曹则贤：什么实验观察逼出了量子力学？

编者按 

历史上，物理学有几次重大的革命。这些革命改变了我们的世界观，推进了人类的文明。牛顿的力学，可以说是物理学的第一次革命。接下来是麦克斯韦的电磁学，热力统计物理学(玻尔兹曼、麦克斯韦)，爱因斯坦的相对论。最近的一次是量子革命(普朗克、玻尔、海森堡、薛定谔等等)。

牛顿的力学认为，世界上所有的物质都由粒子组成。而力学则描写了这些粒子的运动性质，从而描写了所有物质的运动性质。麦克斯韦电磁革命最深刻的发现，就是发现了物质存在的新形态——电磁波(光波)(见《纪念光之父——麦克斯韦》)。这种物质的新形态我们可以称之为场形态或者波形态。爱因斯坦的相对论预言了第二种波形态的物质——引力波(见《科学家终于找到了引力波?》)。而量子力学最深刻的进展，就是统一了粒子形态的物质和波形态的物质：我们世界的存在(物质)真是太神奇了，它既是粒子又是波，它既不是粒子也不是波。

这种奇怪的世界观一开始谁都不愿意接受。可以说量子力学是大家最不情愿接受的理论。它是被神奇的令人吃惊的微观实验现象一点一点逼出来的。这篇文章详细地描述了量子力学是被哪些实验现象逼出来的。它介绍了光波的粒子性是怎么被发现的。既然以前认为的波可以有粒子性，这一发现使大家怀疑，也许以前我们认为的粒子同样有波动性。量子力学就这样一步一步地构建起来了。

——文小刚

曹则贤 （中国科学院物理研究所研究员） 

1宇宙如棋局

物理学的任务是认识这个我们存在于其间的宇宙，包括它的物质构成以及其中事物如何存在所应遵循的规律。这是怎样的一项事业呢？著名物理学家费曼 (Richard Feynman)在一期名为《发现的乐趣》访谈中把宇宙比喻成棋局，而物理学家研究宇宙好比是通过对棋盘上发生之现象的观察，逐步辨认出棋子的性质(种类、多少、大小、形状、颜色、味道、质量、电荷、自旋⋯⋯)，并猜出下棋的规则 (图1.1)。这个比喻当然不能完全反映宇宙和关于宇宙之研究的全部事实，但确实是一个非常形象的、深刻的比喻。回忆一下你在很小的时候——也许你还不认识字呢——开始几次看到下棋的情形。你很好奇，你看到有不同颜色、标记、数量的棋子，(忽略下棋人的存在)，你看到棋子忽而走到这里，忽而又走到那里。你觉得很有趣，也感到很困惑：这些棋子叫什么名字？各有几个？它们是如何移动位置的？是按照什么样的策略决定应该这么走而不是那么走呢？如果没人来教你，而且你还保持着足够的好奇心的话，这些问题就会一直困扰着你。等到你看了足够多、思考了足够多以后，你会慢慢明白，这是一个两人的游戏，双方各有一将(帅)、一对士相(象)车马炮和五个小卒，马走日字象飞田，车走直线炮翻山，等等，于是你就猜透了这中国象棋的游戏玩法。人类中的物理学家理解宇宙的努力，大致也是这样的过程。

量子理论诞生于二十世纪初。它的发展过程，像极了费曼描述的通过观察棋盘上的现象从而得出游戏规则的努力。当然，量子物理学家们开始时观察的不是棋盘，而是发光现象。对，就是来自天空的星光还有炉膛里的火光。要探究的规则当然包括发光的规则，但却绝不仅局限于此。量子力学的发展，其所触及的和产出的，都远远超出物理学家们当初的想象。量子力学和相对论并称当代物理学的两大支柱。它们不仅是物理学家们的智力游戏，它们还彻底地改变了人类的生活方式。

此时刻，量子力学对于你不再是一片黑暗。你看那远方，有一丝亮光在向你发出召唤。请跟随本书*，循着这亮光，开始理解量子力学。

图1.1. 宇宙如棋局，物理学家的工作是辨认宇宙这盘棋的物质基础和玩法。

2绚丽的光谱

大约是1665年的某一天，伟大的牛顿 (Isaac Newton)得到了一块棱镜。在一个阳光灿烂的日子，牛顿，置身于剑桥大学一间拉上窗帘的房间里，向着一束自窗帘的破洞射入的阳光举起了他的棱镜。奇迹出现了，白色的阳光经过棱镜后，在对面的墙上映出了绚丽的光带——按着红橙黄绿蓝靛紫的顺序(图1.2)。牛顿在1671年把这个现象命名为光谱 (spectrum，和幻影、幽灵有关)，这可是歌德用来描述幽灵般的影像残留的一个词。想想看吧，本来似乎是白色的阳光，经过透明的棱镜，竟然变出了彩虹色，实在是透着诡异。彩虹，那可是天上的景象。

图1.2. 牛顿把棱镜放到阳光经过的路上，看到了绚丽的光谱。

看到了光谱的牛顿继续展示他的聪明。他让光谱落到一块有缝的木板上，这样就只有一种颜色，比如绿色，的光通过木板。让这绿色的光通过另一个棱镜，绿光仍然是绿光。但如果把所有颜色的光带都通过一个倒过来的、同样的棱镜，这些彩色的光带又聚集到了一起，呈现出原来的白色。这两个实验的结果说明什么？它们说明阳光里混合着不同颜色的光——那些彩色的光就藏在阳光的白色中。

关于阳光的另一个重大秘密，也将很快被揭晓。

1814年，德国，巴伐利亚，一家光学器件公司里，年轻的夫琅和费 (Joseph von Fraunhofer)那时已是磨制玻璃镜片的高手。公司里有的是磨制好的棱镜，估计比牛顿手里的棱镜要大而且有更高的光洁度。阳光经过夫琅和费的棱镜被分解成更宽大、更清晰的光带，从而泄露了一个重要的秘密：光带上看似不规则地布满了或粗或细的暗条纹(图1.3)。也就是说，在太阳光谱的一些特定位置上，阳光是弱的或者是缺失的。怎么回事？夫琅和费弄不明白这些暗线是怎么回事，但他做了一项了不起的工作。他测定了太阳光谱里所有576条暗线的波长，并作了标记。这些暗线条也被命名为夫琅和费线。

图1.3. 太阳光谱照片，明亮的背景上布满密密麻麻的暗线。最底下的一行德文字为“交夫琅和费处理。多谢。1814-1815”。

差不多45年后，德国科学家基尔霍夫 (Gustav Kirchhoff)和本生 (Robert Bunsen)发现一些夫琅和费线同一些元素的发射线(亮线)位置是重合的，从而判定太阳光谱上的暗线是阳光在传播路径上被吸收造成的。也就是说，如果一个元素能发射某些特定波长的光，也就一定会吸收那些特定波长的光。这个事实后来在发展量子力学的过程中起到过重要的作用。这个事实还告诉我们，元素会发射或吸收特定波长的光，则光谱线可以用来作元素分析。今天我们能够知道遥远星体的构成，比如太阳就是仅由氢和氦两种元素构成的，就是凭借光谱分析得到的。

物体在高温时会发光，这一点我们的老祖宗早就注意到了。不同的东西燃烧，可能会表现出不同的颜色，这是由燃烧物质中的元素决定的。比如，用铁丝蘸上盐水在火苗上烧，火焰会发黄。这是因为钠元素会发射出强烈的黄光的原因 (今天我们知道是波长分别为5889.9Å和5895.9 Å的双线)。到了十九世纪，确切地说是在1860年前后，由于玻璃制造技术的进步，人们已经很容易地能用棱镜分辨出挨得很近的谱线。那么，面对如图1.4 那样的光谱， 你觉得它们有什么特征需要好好研究呢?

图1.4. 钠的黄色双线。

(很不)容易想到，以下几个方面的光谱特征是需要研究理解的：1) 谱线的位置，即波长或者频率(它们俩成反比关系)。为什么某个元素只发射一些特定波长的谱线呢？2) 谱线的相对强度； 3) 谱线的宽度。后两点可概括如下：为什么同样条件下一个元素的光谱线有强弱、宽窄的区别？4) 后来我们还会发现，把发射体置于电场或者磁场中，其发射的谱线会发生不同方式的分裂。咦，怎么回事呢?我们会看到，就是为了回答上述问题的努力，主导了量子力学的发展。

发光谱线的位置、强弱、宽窄，以及在电磁场下如何分裂，这四个发光的特征是由什么样的物理决定的呢？带着这个疑问，让我们踏上量子力学的学习之旅。

3黑体辐射—从电灯到量子

人类害怕黑暗。我们的祖先从野火中得到启发，慢慢学会了用火把照明，以后又有了油灯和汽灯。1879年，伟大的发明家爱迪生(Thomas Alva Edison)成功地使用炭丝制作出了长寿命的白炽灯，人类从此进入了电灯照明的时代。

用过白炽灯的人都知道，白炽灯要发光，先要给灯丝加热，大量的能量都以热能的形式浪费了——灯泡一会儿就能变得烫手。那么，怎样让电灯多发光少发热呢？那就要好好研究发光和发热的关系了。人们注意到，温度低的时候越是黑的东西，温度高的时候就越亮。那就研究很黑很黑的东西的发光与发热的关系好了。于是，黑体——把所有照到其上的光都吸收的物体——辐射^[1]就成了科学家们关切的问题了。

实验物理学家测量了黑体在不同温度下处于热平衡时能量密度相对其中光的波长(或者波数)的分布，得到了图1.5中那样的分布图。我们看到，对于每一个温度，曲线都是单峰结构的，从零波长时的强度为零，上升到一个最大值，然后强度又随着波长的增大而减弱，直至为零。如果研究峰值处的波长同温度的关系，会发现峰值对应的波长和温度成反比，这算一个物理定律。如果研究每条曲线下面的面积同温度的关系，会发现面积和温度的四次方成正比，这又算一个物理定律。可这些物理定律算哪门子的物理定律呢，如果能给出这些曲线的函数的话，这两条定律就都包括在里面了。十九世纪最后的几年，许多人尝试着给出这些曲线的函数，但是都没有成功。

图1.5. 不同温度下平衡时黑体中的光强度同波长的关系

1900年，德国柏林。研究热力学的普朗克(Max Planck)教授从熵与内能的关系——一个他虚构的熵与内能的关系——出发，导出了黑腔中能量密度与温度T以及光的频率(用表示，与波长成反比)之间的关系

              (1)，

其中c是光速，k是玻尔兹曼常数，这个表达式恰好就是图1.5中那些曲线的方程，从实验数据容易算出h≈6.63×10^-34焦耳秒 (后来这个常数就被称为普朗克常数。记住，普朗克常数h是量子力学的标志性符号！)。但是，如何自圆其说呢，毕竟作为出发点的熵与内能的关系是虚构的。后来，普朗克发现，如果假设黑腔中频率为的能量不是一个整体，而是分成都是一份一份的，每一份的能量为, 那么平衡态时对应频率 的能量的状态问题，就变成了把p个小球， ，放到N个盒子里共有多少种方式的数学问题，由此也可以推导出公式(1)。 问题是，频率为ν的光的能量，真是分成一份一份的hν的吗？这怎么理解？能量不是一直是个很抽象的、连续的量吗?

普朗克被他自己引入的思想弄懵了!

必须指出，普朗克把能量分成一份一份的，从而把一个体系的热力学平衡态的问题转化成求p个小球放到N个盒子里共有多少种方式的数学问题，这套把戏是玻尔兹曼(Ludwig Boltzmann)在1877年首次引入的把戏。玻尔兹曼通过假设理想气体分子的动能(  )是一份一份的，且平衡态对应状态数最大的状态，得出了给定温度下动能为 的分子数正比于函数 的结论，这就是热力学和统计物理中著名的麦克斯韦—玻尔兹曼分布，其中的常数k，玻尔兹曼常数， 就是这么引入物理学的。但是，玻尔兹曼在得到这个分布函数的后半段推导中，又翻过头来把能量当成连续的物理量加以处理。能量是连续的，在十九～二十世纪之交的那个年代，是物理学家头脑中根深蒂固的观念。

打破这个顽固的观念，还需要更加猛烈的冲击。

4能量量子:光电效应与固体比热

1877年，玻尔兹曼假设气体分子动能是一份一份的从而得到了玻尔兹曼分布；1900年普朗克假设光的能量是一份一份的，且每份能量与光的频率成正比，从而得到了黑体辐射的分布函数。这两项成果在物理学史上都是里程碑式的，但是对于玻尔兹曼和普朗克来说，假设能量是一份一份的只是权宜之计，是数学技巧，不可当真的。普朗克还似乎努力地维护能量连续性的观点，他因此被称为“违背自己意志的革命家”。

但是，更多的现象指向能量是分立的现实。

图1.6 光电效应实验示意图和实验结果

在电灯被发明的日子以后，关于电的研究慢慢指向电子的存在。1887年，赫兹 (Heinrich Hertz)发现如果用紫外光照射金属电极，则在两电极之间产生火花会容易些。1897年，汤姆森 (J. J. Thomson)对阴极射线的研究确立了电子作为带电粒子的存在，这样赫兹观察到的现象可以理解为紫外光自金属中轰击出了电子，而电子在电极之间加速引起火花。如果在被光照射到的电极和对面的电极之间加上一个反向电压，即对面电极处于高电位，则该电压足够大时被轰击出来的电子都不能到达对面的电极，这样在电路中就不能测量到电流了(图1.6)。用这个方法可以确定电子刚刚被光轰击出来时的最大动能。研究发现，对于特定的金属，被轰击出来的电子，称为光电子，其最大动能只和光的频率(或者波长)有关。若光的频率低到一定程度，则不管光有多强^[2] ，都不会有光电子出来——确切说靠增加有限的光强，不会使得光具有轰击出光电子的能力。也就是说，光轰击出光电子的能力，依赖于光的频率而不是光强，这又和那时人们关于光的认识矛盾——难道光不是越强烈越有效果的吗?

光电效应的实验结果困扰着当时的物理学家。 1905年，年轻的无名小卒爱因斯坦迎来了他的奇迹年，这一年他除了发表了狭义相对论，给出了那个著名的质能公式E=mc² 以外，另一项伟大的工作就是给出了光电效应的解释：若光的能量是一份一份的，每一份的能量是hν (这些是普朗克1900年的假设)，电子只能吸收整份的能量(这是爱因斯坦的假设)从而挣脱金属对电子的束缚(专业术语叫逸出功或功函数， )，则整个的光电效应就好理解了。当光的频率足够低时， ，虽然有很多这样光的能量单元，现在可以称呼它们为能量量子，但是无法把一个光子打出来。这是一个很重要的工作，实际上，爱因斯坦1921年获得诺贝尔物理学奖就是因为他对光电效应的解释。

等一下，你可能会问，光的能量分成  大小的一份一份的， 不是五年前普朗克提出的吗？上面的对光电效应的解释足以让人获得诺贝尔奖？喔，问题是普朗克不太敢相信能量是分立成一份一份的，而爱因斯坦勇敢地接受了这样的颇具革命性的观点并往前走了一步，给了光电效应一个非常合理的解释。这就是见识(insight)，物理学的见识，这可不是什么人都有的。实际上，爱因斯坦的光电效应开启了对光的本性的全新认识。更多的故事还在后面。1926年，光的量子 (light quantum)，注意不是光的能量量子，被刘易斯(Gilbert Lewis)命名为光子 (photon)。

除了光辐射现象以外，对固体比热的正确解释也需要引入能量量子的概念。比热，即单位量的物质温度每改变一度所吸收或者放出的热量，反映的是物质储存热量的能力。水的比热奇高，在室温附近水的比热约为4.18 焦耳/克·度。高温天气，水会在白天吸收大量的热量，晚上再慢慢释放，这就是长江流域的城市夏日夜间也酷热难耐的原因。

物质的比热随温度T的变化而改变。在极低的温度下，那时物质一般以固体的状态存在，物质的比热按照经典力学的理论应该是个常数，可是实验发现当温度足够低时，固体比热迅速下降到接近于零，大致上正比于T³。1907年，爱因斯坦假设固体以单一频率振动，其可能取的能量值是能量量子的整数倍，这样根据玻尔兹曼统计，可以推得固体比热随温度下降以指数函数的形式趋近于零。虽然，这和实验所得的结果依然不符合，但是它允许比热接近于零，这已是往正确的方向上迈出了一大步。1912年，德拜(Peter Debye)在爱因斯坦的模型上进一步假设固体有很多不同的能量量子，由此得到了比热正比于T³ 的固体比热模型。爱因斯坦模型和德拜模型对固体比热的正确解释，将能量量子的概念推到了物理学的舞台中央。

二十世纪刚开始的前几年，人类已经把脚迈入了量子世界的大门，更激动人心的发现马上就要登场。

5巴尔莫老师的数字游戏

氢是第一号元素，也是宇宙的第一构成要素。氢原子的原子核只是一个质子，外层只有一个电子，这是一个简单得不能再简单的原子。但是，千万不要小瞧了氢原子，有一种说法是氢原子包含了所有的物理。

氢气大量存在于空气中。由于氢原子的质量小，振动很强烈，氢气是倒数第二个被液化的气体(1898年被液化)，液化温度为20.28K，仅高于氦气(1908年被液化)的4.2K。将气体液化后再气化，很容易获得纯净的气体，因为不同气体的液化条件有很大的差异。利用液化的方式获得了高纯的氢气，从而获得纯粹的氢原子的发射光谱。图1.7是如今人们得到的氢原子光谱的全貌，但在十九世纪，仅凭肉眼人们只能分辨出四条分立的谱线外加一条模糊的光带；第五条分立的谱线离光带很近，不易看出来。这分立的四条谱线的波长分别为6562.10Å (红色)， 4860.74 Å(绿色)，4340.10 Å(蓝色) 和4101.2 Å (紫色)。正是从这四条谱线上，人们找到了理解原子光谱的突破口。

图1.7 氢原子的发射光谱。在可见光部分(黑色)就五条分立的谱线外加一条模糊的光带。

图1.8 现代光谱学获得的氢原子在可见光范围的光谱，可以清晰地看到五条谱线。

1885年，瑞士小城巴塞尔，一位60岁的中学老师巴尔莫 (Johann Balmer) 盯着这几条谱线的波长值陷入了沉思。似乎是灵光一现，他发现如果引入一个常数值b=3645.6 Å，则这四个波长近似地是这个常数b的9/5，4/3， 25/21和9/8倍。这四个分数可以写成3²/(3² -2² ), 4²/(4² -2² )   , 5²/(5² - 2² ) 和 6²/(6² - 2² ) ，嘿，它们是有规律的，是公式 n²/(n² -2² )  的n=3,4,5,6这四项。下一个谱线应该是在波长为b*7²/(7² -2² ) =3969.6 Å的地方吧？实验学家仔细地观察氢原子的光谱，果然发现有第5条谱线就在那个地方(图1. 8)。当然了，如果光谱仪分辨本领够好的话， 还有更多条波长为b * n²/(n² -2² ) 的谱线(它们现在被统称为巴尔莫线系)，随着n值的增大，波长趋于3645.6Å。太密了，它们挤在一起，形成了一个宽的带(图1.7)。

现在换个角度看巴尔莫老师的公式，会发现波数，就是波长的倒数，可以表示为 ，n=3，4，5... ，其中的 R≈10973731m^-1 被称为里德堡常数，是以瑞士物理学家里德堡 (Johannes Rydberg)的名字命名的。仔细看看这个公式

 ，n=3，4，5...  ，

它意味着什么呢？把这个公式扩展成更一般的形式^[3] ，

                          (2)

那么是不是对于所有的 m=1，2，3...  ， n=m+1，m+2，m+3...，都有对应的谱线呢？实验观测发现，果然有。人们现在把m=1，n＝2，3，4，5...对应的所有谱线称为莱曼线系；m = 3，n = 4，5，6，7...对应的所有谱线称为帕邢线系，等等。好吧，现在关于氢原子的发光谱线我们有了一个神奇的公式。为什么会是这样的一个神奇公式？从这个公式我们能看出来什么呢？不知道。科学家们在思索，问题的答案在别处的黑暗中孕育着。

注:

[1]  许多时候，黑体辐射似乎讨论的是空腔里辐射的热平衡问题。我总觉得，黑体的模型来自壁炉。

[2]  当然不是这样。如果光的强度足够强，连金属里的离子都能轰击出来。此处所说的光强度，是很弱的。

[3]朋友们请留心，科学有时候就是这么做出来的。

*此文为曹则贤著《量子力学-少年版》（中国科技大学出版社，2016）第一章“引子”。经作者授权发表。

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