了，系统的总熵减少了，这与热力学第二定律矛盾。

贝肯斯坦为何能如此之快的回答惠勒的问题？因为他恰好也在思考这个课题。1970年霍金发表了一篇工作，指出黑洞的事件视界沿时间未来指向面积不减。对于一个孤立系统，有许多守恒量，比如质量、动量、角动量、电荷等。但要问有什么物理量不减呢？熵几乎是唯一的选择。当然，还有时间本身。时间比较特殊，有观点认为它只是熵的表现形式，那就跟熵是一回事了。不过这些观点还不太成熟，因此这些观点暂不细谈。至少表面上，时间不是一个很好的选择，因为相对论强调任意坐标变换的不变性，究竟把哪一个量叫做时间太随意，并没有一个特别的选择。贝肯斯坦由此猜想，黑洞事件视界的面积就是黑洞的熵，并还为这个观点做了一个很有技巧性的论证。黑洞(我们已经强调过，限于史瓦西黑洞)，表面上看起来不隐藏任何信息，因为它只有一个参数，就是质量，因此至多只能给出这一个微观态。或者用我们上面的话说，只有一个微观态。这叫做无毛定理，这个名字也是惠勒给起的。正是因为黑洞的无毛性质及上述苹果掉入黑洞等的思考，惠勒才感到如此困惑。

回到物理学的老传统，一个物体死盯着它看是没有意义的，要想知道物体的性质必须要给它某种扰动。比如，要知道物体的弹性要给它一定的压力，要知道它的电阻就要加一定的电压。贝肯斯坦设想给黑洞以最少的信息，看黑洞是如何隐藏这个信息的。按照信息论，信息必然由能量携带，没有能量的信息是没有意义的。最少的信息是多少呢？比如一个班只有一个学生、两个位置，因此该学生可以选择坐在任何一个位置上。这时，“学生坐在教室里”这句话隐含了一个比特的信息。比特是信息的计数，1个比特就是信息单位，相当于我们前面说的两个可能的微观态(只有一个微观态就不隐藏任何信息，也就是说0比特)。如果教室里有四个位置那么就是2比特的信息，这是因为信息是要取对数的。微观态数平方，隐含的信息才加倍。贝肯斯坦欲让黑洞吃掉一个比特的信息。那如何才能做到这一点？最好是吃掉纯能量，也就是光子。因为像一个苹果这样的东西会有很多内部自由度，掉进黑洞时这些内部自由度可能会被激发，不太容易考虑。光子静止质量是零，所以称为纯能量。按照相对论，它的能量是E=hc/，按照相对论质能等当性其质量是m=E/c2 =h/(c), 其中代表光子波长，h是普朗克常数，c代表光速。一个给定波长的光子，按照不确定原理，它的位置是完全不确定的，弥散于整个宇宙空间。不确定原理是说，光子频率的不确定度和位置的不确定度的乘积不小于普朗克常数。于是频率(波长)完全确定的光子位置就是完全不确定的。按说这样的光子没隐藏任何信息，因为它均匀地充斥于整个空间，其可能的微观态没有任何选择的余地，但时空有了边界就不一样。黑洞事件视界把空间分成内部和外部两个部分，就如同那一位学生可以选择的两张椅子。于是它隐藏了一个比特信息，从而熵非零。当黑洞吃进这个光子，这个光子就不能选择“另一张椅子了”(黑洞外部)，于是黑洞隐藏了这个信息，它的熵增加了。其实呢，这个光子在黑洞内部也可能有不同的位置，也就是有更多不同的微观态，从而黑洞隐藏了更多的信息。怎样才能使这个信息恰好是一个比特呢？那就让这个光子正好“撑满”整个黑洞，从而让它在黑洞内“无可闪避”，只有一个位置选择，这样这个光子的波长正好等于黑洞直径就可以了。更长的波长会如何呢？弯曲空间量子场论的技术可以证明，这样的光子会被黑洞散射，而不能被吸收。直观上，黑洞的“肚子”太小吃不下个头这么“大”的光子。

图4：黑洞吃掉一个波长等于其直径的光子隐藏的信息恰好增加一个比特，波长更短的光子会在黑洞内有不同的位置可以选择，而波长更长的光子会被黑洞散射。

我们做一点非常简单的计算来明确整个过程。一个质量是M的黑洞其视界半径是Rh=2GM/c2。G表示牛顿引力常数。这又是黑洞一个奇特的地方，半径不是正比于质量的三分之一次方，而是正好与半径成正比。如果我们也给它定义一个平均密度ρ=M/Vh，其中Vh=4π(Rh)3/3，那么一亿个太阳质量的大黑洞其密度与水相当。如果它吃掉了一个波长恰等于其直径的光子，它的质量就增加了m=h/(2Rh c)。相应的，其半径增加了h /(2cM)。其视界面面积跟欧氏几何一样，也是正比于(Rh)2。容易算出，在黑洞吃掉这个光子过程中，视界面积增加了约Gh/c3=(Lp)2。这是个非常小的数，约为3×10-70平方米。要害在于，这个增量与黑洞质量无关，只要黑洞恰好增加一个比特的信息，那么它的视界面积就增加这么多。从中也可以看出，对于一个越大的黑洞，它的熵增加就越容易，也就是说增加同样的熵大黑洞吃掉的光子比小黑洞吃掉的光子质量要小。这个论证对于质量远大于普朗克质量（10-8 千克）的黑洞总是成立。顺便说一下普朗克质量比基本粒子质量大得多，约相当于一根眉毛的质量。如果把普朗克质量的物体塞到普朗克尺度内，就会坍缩成黑洞。如前文所述，熵可以看作是隐藏信息的度量，于是把黑洞事件视界面的面积看作是黑洞的熵就顺理成章了。

图5：每个普朗克面积的小三角都有两种选择，可以想象成0或1，也可以想象成自旋向上向下等等，这就是特郝福特(G.t'Hooft)将黑洞比作一台计算机的原因。这样总的微观态数有2N，N是小三角的个数，也就是以普朗克面积为单位的面积数。所以总熵就是正比于黑洞面积。

贝肯斯坦的这个论证是思想实验，也就是说我们从来没有在实验室里完成过这样的实验。即便将来找到了一个黑洞可以让其吸收s波(球对称)，测出这样小的增量以目前的实验技术也是远远达不到的。思想实验的意义是，暴露理论自身的矛盾，并提出解决方案。这是推动物理学进步的重要方法。既然黑洞有熵，但要满足热力学第一定律，它还应该有非零的温度才可能(对正则和巨正则系综)。果然，1975年霍金（S.Hawking）证明了黑洞存在热辐射，具有非零的温度。更进一步，他发现熵的数值是视界面积的四分之一，从而了建立黑洞热力学。

既然黑洞引力强大到连光也无法逸出，它是如何辐射的？这个要用到稍微深一点的物理原理，量子场论。量子场论中，真空并不是一无所有，而是各种场的基态。粒子就是这些场的激发态。打一个比方，场的真空态如同排列的非常整齐的框架，就像在建筑工地上看到的密密麻麻的脚手架。敲击它一下就会有波在其中传播，由于波粒二象性，经量子化这些波也可以看作是粒子。学过大学物理的读者可以看到，这个东西原来是声子。确实，基本粒子可以看做是真空场的声子，它们之间并无区别，至少从现象学的角度是完全一样的。黑洞附近由于强烈的时空弯曲，真空态变得和无穷远非常不同，也可以理解为附近的脚手架和无穷远的脚手架无法做到“无张力”的链接，静止在视界附近的脚手架也会给无穷远处的脚手架带来持续不断的波动，这就是霍金辐射。这里稍微仔细的说一下“静止”的涵义。在量子理论中，任何粒子在任何时刻都不能真正静止，即便是绝对零度也要不停的振动，其对应的能量叫做零点能。如果把各种频率的振动的能量都叠加起来，结果就是无穷大。无穷大在物理上是没有意义的，没有任何仪器能记录无穷大的物理量。有一种系统化消去无穷大的方法，叫做重整化。但在零点能这个问题上用不着动用这个重型武器，我们只需要采取“闭目塞听”的态度，装没看见就是了。直接在总能量中减除这个零点能，这叫做规则化。规则化后的架子虽然实际上振动不息，我们仍然它称作“静止的”。于是，黑洞附近按照零点模式振动的架子(也就是真空态)，由于架子内部的张力传播到无穷远时也会变成非零点模式的振动，仍然减除同样的零点能进行规则化后剩下的波动就是霍金辐射。

这种描述其实回避了一个问题，光究竟是怎样从视界出来的？基于帕瑞克(M. K. Parikh)和维尔柴克(F. Wilczek)最近的一个进展，可以直观解释如下。由于量子效应，视界也变得不是一个非常清晰的表面，而是有一定的“厚度”。在视界附近徘徊的光子由于这个不确定性就能有机会从位于视界内，变成位于视界外，注意不是光子自己跑出来了，而是视界自己收缩使光子暴露在视界外边，所以即便是即壳(on-shell)过程也并不违反光速不可超越的原则。光子既然出来了，方向正确的就能够跑到无穷远。根据这个思想的计算跟霍金原来的计算结果一样，还能够得到一个有关黑洞在辐射过程中质量变化的修正项。霍金辐射是继贝肯斯坦熵之后黑洞物理的又一个重大发现，对建立黑洞热力学也有重要意义。

贝肯斯坦在1981年又提出贝肯斯坦熵界的概念，指出某个空间区域的的最大熵就是坍缩成黑洞的熵。如今，黑洞熵已经被视作打开量子引力之门的一把钥匙，是各种量子引力论的试金石。如果你提出一个新的量子引力论，人们往往会问，能解释黑洞熵吗？这些都受惠于贝肯斯坦的宝贵思想。

图6：黑洞的视界由于量子效应会收缩，光子有可能逸出。

张量—向量—标量理论

1984年后，贝肯斯坦致力于将MOND(Modified Newtonian dynamics)理论推广到相对论形式。经过30多年探索，终于在2006年得到张量-向量-标量理论。我们这里也做一个简介。MOND理论由贝肯斯坦的的同胞—以色列物理学家麦尔葛如幕(M. Milgrom)在1983年提出。最初形式为牛顿理论一种修正，且能解释星系旋臂的剩余旋转问题。在距离星系中心比较远的地方，星系物质已经十分稀薄，除了个别发光指示物此处可以看作是真空。按照牛顿理论，这些发光指示物绕星系旋转的线速度应该与距星系中心距离的负二分之一次方成正比下降。但对几乎所有能观测到发光指示物线速度的星系，这些发光指示物的线速度都几乎与离星系中心的距离无关。这个问题早在1930年前后已经明确，它通常可由暗物质理论来解释。就是说，星系中除了发光的物质还存在大量不发光的暗物质，而正是暗物质造成发光指示物的旋转线速度比预期的要快。麦尔葛如幕提出，如果假设牛顿理论在加速度很小的时候有一个修正，F=ma → F=ma2 (a < a0 =1.2×10-10米/秒平方)，那么剩余旋转问题可以得到完满解决，而且精度比暗物质理论好，也不用每次都假定一个不同的暗物质分布。但是，无论MOND多么成功，它也只是牛顿理论的一个修正，并不能应用于整个宇宙的情形。因此，需将其推广到相对论形式。然而，这一推广并不简单。贝肯斯坦得到的张量-向量-标量理论相当复杂，有数个自由参数，还有一个自由函数。虽然，该推广理论的预言能力相对较弱，但贝肯斯坦自己认为这也是其一生中最重要的工作之一。笔者也曾用贝肯斯坦熵的理论，及进一步引入最近熵力的概念，得到了MOND理论的宇宙学推广。这种推广能够同时解释暗物质和暗能量，还指出了a0的宇宙学本质。具体内容就不再详细解说。

斯人已去，他留给后人的宝贵财富如贝肯斯坦熵、熵界及张量—向量—标量理论等将在今后的理论探索中继续发挥重要影响。特别是，贝肯斯坦作为奠基人之一的黑洞热力学如今已相当成熟，而且在许多最新进展如引力/规范对应中都起到了至关紧要的作用。更为重要的是，他的黑洞熵是我们寻找物理学的圣杯——量子引力理论征途上的一盏指路明灯。在未来的研究中，全世界的研究者将更加深切地体会到他的研究成果的重要意义。

致谢：感谢曹利明教授阅读本文，并提出宝贵修改意见。

---

欢迎个人转发分享，刊物和机构如需转载，请联系授权事宜：[e-mail]。

更多精彩文章：您可以回复“目录”，接收往期文章目录和每一篇的获取方式，也可以返回主页点击屏幕下方子菜单获取最新文章、往期文章或直达赛先生微博。

谢谢！

关于我们

▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃

《赛先生》由百人传媒投资和主办，全球范围内邀请顶尖科学家轮值担任主编。关注请加微信号：iscientists 或扫描下方二维码。