问世间结为何物：近代数学和拓扑物态中的纽结论丨众妙之门
编者按
如果我们有两团自相缠绕的绳圈（数学上也叫纽结），它们能不能通过连续变形变到另外一个？注意这里可不能像亚历山大大帝那样用剑把绳子砍断[1]，然后再把它们接起来。这是一个非常有趣的数学问题，而且是一个数学难题。对这个问题的深刻理解曾获得数学上的最高奖——菲尔兹奖。
解决这道题的一个思路，就是找一个算法，使得每一个扭结都能算出一个数。这个算法必须非常巧妙：当纽结连续变形时这个数必须保持不变。这样的数就被叫做纽结的拓扑不变量。当然这样的算法不是唯一的。扭结可以有各种不同种类的拓扑不变量。如果我们知道扭结所有可能的拓扑不变量，就可以对纽结所有可能的种类做一个完全分类，这样我们对纽结就有了一个全面的了解。王正汉这篇文章就是想把你带入扭结和它们的拓扑不变量这样一个奇妙的数学世界。作者还意在引导对数学感兴趣的读者：如何成为一个数学家，如何拥有数学家的思考方式。
令人意想不到的是，这也是一个奇妙的物理世界。由分数量子霍尔效应和量子自旋液体为代表的拓扑物态，就和数学中的扭结理论密切相关。拓扑物态比大家熟知的气态液态固态要神奇丰富得多。那如何来理解拓扑物态中的奥妙之处呢？拓扑物态会有各种各样的拓扑缺陷。当我们把这些点状的拓扑缺陷移来移去相互缠绕时，它们在时空上的轨迹就是一个扭结。而这些物理操作所导致的可以测量到的量，正好是时空上纽结的拓扑不变量。实际上，不同种类的粒子正是由它们时空纽结的拓扑不变量来刻画的。玻色子、费米子、分数统计、非阿贝尔统计等等，都对应于纽结不同的拓扑不变量。
就这样，纽结漂亮的数学理论就变成了拓扑物态和拓扑序的数学基础。这是近代数学和近代物理的一次完美结合。数学中的纽结理论及它的推广——张量范畴学——和凝聚态物理中的拓扑物态拓扑序都是近年来非常活跃的领域。希望读者通过这篇文章，一窥近代数学近代物理中的神奇。
——文小刚
图中圆圈代表拓扑物态中的拓扑激发。它们之间的缠绕移动是由扭结来描写的。这些纽结可以描写粒子的玻色、费米、或非阿贝尔统计性质，也可以用来做拓扑量子计算。
古人结绳记事。延续祖先的思维，我们用绳圈来描述粒子的轨迹，记录它们的运动，进而探讨绳圈数学的应用拓扑量子计算。
绳圈的数学叫纽结论，是一门趣味盎然的学科。在此我们仅介绍新的纽结不变量琼斯多项式（Jones polynomial）及其在量子计算中的应用。如果读者有兴趣，我们推荐姜伯驹教授所著的《绳圈的数学》。纽结论不仅是一门高深的数学理论，在物理、生物和量子计算机学科中也有许多应用。从上世纪八十年代开始，量子力学的思想深刻地影响着拓扑学的发展，形成了量子拓扑学。
留美数学家林晓松教授（1957~2007）对量子纽结论的发展作出了很多开创性的贡献。谨以此文纪念这位重要的拓扑学家。他所钟爱的量子纽结论正走出数学，成为现代科技的一个有机部分。
图中第一个纽结和最后一个纽结（平凡纽结）同属一类 。其实图中所有的纽结都是等价的，属于同一个等价类。
无论是系领带，还是系鞋带，我们都是在用绳子打结。但日常生活中的结和数学家们研究的结有所不同。首先数学家用来打结的不是绳子，而是理想化的绳子——曲线；其次数学家的结是一个绳圈的模型——闭路线圈，也就是说绳子要首尾相连。如果不是首尾相连，那么不管多么复杂的结都能解开，也就是说变成直线段。
纽结论是研究理想化的结的一门数学学科，它是拓扑学的一个重要分支。平面上的圆代表数学家最简单的纽结，叫做平凡结。一个不能变成圆的纽结叫做非平凡结。是否存在非平凡结呢？只要我们用绳子做一些实验，就不难相信存在非平凡结，也就是死结。下面的结是最简单的非平凡结（左图），叫三叶结。许多水手爱打这个结（右图）：
三叶结
如果把右边的结头尾连在一起，但不可以从任何地方剪断绳子，不管我们怎样做，我们都不能把它变成平面上的圆。尽管很直观，但要证明存在非平凡结却非易事，因为我们需要排除任何可能的解法，但可能的解法多得无法想像。我们怎样才能肯定所有的解法都试过了呢？下面我们看看拓扑学家是怎样解决这个问题的。
1.1 纽结
拓扑学家用曲线打结。曲线的严格数学理论要用到微积分。为了简便，我们将用直线段打结。因为光滑曲线可以看成是由很短的直线段构成的，所以这样得到的理论跟用曲线得到的理论是等价的。但这个理论只用到非常初等的知识。
现在严格定义我们的研究对象。如果有一些直线段，它们可以长短不一，然后一段接一段地把它们在空间里连在一起，形成一个闭线圈。如果构成闭线圈的任何两条直线段或者不相交或者只交于一个端点，我们就把这个闭线圈叫做一个几何纽结。比如下面的几何纽结分别代表平凡结和三叶结。平面上的任何一个多边形都是一个几何纽结。显然存在无数多的几何纽结。
平凡结（左）和三叶结（右）
拓扑学的一个基本特征是不关心物体的长短、厚薄、粗细。对拓扑学家来说，所有大大小小不同形状的三角形都代表同一个纽结——平凡结。不仅如此，所有平面上的多边形都代表同一个纽结。如果我们是用绳子打结，这很容易理解。由绳子做成的三角形是很容易变成四边形，五边形。反过来也一样，四边形和五边形也可以变成三角形。尽管我们的理论将会是基于由直线段打成的结，但我们可以用绳子打成的结来思考。
为了交流方便，我们引进一些名词。一个几何纽结上的任何一条直线段，我们都叫它是这个几何纽结的一条边。拓扑学家只关心纽结的所谓拓扑性质。像一条边有多长是不重要的。为了研究几何纽结的拓扑性质，我们会引进一个拓扑等价关系。两个拓扑等价的几何纽结将会被看成是同一个拓扑纽结，简称纽结。从概念上来讲，纽结和几何纽结是完全不同的。几何纽结是具体的，纽结是抽象的。严格地讲，一个纽结是由所有拓扑等价的几何纽结所形成的等价类。
给定一个几何纽结 K 和它的两条相连的边 A 和 B。假设 A 的末端连在 B 的首端，用一条新线段 C 连接 A 的首端和 B 的末端（见下图）。如果 C 和 K 别的边都不相交（但可以和 A、B 重和），我们可以从 K 的边中拿掉边 A 和边 B，然后加入C 得到一个新的几何纽结，叫它 K'。我们把从边 A、B 到边 C 或者反过来从边 C 到边 A、B 的变换叫做一个三角形变换。注意三角形变换有一种特殊情况，在一条边的内部加一个点变成两条边，或者反过来。如果由 A、B、C 所形成的三角形的内部与 K 的除 A、B 以外的任何边都不相交，我们称这样的三角形变换为△- 变换。如果 K 能通过有限次的△- 变换变成 K'，那么两个几何纽结 K 和 K' 就是拓扑等价的。我们以下将拓扑等价简称为等价。
△-变换
如果 K 是由 K' 通过一个三角形变换得到的，那么 K 和 K' 有时是等价的，有时是不等价。本节开始的平凡结可以从它右边的三叶结通过一个三角形变换得到，但它们是不等价的。
最简单的纽结是平凡结，它是包括所有三角形在内的几何纽结的等价类。实际上，平面上所有多边形都代表平凡结。给一个纽结，我们叫它的任何一个几何纽结为它的一个代表。
1. 证明平面上所有多边形都可以通过有限次△- 变换变成一个三角形。
2. 证明所有四边形，不限于平面上，都等价于三角形。
1.2 纽结不变量
我们都相信存在非平凡结，但怎样证明呢？也就是说，存在一个几何纽结，无论一个人多么聪明，花多长时间，做多少△- 变换，都不可能把这个几何纽结变成一个三角形。拓扑学家的想法很简单，引进所谓的不变量。我们给每一个几何纽结一个我们熟悉的量，比如一个数，或者一个多项式，我们把这个量叫做不变量。如果这个量在任何△- 变换下不变，即两个等价的几何纽结所得到的量是一样的。但不等价的纽结也有可能得到同样的量。
定义不变量是一件很容易的事。譬如，我们可以给所有平凡几何结 1，给所有别的几何纽结 0。但这个不变量对于研究纽结来说，毫无用处。考虑所有纽结形成的集合，从这个集合到实数的任何一个映射都是一个纽结不变量。用这个想法，我们可以定义一个有用，但很难计算的纽结不变量：离散长度。给定一个纽结，把这个集合里的所有几何纽结的边数的最小值取出来，这是一个正整数。我们把这个正整数叫做这个纽结的离散长度。它反映出如果真的用绳子打这个结，我们至少需要一定长度的绳子。不难证明，平凡结的离散长度是3，而三叶结的离散长度是6。本节开始的五边三叶结实际上需要六条边。
纽结论的重要问题是如何分类纽结。即，给出一个几何纽结的集合，使得在这个集合里每一个纽结都有且只有一个几何纽结代表。拓扑学家希望能找到一个完备的纽结不变量，即一个不变量使得不同的纽结会有不同的不变量。如果我们有这样一个不变量，纽结的分类就简化成这个不变量的计算。存在不少的完备纽结不变量，但我们还没有发现完备而容易计算的不变量，或许这样的不变量是不存在的。
1. 当离散长度足够大时，我们可以得到不同的纽结。最小的离散长度使我们可以得到不同的纽结是多少？我不知道答案。
2. 在纽结上取个方向，我们就可以定义两条相邻边的角度。用这些角度定义一个纽结不变量。
1.3 纽结投影
想研究纽结，我们就要有办法把所有纽结都画出来。拓扑学家的办法是利用纽结在平面上的投影。前面我们已经看到，在平面上是画不出非平凡结的。纽结是我们所生存的空间的一个现象。如果你听说过四维或更高维空间，在那里面同样画不出非平凡结。为了能在平面上表示出非平凡结，我们就必须记住纽结的一些空间性质。
给一个几何纽结，想像在它的后面远处有一个屏幕。如果我们把这个几何纽结投影到这个屏幕上会是什么样子？一条线段的投影是一条线段或是一个点，所以纽结的投影是一个由线段组成的闭路，但可能有很多交点：双重点，三重点等等。如果我们稍微移动一下后面的屏幕，我们可以做到这样：没有任何一条直线段被投影成一个点，而且只有直交的双重交点；任何其它类型的交点都叫奇点。没有奇点的纽结投影叫正则投影。虽然我们不难相信存在正则投影，但严格证明并不显然。有兴趣的同学可以自己试试。
奇点
一个正则投影的每一个双重点都是两条边投影的交点。这两条边一上一下（每一个双重点都是两个点的投影，我们把离屏幕近的那一点所在的那条边叫下。）如果我们在一个几何纽结的一个正则投影的每一个双重点处都记下那两条边的上下关系，我们就得到了一个纽结图。我们把带有上下信息的双重点称做交叉点。交叉点分为上交叉点和下交叉点：
交叉点
如果可以用曲线，通常我们会把下面那条边画在平面上，而上面的那条边在双重点附近画在平面上面。但如果只能用直线段，我们可以把上面那条直线段变成两条线段稍微高于平面，使得原来的端点的投影都在平面上。我们把这样由正则投影图得到的图叫纽结图。一个几何纽结和它的任何一个纽结图是拓扑等价的。所以在很多情况下，我们只需要考虑纽结图。
正则投影
一个纽结会有很多纽结图，但它们全都等价。给定两个纽结图，怎样决定它们是否代表同一个纽结呢？原则上我们已经知道答案：只要考虑所有△- 变换的正则投影。实际上这个办法却很难应用，因为△- 变换中的三角形可以很大。纽结论里的一个著名定理把△- 变换简化到下面三组变换，叫瑞德迈斯特（Reidemeister）移动 RⅠ，RⅡ，RⅢ，反之亦然。
瑞德迈斯特移动
我们可以证明：
瑞德迈斯特定理：两个纽结图 D 和 D' 所代表的纽结是等价的，当且仅当 D 能通过有限次的瑞德迈斯特移动变成 D'。
由于这个定理，纽结论也可以只研究纽结图和它们在瑞德迈斯特移动下的等价类。以下一组图证明 RⅢ 移动可以用△- 变换实现。
RⅢ与△-变换
1. 证明只有一个或两个交叉点的纽结图总表示平凡结。
2. 证明所有纽结的集合是可数的，即我们可以把它们和正整数一一对应。
1984年，新西兰数学家琼斯（V. Jones）发现了一个全新的纽结不变量，叫做琼斯多项式。琼斯多项式的发现引起了纽结论里的一场革命，进而推动了一个新的拓扑方向——量子拓扑的产生。琼斯多项式其实不是严格意义下的多项式，因为它的变量的次方可以是负整数和分数。
我们首先引进一些定义和记号。假设 D 是一个有 n 个交叉点的纽结图。如果给每个交叉点一个标号 A 或 B，我们就叫 D 的一个态，记作 s。给定 D 上一个交叉点和一个标号 A 或 B，我们可以在这个交叉点的附近做一个手术（surgery）：
手术
上图里的手术的规则是这样的：在交叉点的附近，从上面的边逆时针旋转到下面的边，上面的边会扫过两个区域（一个交叉点把平面分成四个区域），称为 A 区，另外两个称为 B 区。A 手术就是打通 A 区，而 B 手术就是打通 B 区。
假设 t 是一个参数变量。给定 D 的一个态 s，那么每一个交叉点都有一个 A 或 B。如果是 A，我们就做 A 手术，如果是 B，我们就做 B 手术。每一个手术都从纽结图中去掉一个交叉点，当所有手术完后，我们得到平面上的一些闭线路，这些闭线路的个数记作 d(s)。我们用 s(A) 表示态 s 上 A 型交叉点的个数，同样用 s(B) 表示态 s 上 B 型交叉点的个数。
让
定义
每个纽结图有两个方向：从图上的某点出发，沿纽结图朝前或后走一圈。取定纽结图 D 的一个定向，每条边都有一个方向。我们给每个交叉点一个符号：正负1。如下：
符号
改任何一个箭头，符号正负1互换。注意，当我们取的是另一个方向时，符号不变。因为每个交叉点的两条边方向同时改变，所以这个符号是不依赖于纽结的方向的。
把D的所有交叉点的符号的和记作 w(D)。
最后定义纽结图 D 的琼斯多项式
可以证明 J(D; t) 在瑞德迈斯特移动下不变，所以确实是一个纽结不变量。这就是著名的琼斯多项式。给一个纽结 K，它的琼斯多项式 J(K; t) 定义为 K的任何纽结图的琼斯多项式。
平凡结的琼斯不变量是
由多个不相交的纽结组成的多条曲线叫链环。拓扑学家除研究纽结外，也对链环感兴趣。琼斯多项式可以定义在链环上，但链环必须有定向。如果处理好定向，我们前面的所有讨论都对链环适用。我们把细节留给读者，给一个定向链环 L，它的琼斯多项式也记作 J(L; t)。
有了链环的琼斯多项式，我们可以有一个计算琼斯多项式的线团（skein）关系式。假设 L+ 是一个链环图（带定向），而 p 是 L+ 上的一个交叉点。如果我们把交叉点 p 的两条边上下换了，我们就有一个新的链环图，记作 L_；我们也可以顺方向光滑 L+，得到另一个链环图 L0 （见下图）。我们可以证明，这三个链环的琼斯多项式满足以下恒等式：
线团关系式
用线团关系式，我们可以递推得计算琼斯多项式。因为每一个定向链环的琼斯多项式 J(L; t) 除以
琼斯多项式是一个非常重要的链环不变量。然而从定义或线团关系式进行计算，非常复杂。如果一个链环有 n 个交叉点, 那么计算它的琼斯多项式就需要做 2n 个和。学过幂指数的都知道指数增长的速度：据估计整个可见宇宙里的基本粒子数不会超过 2200 。所以计算 200 个交叉点的链环的琼斯多项式，要加的和数已经不可思议。但有没有别的聪明办法高效地计算链环的琼斯多项式呢？数学家们相信高效的算法是不存在的。但是如果我们有量子计算机，我们就可以高效地逼近琼斯多项式的值。琼斯和威腾都因为他们在纽结上的出色工作获得菲尔兹奖。
纽结分类表
1. 把每一个交叉点的上下互换，琼斯多项式怎样变化？
2. 改变链环的方向，琼斯多项式怎样变化？
3. 是否存在非平凡结而它的琼斯多项式和平凡结是一样的？这个问题极难，我们还不知道答案。
注释
[1] 根椐基维百科："戈耳狄俄斯之结（Gordiusknot, 英文Gordian Knot）是亚历山大大帝在弗里吉亚首都戈尔迪乌姆（英语：gordium）时的一个传说故事。
传说这个绳结的制作者名叫戈耳狄俄斯（Gordius），他是很早以前弗里吉亚（Phrygia）的国王。戈耳狄俄斯原本是农夫出身。一天在他耕地时，一只鹰突然落在牛轭上不肯离开，于是他赶着牛车往城里的神庙中寻求帮助。在城门口碰到一位同乡的女祭司，女祭司愿和他同行。戈耳狄俄斯当时尚未结婚，被女祭司青春美貌所打动，在途中向她求婚，女祭司答应了。
正当此时，弗里吉亚国王去世，他无儿无女，王位出现空缺。国人得到神谕说未来的国王与王后正坐着牛车往这儿赶。国人找到戈耳狄俄斯，要他登上王位。
戈耳狄俄斯忽然间又得江山又得美人，对萨巴兹乌斯（后来希腊人认为是宙斯）感激不尽。为表达谢意，他决定把那辆为他带来好运的牛车献给宙斯。为防止别人把车偷走，他用绳子把车牢牢捆住，并打下了一个难解的结。这便是“戈耳狄俄斯之结”的由来。
根据传说，这个结在绳结外面没有绳头。亚历山大大帝来到弗里吉亚见到这个绳结之后，拿出剑将其劈为两半，解开了这个问题。当夜下起了雷雨，军中预言家亚里斯坦德宣称这是宙斯的喜悦，并将赐予亚历山大许多胜利。后世作家记录了一个神谕：解开戈耳狄俄斯之结之人就可当亚细亚之王（应是指小亚细亚）。这个神谕后来似乎正好应验。"
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