诺奖得主尤金·维格纳：数学在自然科学中不合理的有效性（上）
维格纳
也许这里还有一些尚待发掘的奥秘。——普尔斯（Charles S. Peirce）
有一个故事是关于两位昔日高中同窗聊起彼此的工作。其中一人成了统计学家，正专研人口趋势。他把一篇论文拿给老同学看，这篇论文按惯例从高斯分布开始说起，统计学家向老同学解释用于实际人口数、平均人口数等等的符号意涵。老同学显得有些迟疑，不太确定这位统计学家是否在唬弄他。他问说：「你怎么知道是那样？那这边这个符号是什么？」 。统计学家说：「噢，这是π。」「π是什么？」「圆的周长对直径的比率。」老同学说：「哇，你玩笑开得太过头了，人口怎么会跟圆周长有关系！」
我们很自然的会莞尔于这位老同学思路的单纯。然而我必须承认，当听到这个故事时，我心中油然生起异样之感，因为故事中这位同学的反应，流露的不过是直白的常理。但更让我纳闷的是，后来没过多久有人找我讨论一个疑惑（注：此人是当时就读于普林斯顿的维纳（F. Werner）），亦即当我们测试理论时，只选用了很小范围的数据。他说：「如果我们建构理论时，根据的是现在忽略的现象，并且忽略一些现在关注的现象，我们怎么知道会不会建构出与现在理论大相迳庭、但对现象却有同等解释效力的另一理论？」 的确要承认，我们没有明确的证据判定不会有这样的理论。
以上两个故事呈显了两个重点，亦即这篇论文的主题。首先，数学概念在全然意料外的脉络中出现，而且通常很出乎意料的，能够缜密且精确的描述这方面的现象。其次，正因为这种状况，也因为我们不理解数学如此有用的个中缘由，我们无法知道一个用数学概念表述的理论是否唯一合适的理论。我们的状况就像是手里握着一串钥匙、需要连续打开数道门的人，当他总是试一、两次就找对钥匙，不免开始怀疑钥匙与门锁之间是否有唯一的对应关系。
以下要说的大部分并无新意，大多数科学家可能都曾以某种方式想到过。我的主要目的是从几个面向去阐明。第一，数学在自然科学中巨大的有用性几近神秘，找不出合理解释；第二，正是数学概念如此不可思议的有用性，促使我们注意物理理论唯一性的问题。为了建立第一个论点，亦即数学在物理学中扮演了异常重要的角色，我们有必要先谈谈「什么是数学？」接著再谈谈「什么是物理学？」然后再谈谈数学如何跨入物理理论，最后则是，数学在物理学中角色的成功为何如此令人费解。关于第二点，物理理论的唯一性，在此将不多着墨。要想对这问题给出适切的答案，还需要进行周密的实验性与理论性研究，而这类研究目前还未展开。
曾有人说哲学是为了要滥用而发明的术语（注：引自杜比斯列夫（W. Dubislav）之《当代数学哲学》（Die Philosophie der Mathematik in der Gegenwart）（1932））。沿此脉络，我会说数学是为了有技巧的运用概念与规则而发明的科学；主要强调的是概念的发明。如果数学定理都必须出自公理中已出现的概念，那么有趣的数学定理很快就会告罄。再者，虽说初等数学，尤其是初等几何的建构，无疑是为了要描述真实世界的对象，但是更高等的数学概念则未必如此，尤其是那些在物理学中扮演重要角色的数学概念。准此，整数对的运算规则，显然是被设计成与分数运算的结果相同，即使我们初学分数时并未提到「数对」 。用于数列的运算规则则对应到无理数，这个运算仍然隶属于重现已知的数量运算规则的范畴。然而大部分更高深的数学概念，诸如复数、代数、线性算子、伯瑞尔集合（Borel sets）——类似例子是无穷无尽的——则是数学家设想出来，以做为展现其巧思与形式美感的主题。事实上，数学家定义这些概念时，即已知道可对其运用有趣且精妙的构思，这正是数学家深具巧思的首要明证。创造数学概念所需的思考深度，则可展现在日后运用这些概念之技巧需求。伟大的数学家堪堪走在容许的界限上，在可行的范围内充分且近乎果决的尽情驰骋。然而这样奔放的思路并未让他们陷入矛盾的困境，光这件事本身就是奇迹。我们很难相信单凭达尔文的天择过程，人类的推理能力即可演化到如此完美的程度。然而，这并不是我们目前要谈的主题。在此强调，而且后面还要重温的重点是，数学家若未定义公理之外的概念，则他仅能建立起寥寥可数的有趣定理；而数学家之所以定义这些公理之外的概念，则是着眼于能对它们运用巧妙的逻辑运算，使得运算本身以及由此可得的普遍性与简洁性，都可满足我们的美感（注：博兰尼在其《 个人知识》（ Personal Knowledge）（1958）中曾说：「所有的这些困难不过是由于我们拒绝去明白，若不承认数学最明显的特徵即它很有趣，则数学便无法定义。」（ 188页））。
复数便是一个显例。当然，我们的经验不需要导入这些数学量。事实上，若要数学家提出研究复数的正当理由，他必会义正词严地指出在方程式论、级数论、乃至一般解析函数论中的许多优美定理，这些都根源于复数的引入。数学家绝不愿放弃研究这些由他们巧思所创造出的优美成就（注：在此脉络下，读者也许会想知道希尔伯特对直觉主义相当不耐的评语，他说直觉主义「旨在破坏与丑化数学。」 参见〈数学的新基础 〉（Neubegründung der Mathematik，Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg I (1922) ，157页）；或 其《个人全集 》（Gesammelte Werke (1932)，Springer，188页））。
物理学家志在发现物理世界的定律。为了理解这一陈述，有必要先分析「自然律」的概念。
围绕着我们的世界复杂难解，最明显的例证便是我们无法预测未来。虽然世人总笑说只有乐观主义者才会认为未来不可确定，但乐观主义者在此是对的：未来的确不可预料。正如薛定谔（Erwin Schrödinger）曾评论的，在如此复杂难解之世界中的一项奇迹是，我们居然能从事件中找出某些规律。伽利略所发现的一项规律是，如果两个石头同时自等高处落下，将会同时着地。自然律即是关于这些规律性。伽利略发现的规律是一大类规律的原型。这样的规律因为下列三个理由而令人惊讶。
第一个理由是，它不仅在伽利略的时代、在比萨成立，而且在地球上的任一处都成立，不仅过去成立、现在成立，而且未来也将永远成立。规律的这项特质被称为不变性，正如我先前曾指出的，若没有类似于从上述伽利略的观察所推广出的不变性原理，物理学将无法存在。第二个惊人的特质是，我们所讨论的规律性不受许多情境因素影响，不管是否下雨、无论实验地点是室内或是比萨斜塔、无论放开石头的人是男是女，这项规律都成立。甚至是不同的两个人从相同高度同时各放开一颗石头，这项规律也仍旧成立。很明显，无数的其他条件都不会影响伽利略规律的有效性。有如此多可能影响观测现象的情境，结果却无关紧要，这也是一种不变性。 然而这种不变性的性质迥异于前一种，因为它无法被表达成一条通则。探讨能影响或不能影响现象的各项条件，是每个领域早期实验探索的一部分，这需要实验者的技巧与创见，让他得以证明现象只被相对少数的一些相对容易实施与复制的条件所决定（注：关于这一点，可参考多伊区（M. Deutsch） 生动的文章，见 Daedalus 87（1958），86页。 承西蒙尼（A. Shimony）告知普尔斯有一段相似的话，参见〈科学哲学文集〉（Essays in the Philosophy of Science (1957)，The Liberal Arts Press，237页））。 在本例中，伽利略将他的观察限制在相对较重的物体，便是在这方面最重要的一步。再强调一次，若不是有些现象只会被我们可应付的少数条件所影响，物理学将不可能存在。
薛定谔
上述两点，虽然从哲学家观点来看意义深远，却并非最让伽利略吃惊之处，而且这两者也未包含特定的自然律。自然律存在于这样的陈述：一个重物从给定的高度落下所需的时间，与该落体之大小、材质及形状无关。在牛顿第二运动「定律」的框架下，此陈述等于是说，作用于自由落体上的地心引力与该落体之质量成正比，而与该落体之大小、材质及形状无关。
以上的讨论旨在提醒诸位，首先，「自然律」的存在一点也不自然，更别提能够被人类发现（注：薛定谔在其《 什么是生命》（What is Life）提及这第二个奇迹可能超出人类的理解）。 笔者便曾呼吁要重视「自然律」相继的各个层次，每一层都包含比上一层更普遍、包罗更广的规律，发现下一层会使我们较诸先前更能深刻地洞察宇宙的结构。然而，目前脉络下最重要的一点是，所有这些自然律，即使虑及它们最广泛的成果，也只构成我们对于物理世界知识的一小部分。所有的自然律皆是条件式述句，容许我们根据现在的知识，预测某些未来的事件。而且从预测的观点而言，现在状态的某些面向（其实是决定世界现状的绝大多数因素）都是不相关的。这里所说的无关性，指的是前面讨论伽利略定理时的第二点（注：笔者确信无需再指出，文中所提及之伽利略的定理，并未涵盖伽利略对自由落体定律的所有观察）。
关于世界的现状，诸如我们生活所在的与伽利略进行实验的地球、太阳与所有周遭环境的存在，自然律完全不置一词。与此相呼应的是，首先，自然律只在特殊条件下——当世界现状的所有相关决定因素已知时——才能用来预测未来事件。另一与此相呼应的是，物理学家能够建造出可预见其功能的机器，这构成他们最卓越的成就。物理学家在这些机器中，创造出一种所有相关要素均为已知的环境，因此可以预测机器的行为。雷达与核子反应炉即是这类机器的范例。
前述讨论的主要目的在指出，一切自然律皆系条件式述句，且其仅与人类对于世界所知的极小一部分相关。因此，古典力学做为最广为人知的物理理论原型，是在物体的位置等资料已知时，给出物体位置坐标的二阶导数。而对于物体的存在与否、目前所在或其速度等，则毫无着墨。为求精确，我还得提醒各位，约在30年前我们已得知即使是条件式的陈述，也无法完全精确：条件式的陈述其实是机率规则，让我们能根据对现状的所知，智性的猜测物理世界的未来性质。自然律无法让我们建构绝对性的陈述，甚至对世界现状的绝对性条件陈述都做不到。「自然律」的机率本质也可在机器上显现，至少在核反应炉的例子是这样，如果用极低的能量去运转反应炉的话，即可得到验证。然而，基于机率本质对于自然律所额外增加之局限（注：可见如薛定谔，uber Indeterlninismus in der Physik，J. A. Barth，Leipzig，1932。），下文将不再着墨。
在复习过数学与物理的本质之后，我们就能更适切地重新审视数学在物理理论中的角色。
我们在日常的物理学中，会运用数学计算自然律的结果，将条件式陈述应用到最有可能或是我们感兴趣的特定条件上。为了这么做，自然律必须以数学语言表示。然而计算既有理论的结果并非数学在物理学中最重要的角色。数学或说是应用数学，在此功用下并不是此情境的要角，不过是工具罢了。
然而，数学的确也在物理学中扮演了更具主导性的角色。我们在讨论应用数学时曾提到，自然律必须先以数学语言来表述，才能成为应用数学的对象，这句话其实已暗示了数学更重要的地位。自然律是用数学语言写成的说法，早在 300年前即已出现（注：出自伽利略）；这句话在现在比以往更正确。为显示数学概念在建构物理定律时的重要性，试回想量子力学的公理，它是由大数学家冯诺曼（John von Neumann） 明确地建立，或由大物理学家狄拉克（ Paul Dirac） 隐含地提出的。量子力学有两个基本概念：态（states） 与可观测量（observables） 。态是希尔伯特空间（Hilbert space） 的向量，可观测量则是作用于这些向量的自伴算子（self-adjoint operators），而可能的观测值则是这些算子的特征值。但我们最好就此打住，免得变成条列线性算子理论的种种数学概念。
当然，物理学的确只选择某些数学概念来建构自然律，且仅用到其中一小部分。数学概念的选择当然也不是从数学名词表单上随便选的，即使不是大部分，也有许多情形是物理学家独立发展出这些概念，然后才认知到此前数学家就已酝酿出来了。然而并非像常说的那样，以为数学使用最简洁的概念，因此不管使用何种形式系统，都会用到数学概念。我们已经看到，数学概念的选择并非出自简洁性（即使是数对构成的数列也远非最简单的概念），而是因为它们适于进行巧妙的运算，以及独特、卓越的论证。别忘了量子力学的希尔伯特空间是具备厄米特纯量积（Hermitean scalar product）的复希尔伯特空间。对于非专业者，复数既不自然也不简洁，且也无法从物理观察中找到暗示。此外，复数在此的运用并不是应用数学的计算技巧，基本上反而是表述量子力学形式系统的必须要件。最后，从目前的趋势看来，不仅仅是数，而且所谓的解析函数也会在量子论的表述中扮演决定性的角色。在此我指的是快速发展的色散关系理论（theory of dispersion relations）。
我们很难不觉得，我们所面对的是一项奇迹，它的神奇并不亚于人类心灵能将数以千计的论证联缀起来而不自相矛盾。它也可与另两项奇迹相比拟：一个是自然律的存在，另一个是人类心灵居然有能力去发现自然律。就我所知，最能贴切解释数学概念出现在物理学的，是爱因斯坦的说法：唯有优美的理论，才是我们能够欣然接受的物理学理论。需要运用大量智力的数学概念，是否具有美感，这一点还有待讨论。然而，爱因斯坦的观察顶多能解释我们乐于接受那些理论，但未触及理论内在的精确性。因此，我们将转而讨论后面这个问题。
（待续）
作者简介：尤金·维格纳（Eugene P. Wigner）为匈牙利裔物理学家，普林斯顿大学教授，1963年获诺贝尔物理奖。维格纳1925年毕业于柏林科技大学，从伯兰尼（M. Polanyi）学化工，阐明分子之缔合与解离机制。1926年成功应用李群于量子力学，分析多电子原子光谱。1930年代离欧赴美。他在群表示方面有许多杰出工作。
译者简介：岛洋，毕业于台湾大学数学系。
重点摘要： ● 作者检视数学和自然律的特质，并说明自然律的存在、人类心灵可以发现自然律、数学语言适用于自然律都是难以理解的奇迹。
● 作者以行星运动、量子力学为例，说明在物理研究中，数学经常现身于出人意料的脉络，并且以惊人的精确度描述复杂多样的现象，他称之为知识论的经验律。
● 由于数学有效性的不可理解，不同理论之选择与统一都可能潜存冲突。作者以数学为奇妙天赐作结，期待数学在未来自然科学继续扮演重要的角色，虽然或许仍令人困惑。
本文译自威格纳在纽约大学库朗数学科学讲座的讲稿（1959年5月11日，刊登于 Communications on Pure and Applied Mathematics 13 (1960), pp. 1-14），以下中译文繁体版原载于《数理人文》杂志第2期（2014年），简体版刊载于“数理人文”微信订阅号，《赛先生》经授权转载。
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