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策划丨石头剪刀布的期望值,模拟及推理过程小谈

统一 腾讯GWB游戏无界 2022-08-30

这是来自策划群的一个小问题:


两个人玩石头剪刀布的游戏,采用的是三局两胜制(先胜2次者为赢家,如果已经2:0,则不需要进行第三次比试),那么请问,平均要多少次比试才能分出一次胜负?


这个应该算是描述很简单的期望题了。


本来是应该安安分分用先数学求解的,可是现在已经看见求期望题,不管三七二十一先模拟了再说。


如图:



运行的结果:37501425


因为循环1000万次,所以平均值为3.75次。


心中有底了,就可以开始数学求解过程了。


数学求解其实就是一个累加的过程。


几乎任意的求期望都是一个公式:


总期望值 = ∑单个集合的期望值


单个集合的期望值 = 该集合的几率 * 该集合的对局次数


(注:本体的集合是按照对接次数来分类的,不同的集合分类有不同的计算方式)


(注:单个集合 = ∑子集 ,一直细分直到有适合的算法为止,但本题一次细分就够了)


例如:A B对决,那么A两局胜的期望值就是


(注:不用看B的胜局,因为对称性,最终结果*2即可)


A胜 A胜


[1/3(第一次A胜的概率) * 1/3(第二次A胜的概率率)](A连胜的总概率) * 2(对局次数)


易得:


对决n局A最终获胜的期望值为:


如果这个都“易得”了,我这篇文章只要直接写答案就好了,没有存在的意义。


基本求期望值,最重要的一步就是求通项公式了,找不到通项公式计算量就会很大。


数学求解的意义就没那么大了。


我们继续看看下一个去:


(A代表A单局胜,B代表B单局胜,0代表平局)


A两局胜:一种情况的出现几率 * 有都少种情况 * 需要对决次数

AA           (1/3)^2 * (1 * 1 )* 2


A三局胜:

A0A

ABA

0AA

BAA           (1/3) ^ 3 * (2 * 2) * 3


A四局胜:

A00A

AB0A

A0BA

0A0A

BA0A

0ABA

00AA

0BAA

B0AA           (1/3)^ 4 *(3 * 3 ) *4


由此可推:


A n 局胜:(1/3) ^ n *[(n-1) ^2)] * n


通项公式找到,就好办了,如果懒得算就用excel拉表(注:因为这个是指数函数,后面的值极小,可以忽略),随手拉个100行。



1.875 * 2 = 3.75


完工~


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