附赠书彩蛋 | 二项式与小苹果——看牛顿如何将灵感火花拓展成知识体系
曹则贤（中国科学院物理所研究员，博士生导师）
牛顿爵士(Sir Isaac Newton, 1643-1727), 英国数学家、物理学家和天文学家。牛顿是数学和物理学的开创性人物，他的《流数术》和《基于无穷多项式的分析》开启了微积分这个数学领域，而其《自然哲学之数学原理》则奠定了经典力学的基础。此外，他还第一个观察记录了棱镜对日光的折射，提出了光的微粒说。牛顿被认为是人类历史上最伟大的科学家。他的墓志铭是英国诗人Alexander Pope仿照《圣经》的第一句撰写的：“Nature and nature's laws lay hid in night; God said “ Let Newton be！” and all was light （自然和自然的定律隐藏在暗夜中；上帝说“让牛顿来吧”，于是宇宙一片光明）。”
牛顿是一个当今世界人人都要熟悉的人物，所以关于他的生平、轶事之类的内容就不必多费笔墨了。让我们直奔他的两项伟大成就，微积分与牛顿力学，看看是什么激发了他的灵感，而牛顿又是如何将灵感的火花拓展成学问的体系的。
英文里提及微积分，会用 the calculus 的说法，就象提及欧几里得的《几何原本》会用 the elements 一样。加上定冠词 the，就强调了所指内容是令人崇敬的独特存在。微积分在过去对许多人来说就是高深学问的代称，也许这种局面还会持续很长时间。
英文中积分一词是 integral calculus，微分是 differential calculus。中文把 calculus 翻译成微积分，其实这个词本意应该是计算、一种计算体系。求极值，以及求二维几何体的面积和三维几何体的体积等问题，是一些古老的问题。古代中国人、希腊人早就得到了一些结果。在17世纪后半叶，关于无穷小分析已经有了很多的观点、方法和具体发现，是到了有人将之组织成一门崭新学问的时候了。德国的莱布尼兹1684年发表了一篇求最大、最小和切线新方法的文章，其中用到了 calculi 一词。等到1696年法国人洛毕大 ( Guillaume de L’Hôspital )写出了第一本这方面的教科书，微积分，the calculus，就成了这门新学问的名字。
虽然历史上有牛顿和莱布尼兹关于微积分发现优先权的争论，但有一点是肯定的，牛顿是研究和发现了微积分的。那么，牛顿发现微积分的关键一步是什么呢？是对二项式展开的推广。
二项式展开，我们在初中就开始学了，对下面的公式大家都很熟悉：
只要愿意，可以得出任意次方二项式
图1 杨辉三角，第n行的数字就是对应的
二项式展开这样的知识，对我们一般人来说就是僵硬的教条。可是，在牛顿眼里，知识是可以拓展、发展的，是用来超越的。伟大的牛顿就把上面的二项式展开公式拓展到指数是分数、甚至是负的情形， 即他不仅会展开
这里的A, B, C, D…代表在该字母出现前的那一项表示。当然这样的展开包括无穷多项。牛顿用对
这样看来，
有了这样的二项式展开，牛顿要证明曲线
在牛顿那里，微分被称为流数术(fluxion)，积分被称为逆流数术 (the inverse method of fluxion)。 Fluxion，和其它表示流动的英语词如flow (流动)，fluctuate（涨落），flux (流量)等是同源词，都和流动或者速度有关。把位置随时间的变化当作时间的函数，这个函数的流数，或者微分，就是速度。万物皆流，物理学的方程，本质上就是流的方程。
关于牛顿，有个神奇的传说，说牛顿某日坐在苹果树下，一颗苹果[1]碰巧掉到了他的头上，这让他顿悟了万有引力的奥秘。这个传说有人说是虚构的，但也见于他的熟人后来的文字中。但是，因为牛顿的巨大影响力，人们倒是宁愿相信这个传说是真的。牛顿的母校剑桥大学的三一学院就种了这么颗牛顿的苹果树 （图2），说是曾经给牛顿带来灵感的那棵苹果树的后代。这是一个关于伟大发现时刻抑或是带来伟大发现之灵感的记忆符号。人们很容易就引种了牛顿的苹果树的后代，但能砸出灵感的苹果一直没能等到牛顿那样的能砸出灵感的脑袋。
且不说是否有这样一棵苹果树，那树上的某个苹果掉到了牛顿头上激发了牛顿的灵感，从而使他参透了万有引力的奥秘。可以肯定的是，牛顿在研究行星运动的规律时，是注意到了地球上的落体运动的，而成熟果子的掉落是再自然不过的自由落体运动。实际上，早在牛顿出生之前，落体定律已经由伽利略得出，而行星运动三定律也已经由开普勒悟出。
很久以前，人们认为是力造成了运动。人类认识史上的一个伟大进步是关于惯性定律的认识。物体都有惯性，不受外力的物体保持静止或者匀速运动（这一点后来被表述为牛顿第一定律，但其实早在牛顿之前已被人们所认识）——力是运动改变的原因。那时候，人们谈论的力是压力、摩擦力、推力这类通过接触才有的力（contiguous force）。
天上行星的运动让无数人好奇，历史上许多古老的文明都有关于行星运动的观测记录。开普勒于1609-1619年间基于第谷的观测数据，把太阳当成是行星运动的参照点[2]，从而总结出了著名的行星运动三定律。其第一定律说行星在以太阳为焦点之一的椭圆轨道上运动，第二定律说行星在单位时间内相对太阳扫过相同的面积。为什么是这样？或者说是什么形式的力让行星采取这样的运动形式？人们想回答这样挑战性的问题。
行星向前飞行，还不断地改变其运动的方向和快慢。一个直觉的想法是，有一股指向前方的拉力牵着行星往前运动。可这个力从哪里来？如果有，那么这个力的来源一定不是接触力，而应该是一种远距作用或者超距作用（action-at-a-distance）。认识到存在超距作用是人类认识史上的一大进步。那么这种超距作用力又该是什么样的？
也许真的是落下的苹果给了牛顿以灵感。 苹果一旦脱离了和树的连接，就立即直往下朝地面落，说明地球对它的超距作用一直都在。也许地球对天上的月亮、太阳以及那些星星都存在这样的超距作用，当然太阳也应该以这样的超距作用影响着行星的运动。另一方面，苹果掉到脑袋上砸得脑袋疼，那是因为脑袋挡在了它的去路上。如果没遇到人的脑袋，它会一直落到地面上。如果没有地面或者在地面上掘口井，苹果则会一直朝下落去。老天，那苹果会一直落到地球中心去。 那个超距作用力，具体地说地球对苹果的吸引力，是一直指向地球中心的！此时，牛顿该是悟到了引力或者重力的真谛：引力存在于所有物体之间，是超距作用，是有心力(central force)。
那么，假设太阳和行星之间存在的引力是有心力，这能解释观测到的行星轨道的性质即开普勒三定律吗？牛顿假设物体间的引力是沿两者连线的有心力，且大小与距离平方成反比，他用平面几何证明了这样的行星轨道确实是以太阳为一个焦点的椭圆。有了这个结论，开普勒第二、第三定律的证明就好办了。牛顿关于开普勒第一定律的证明被收录在他的《自然哲学之数学原理》一书中。图3所示一英镑的纸币上是简化了的牛顿证明所用的图解。笔者观此图及证明时，如赤贫之人面对二斤重的钻石，被惊讶得手足无措。有人若觉得自己平面几何学得好，不妨试试看能否看得懂牛顿的证明过程。后来，钱德拉塞卡重写了这个证明，当然啦，那证明就长了很多，而且也未必更容易懂。
图3 一英镑纸币背面的牛顿和他的典型事迹。左上部分的图案和图中牛顿所持书中图案一致， 是《自然哲学之数学原理》中关于有心力下行星轨道为椭圆的几何证明。
有了微积分，有了万有引力，经典力学这门科学终于建立起来了。重要的是，牛顿的工作是理性思维的典范。牛顿出生时，科学在西方世界还没能取得对中世纪愚昧的优势地位，到他去世时，西方已经步入理性时代，牛顿于此厥功甚伟。
牛顿给笔者最深刻的启示是，一个伟大的科学家不仅要有深刻、大胆的思想，还要有证明自己思想正确的能力。将不断涌现的思想和证明（或者演示）编织在一起，那就是知识的体系。
后记有趣的是，古文里有“牛顿”的说法。曹操《秋胡行》有句云：“牛顿不起，车坠谷间。”
本文原为曹则贤著《一念非凡——科学巨擘是怎样炼成的》（外语教学与研究出版社，2016.5）的第六篇，此次发表时略有增添。
注释
1.这是人类文明史上第二个著名的苹果。第一个是蛇引诱夏娃的那只苹果；第三个是一只沾上氰化钾的苹果，天才阿兰·图灵咬去一口结束了他富有创造力的生命。
2.这是人类文明史上的又一个伟大事件，人类把看待天体运动的参考点从自己的脚下挪到了别的地方。
参考文献
1.Gottfried Wilhelm Leibniz, Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, & singulare pro illi calculi genus, Acta eruditorium, 467–473,1684. 一种同样适用于分数或无理数情形的求最大、最小和切线的新方法以及对一类特例的计算（拉丁文）。
2. G. F. A. de L’Hospital, Analyse des infiniment petits, pour l’intelligence des lignes courbes, Paris, 1696. 用于理解曲线的无穷小分析（法文）。
3. William Dunham, The calculus gallery: masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton university press (2005). 中译本为《微积分的历程—从牛顿到勒贝格》。
4. Richard S. Westfall, Never at rest: a biography of Isaac Newton,Cambridge university press (1983).
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《一念非凡》作者序
人类历史是由少数英雄人物创造的观点，曾遭遇过激烈的批评。但是，如果说“科学的历史是由少数英雄人物创造的”，估计反对的人不会太多。因为，论及一些伟大的科学成就，别说敢腆着脸硬去争功，一般人如笔者这样资质的仅只是能弄懂只鳞片爪就足以为自己感到自豪了。当然，我这里说的科学指的是数学、物理这样的已经形成足够严谨、厚重体系的学科。
一部科学史，就是不多的几位巨擘挥洒天才的历史。有些人，象伽利略、哈密顿、欧拉、开尔文爵士这样的，他们的思想能穿透存在之未知的迷雾，为人类带来智识的启迪。有些人，比如庞加莱，又比如伽莫夫, 他们来到世上就是为了向世人展示这个世界是有天才存在的。每每读到这些大师们的思想，领略了点滴他们天才的成就，总让人有莫名的兴奋和感叹——为什么在这块最古老的、养育了人类之最大部分的土地上，不曾出现过这样的科学巨擘呢？
也许并非我们生而平庸，而是在我们嗷嗷待哺的时候没有见识过榜样的力量，没有高屋建瓴的智者予我们以醍醐灌顶式的洗礼？！那些科学巨擘们，都是在少年时期就得到了充分的、高品质的教育和启迪的。少年心中不知什么才是真正伟大的思想成就，什么样的人才是真正的科学大师，自然也没有成为大师的渴望与野心。那么，从他们中间产生科学巨擘的可能又在哪里？
不知从何时起，笔者一直有一个愿望，希望能把自己理解的那些科学巨擘们的思想与成就之点滴与朋友们——尤其是那些朝气蓬勃的少年朋友们——分享。但是，正确理解和准确传达这些科学大师们的思想与创造性成果远超笔者能力之外。抱着退而求其次的想法，笔者撰写了这本小书，向读者介绍那些科学巨擘们成就其科学地位的非凡一念——也许只是一个偶然的念头，但是后来成了科学史上的标志性事件，给科学，进一步地给人类文明，带来了意想不到的推动。衷心希望这本小书能够对年轻的朋友们，从中学生到刚踏入研究生涯的青年学者，有些许的帮助。
本书着眼的人与事，仅限于哲学、数学和物理三个领域。没有别的原因，只是因为一些哲学、数学、物理领域里的大师具有别样的魅力，他们的成就在我的心中引起了特别的崇敬，按照康德的说法，就是“我对它们的思考越是经常和持久，它们就越是以崭新的、不断增长的惊奇和敬畏充满我的心灵。” 读者将会注意到，本书提及的一些人可是哲学家-数学家-物理学家三位一体的，有人甚至还同时是语言学家或别的什么学家。尽管可能不正确，我还是以为物理学，就心智努力的成分而言，多少逊于哲学和数学对智力以及品格的要求。不是数学家的物理学家，总是和物理学有那么一层隔阂。一个不争的事实是，哲学家和数学家里几乎没有名不副实的人，遑论欺世盗名之徒。
本书包含30篇短文，其中前25篇大体上每篇介绍一位科学巨擘取得伟大成就时的某个非凡一念；第26篇谈论作为学者品格的高傲的孤独——寂寞中沉思的人才能瞥到黑暗中最微弱的亮光；接下来的3篇分别讲述一位中学老师、一位工厂学徒和一位农民是如何凭一个非凡念头影响了科学的；最后一篇特别谈谈平凡人如何也能享受学习和参与科学创造的乐趣。内容上我在保持通俗易懂的同时，仍然坚持加入一些深刻的东西，包括数学公式。有一种说法，每多一个公式，书的读者就减少一半。按照这个说法，本书的读者数将少于1。不过我不太相信这个说法。每一个健康的头脑，都是喜欢挑战的。数学公式之所以能吓走读者，可能是因为公式是以一种生硬的、唬人的方式出现的，如同有人把家常话般的德国哲学翻译成晦涩难懂的文本一样，问题出在作者或者译者的不道德而不是因为数学或者哲学的不随和。本书中的数学公式，如果读者不感兴趣，不妨直接跳过去，丝毫不影响感受那些科学巨擘灵光一现时的奇思妙想。但是，我希望读者能努力理解这些看似艰深的东西，不要有身入宝山空手回的遗憾。在一些篇章后面我会列出一些非常专业的参考文献，我不认为在这样的书中列出这些专业的内容是多余的。虽然这些文献可能是以一种你还不会的语言写成的，或者它的内容也不易理解，但是，设若这些内容在你的内心深处激起了成为科学大师的激情，那么这些文献可能就会成为你的垫脚石。会有那么一天，你能读懂它的——说不定那时你还嫌它浅显呢。
这本小书是笔者的学习笔记、心得体会，也是笔者内心深处的一声叹息。因为作者功力鄙薄的原因，它虽然能为朋友们展示一些伟大学术创造过程中的脚手架的遗迹，却不足以让人们一窥科学创造的门径。有志于科学事业的朋友，请早点尝试阅读科学巨擘们本人的著作，早日达成对大师之伟大成就的独特视角下的理解。
理解了科学大师之人与成就的一个附带好处是，它会让你谦虚——发自内心地，由衷地。
本书的阅读对象是任何一个对本书感兴趣的人。笔者无意也无法把难度控制在某个层次上；实际上，笔者根本就不接受把知识划分为中学生、大学生、研究生和教授能理解的不同层次的说法。倘若一本书能让不同的读者群都多多少少能有一些收获，哪怕仅仅是阅读时的会心一笑，那就是成功。再者说了，如果所读之书没有一点难度，那我们的进步从而何来？
你一定注意到了，有很多来自伟大头脑的灵光一现这里没有提及。没有关系。这是一个开放的系列，稍待时日会有更多的内容在未来会被添加进来。
这个民族，这个我所属的多灾多难但一直生生不息的民族，无论如何要对科学做出一点实质性的贡献。 而为此，我们要学会如何学习、如何创造。马上发起冲击，angreifen,sofort!
曹则贤
2013年春动笔
2015年秋定稿 于北京
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