普信®声学院：基于阻抗管的声学材料力学特性参数逆推识别技术
摘要
本文提出了一种基于阻抗管的开孔多孔材料力学特性参数逆推识别技术。通常，多孔材料使用Biot理论进行建模，然而，这个理论中有些参数很难用直接、间接或逆推测量的方法得到。本文建议的方法是对各向同性多孔材料基于Johnson-Champoux-Allard模型（流体相）通过阻抗管进行吸声测量来提取所有的Biot参数。样品是一个圆柱形固结到管子刚性终端，其直径略小于管的直径，在这种情况下，有意形成一个侧向气隙以防止侧向夹紧，使用这种设置，吸声曲线表现出特征弹性共振（四分之一波长共振），并且通过控制边界和安装条件确保了可重复性。Foam-X软件中的逆推算法采用轴对称有限元进行全局优化，要使用逆推法，用户需要提供阻抗管的直径、已经样品的直径、厚度、密度和吸声曲线，此外，有可能的话能提供其它参数，比如开孔孔隙率、流阻率、扭曲度、或泊松比，提供了这些额外的参数，可以改善算法的收敛性，该算法对不同类型的多孔材料进行测试并与实测结果进行了比对。对于某些材料，主要的实验挑战是确保在阻抗管测量中能激发弹性共振，一旦共振被激发，本逆推算法发现的Biot参数通常与直接测量参数兼容。最后讨论了该方法的有效性和主要局限性。
绪论
多孔材料在声学中常用来吸收声音的传播。它们的主要耗散机制是基于热和粘性效应。因此，其力学性质的知识通常是不必要的，它们可以被建模为等效流体，如Johnson Champoux Allard模型[1,2]。然而，由于客户需要，声振行为成为一个越来越不可忽略的因素。这样，我们不再把多孔材料只用等效流体来建模，而是Biot理论[ 3 ]中多孔弹性材料。根据这一理论，材料由耦合的流体-固体方程来预测波在材料中的传播：流体和固体中的两个压缩波和固体中的一个剪切波。要使用这一理论，必须知道每个相的内在参数。通常，9个参数需要确定：孔隙率、静态流阻、扭曲度、粘性特征长度、热特征长度、杨氏模量、泊松比、结构阻尼和体密度。
参数的直接测量分别来自特定的设备，其中，孔隙率和密度由Mecanum PHI孔隙率及密度测试仪按压力质量法原理[4]测得；静态流阻率由Mecanum SIGMA流阻测试仪按照ISO 9053-91标准[5]测得；扭曲度包括粘性和热特征长度由Mecanum TOR超声扭曲度计结合两种不同气体[6,7,8]测得；弹性参数则由力学分析设备[9]，主要是Mecanum QMA准静态力学分析仪[10]测得。此外，也用到了微观宏观方法。了解多孔材料的微观结构（即固体部分的几何形状和机械性质），预测了其声学行为[11]。
参数的间接测量用在从阻抗管测量提取扭曲度以及粘性和热特征长度[12-13]。从动态体积密度和动态体积模量测量，结合已知的孔隙率和静态流阻率，可以通过反推等效流体模型方程来获得其他三个流体参数。同样，力学参数的估计也可以通过测量多孔材料中的导波产生的位移和反推理论模型[ 14 ]来实现。
逆推测量包括用全局优化迭代过程对实验数据的理论模型进行曲线拟合。它基于阻抗管测量（如吸收系数或表面阻抗），确定等效流体参数逆推法已经被证明[ 15-18 ]并已用于商业软件中，如Mecanum Foam-X[19]。对于多孔介质的固体部分，几种基于解析或数值方法的逆推方法已经公开发表，Bolton[20] 提出了一种用在驻波管中测得的吸收和传损数据的推导方法；Biot理论和有限元法已经在使用；Chazot和张[ 21 ]利用贝叶斯方法，一种驻波管加解析Biot理论来识别这些固体参数，这种方法的独创性是通过先验密度函数获得结果的准确性；由Vanhuyse等人提出的方法 [ 22 ]是在驻波管中使用边缘带约束的样品，Biot理论用于轴对称波法和无约束全局优化算法求解。所有提出的方法都与Biot理论相联系，并使用边约束样品和约束或无约束优化算法。
本文提出了一种用于各向同性弹性材料获取所有模型参数的逆推方法。基于约束全局优化对声吸收测量，在驻波管中对一个或几个边约束或自由样品的测量，结合轴对称有限元法进行推导。首先，给出了对安装设置的评价，然后，对识别算法和轴对称有限元法进行了说明，最后，给出了数值和实验验证以及它的局限性。
理论
本节旨在给出一个理论框架，以便更好地理解本文的目标。对一个带特殊样品安装设置的阻抗管采用轴对称有限元模型，提出了一种全局优化算法来提取各向同性多孔弹性材料的所有参数。
安装设置
在驻波管中，测试样品的安装条件对声学指示器的测量（例如吸声系数、传递损失、表面阻抗和其他）有很大的影响。事实上，切割多孔材料并不是一项简单的任务。为了避免安装影响，样品的形状必须与管的形状相匹配，以确保均匀的接触。因此，样品直径通常比管子直径稍大，以避免周边泄漏，但边缘约束效应出来了。其中的一个效应被Vigran等人[23]发现，就是多孔材料会出现刚化，这带来了一个声学指标的频率偏移和对力学参数误估计。宋等人[24, 25]也注意到了这一效应，并强调了在模型中考虑实际管子的边界条件是困难的，通常采用另外一种安装设置，即滑移边设置，样品切割到既避免边约束效应又不会发生周边声泄漏，这样，样品的边只能沿管子轴向自由移动(辊位移)；这种设置施加在轴对称模型上，通过阻止边缘的径向位移，使边缘沿z轴方向自由移动。然而，在实际的驻波管中，由于沿轴向存在摩擦，滑移边界条件很难实现，径向位移仅在一个方向上被阻隔，就是样品被压缩时被管壁堵塞的方向。总之，如果侧边固结的方式用于多孔弹性模型逆推时应采取一些措施，必须避免滑移边方式，这是由于这种方式实验上很难重现。由于样品的边缘与管壁之间的接触是有问题的，所以另一个安装方式被用来改善多孔弹性逆推方法，这里，建议的安装条件是，样品的边缘不要接触管的侧壁。更确切地说，为了避免夹紧效应，主动添加横向气隙。在逆推模型中必须考虑到这种情况。此外，为了在测得的声学指示器中产生力学行为，将样品粘贴在管的刚性活塞上，以激发四分之一波长共振。
Biot理论和有限元方法
在绪论部分，Biot理论解释了多孔材料中的声振现象[3]。该材料由耦合的流体固体方程来预测，三种波在开孔多孔介质中传播：流体和固体中的两个耦合压缩波和固体中的一个剪切波。要使用这一理论，必须知道每个相的固有参数。通常，对于流体相，采用Johnson Champoux Allard模型[ 1, 2 ]，有5个参数是必需的：开孔孔隙率f、静态流阻率s、扭曲度a∞、粘性特征长度Λ和热特征长度Λ΄；对于固体相，采用各向同性线性弹性理论，有4个参数是必需的：杨氏模量E、泊松比n、结构阻尼损耗因子h、体密度rs。
由于阻抗管为圆柱形，带边界条件的Biot方程可以使用Pilon[26]发展的轴对称有限元方法（axiFEM）求解。采用多孔弹性和流体分层单元，其中多孔弹性单元用(u,p)表示 – 多孔弹性本构关系[25]，而流体单元由声学本构关系表示，两种单元之间建立耦合方程。阻抗管被简化为一个数值问题，样品在阻抗管里可以是边约束或横向自由的。这样，可以使用一个仅两个单元的网格，见图 1，第一个可以是流体（即空气）或多孔弹性单元，第二个是多孔弹性单元，只使用2个单元是因为axiFEM采用层次有限元(hierarchic FEM)，通过插值多项式的阶数而非增加网格密度来控制收敛性。Pilon的结论表明，增加单元的阶数是很有效的，为了计算声音的吸收，在结构的表面施加法向的入射压力，然后通过在这个表面上的压力和流体速度平均来估计表面阻抗，因为激励只是一个平面波。然后利用表面阻抗和常规的平面波方程计算反射系数，最后，用最后得到的量来计算吸声系数。
两个单元并行：一个流体单元和一个弹性单元，每个点对应一个计算节点。这里，显示了五阶层次单元。在结构表面施加平面波激励，其他外部表面上的位移被限制为0。采用axiFEM求解的问题已经被两个商用三维有限元软件验证：novaFEM [29]和Comsol [30]。用三维模型构建完整的阻抗管模型。软件使用(u，p)公式和二阶单元，其收敛性得到了验证。使用两个压力节点和在ASTM E1050-12标准[ 31 ]给出的方程来计算吸声系数。
图1: 采用轴对称有限元法的数值解法及其相关网格
识别算法
第一步是选择用于逆推的声学量，逆推法的中最容易获得的技术：采用驻波管。那么，2麦克风方法[31]是需要最少资源的一个方法，有三个声学量可以使用：吸声系数、反射系数和面阻抗。后两个声学量包含在吸声系数中，由Chevillote [ 32 ]、麦克伯顿[ 20 ]和刘[ 33 ]提出，这个声学量足够敏感，可以作为逆推过程中的输入数据使用。总之，吸声系数数据作为逆推方法中使用的声学量。正如在Atalla和Panneton的文献中所述[ 15 ]，差分进化算法是逆推问题合适的优化算法，因为它是一种全局优化技术且计算效率好，此外，它具有很好的收敛性和灵活处理各种约束的能力。本文所用的逆推法是基于这种差分进化算法。搜索向量X（方程1）是由Biot理论的10个必要参数中的8个构成，这些参数分别是：孔隙率、静态流阻率、扭曲度、粘性和热特性长度、弹性模量、阻尼损耗因子、和泊松比。另外两个参数，体积密度(r1)和样品厚度(t)，也必须设置。这样选择是因为后两个参数很容易通过实测得到，它在某种程度上对求解力学参数可容许解算法的约束。逆推过程是一个迭代的数据拟合过程。测试得到的吸声系数(am)需要和数值得到的(an)进行比较，数值数据是用前面提到的轴对称有限元方法得到。除了要设置体密度，还有一些输入数据需要确定，即层次axiFEM的阶数（通常是4或5），管子和样品的几何和安装条件。价值函数(Cost function)被用于差分进化算法以达到最小化。方程2就是构建的价值函数，它是实验数据和拟合数据之间的残差，其中X是搜索矢量和ω是角频率。为避免大量的计算时间，所以选取较少的频率点，一般地，取50个平均分布的频率点就可以得到一个好的收敛结果。该算法可以接受几种输入测试数据，包括不同的安装条件、以及管子和样品几何形状。全局价值函数是计算每个输入量的残差总和，在算法中使用不同的约束条件，搜索矢量被限定在一个特定的范围（见表 2），而且粘性特征长度要比热特征长度的值要小，此外，杨氏模量的许可范围可以用方程3确定，而共振频率(fr)的范围可以在吸声曲线上观察到。如果材料被归为纤维材料，可以增加一个补充约束，即扭曲度设为1、粘性特征长度等于热特征长度的一半、泊松比为0。差分进化算法属于遗传算法类。如在Atalla和Panneton的论文中所述，数据集的大小和生成因子（即交叉和差分权重）选择通过实验验证可以获得收敛性和计算时间之间的良好性能。要终止逆推法，必须满足以下三个标准之一。第一个是算法的达到最大迭代次数，第二个验证价值函数是否小于某个特定值，最后一个是价值函数的稳定准则，即当经过有限的迭代次数价值函数保持不变，算法停止。据观察，稳定标准一般是逆方法最常用的终止方法。要获得好的逆推结果，吸声系数测量的精度是最主要的。如在Atalla和Panneton的论文中所述，为了获得5个流体参数好的计算结果，吸声曲线必须涵盖图 2所示的3个特定区域。每个区域对应一组可识别参数。如果不能观察到这些区域，必须增加样品的厚度，或者给定一些流体参数来帮助收敛。此外，吸收系数必须显示与弹性共振相关联的压降，以便识别所搜索的弹性参数。同样，当一些参数已知时，它们可以被固定以减少搜索向量X的大小，这有助于加快收敛速度。
图2: 吸收曲线中三个典型区域，每个区域主要由一组特定的流体参数控制。
材料
为了验证所提出的方法，首先用三聚氰胺泡沫和刚性纤维材料（即玻璃棉）进行完全参数识别。这些材料假定是均匀的和各向同性的。识别过程需要两种不同直径的样品：100 mm和44.4 mm。对每个直径，用三个样品进行测试。每个样品是在同一块泡沫中用圆形刀模切割，所有的多孔弹性参数由Mecanum测试设备直接测量。孔隙率和密度是由孔隙率与密度仪按压力/质量法[ 4 ]并使用直径100 mm和44.4 mm样品测得，静态流阻率由流阻计按ISO 9053-91[5]标准并使用直径100 mm样品测得，扭曲度由入射/反射扭曲度计按入射和反射方法[6,7]并使用直径100 mm样品测得，而粘性和热特征长度则由FOAM-X软件逆推得到，采用100 mm阻抗管按ASTM E1O50-12[31]标准测得吸声数据，每个样品测两种安装方式（一个是背衬刚性壁，一个空腔终端）；而弹性特性由准静态力学分析仪(QMA)按ISO 18437-5[34]并使用直径100 mm和44.4 mm样品测得。
表1:验证用泡沫的参数列表
结果
数值验证
在进行实验验证之前，进行了数值验证，以避免测量噪声、对边界条件和样品的形状的不确定性、材料不均匀性和其他不可控参数。虚拟测试（即数值模拟）的设置包括一根直径为100 mm的管子和一个直径为90 mm与刚性端固接的样品。泡沫对应于表1中的“泡沫B”，采用三维二次有限元方法，与逆推法所用算法不同。虚拟测量吸收数据（am）按2个麦克风方法（ASTM E1050-12）用在三维有限元模型上2个不同的节点的压力数据。压缩共振可以在图 3中所示的吸收曲线清晰可见-这里的输入对应am。
泡沫样品的几何和密度提供给逆推算法，约束条件也加了进去，首先，根据输入数据找到共振频率，利用方程3对杨氏模量的容许范围进行了细化，使谐振频率fr的范围固定在350 hz和650 Hz之间；其次，其它参数的搜索范围也确定了，在这个数值验证情况下，8个搜索参数没有一个是确定的。表 2给出了每个搜索参数容许的范围。
表2:每个搜索参数的容许范围
图3: 泡沫B样品的吸声系数曲线，这些点是虚拟测量数据用于逆推计算，实线是求解后预测的吸声数据
在逆推算法中axiFEM层次单元的阶数设为4，在价值函数计算时采用50个频率点，当所有的输入和控制参数设置完毕，就可以进行逆推计算了。举个例子，在这个逆推法案例中，在一台Intel Core i5-2430M机器上不带CPU并行，则大概需要花费60分钟。图 3给出了法向吸声系数实验数据am和数值数据an的比对。
表3:采用逆推法对泡沫B得到的参数
实验验证和局限性
为了在实验上测试所提出的方法，第一个实验就是用一个三聚氰胺泡沫，这个泡沫用逆推法识别了所有特性参数，它的参数见前面的表 1，使用了两种安装方式，第一个是用一个直径小于阻抗管直径的样品后端用双面胶直接粘接到管的刚性终端，样品是圆柱形的，放在刚性终端的中心处以确保是轴对称问题。样品和阻抗管的直径分别是38.2 mm和44.44 mm，测试的重复性得到了验证，就是把样品粘或不粘在背衬进行多次试验。在每次试验之间，胶带发生了变化。另外两个试验是将双边胶带改成环氧树脂和改变管的方向（垂直和水平）来测试地球的重力是否有影响。必须特别注意样品的形状，它必须是一个尽可能完美的圆柱体，它的正面和背面必须是平行的和扁平的，第二个测试布置是将泡沫粘接到侧壁和管的终端进行测量。为了保证侧向是固结的，样品被切割得略大于管内径。对两种实验装置得到的数据进行了逆推计算，第二种测试装置来说明逆推法的可能性。
给出了样品密度以及样品和管子的几何，利用方程3对杨氏模量的容许范围进行了细化，使谐振频率fr的范围固定在1000 hz和1500 Hz之间；有限元阶次设为4，采用50个频率点用于价值函数计算，由于吸声数据信息不全（图 2所示的3个区域只出现2个），所以孔隙率、流阻率和扭曲度采用固定值以帮助算法收敛，其它参数不加限制，其容许范围见表 2，这次在一台Intel Core i5-2430M机器上不带CPU并行，计算大概花了10分钟。表 4给出了识别得到的参数。图 4和图 5是不同安装方式下实验得到的法向吸声曲线和逆推得到的法向吸声曲线比对，正如所看到的，其中的力学参数和用QMA得到的值比较接近，然而，可以看到杨氏模量实验和逆推得到的值有一定差异。在Dauchez的论文[36]中，他解释了与零载荷情况相比，在泡沫样品前后面上的支架在受静载荷下会发生屈曲导致QMA低估了杨氏模量。此外，试样直径略大于管子，在与壁管相连接后，边缘约束效应会出现。通过这些观察发现，声学激励是一个空静体积载荷的事实，对于发现杨氏模量值的差异可以被解释了。
表4:实验验证用的轻质三聚氰胺泡沫逆推得到的参数值
图4: 带自由边的三聚氰胺泡沫样品的吸声系数，这些点是虚拟测量数据用于逆推计算，实线是求解后预测的吸声数据
图5: 带约束边的三聚氰胺泡沫样品的吸声系数，这些点是虚拟测量数据用于逆推计算，实线是求解后预测的吸声数据
在实验上验证所提出的方法的第二个测试案例是用一个刚性玻璃棉样品，该材料用逆推法识别了所有特性参数，它的参数见前面的表 1，用了一种实验安装方式，即用一个直径小于阻抗管直径的样品后端用双面胶直接粘接到管的刚性终端，样品是圆柱形的，放在刚性终端的中心处以确保是轴对称问题。样品和阻抗管的直径分别是38.2 mm和44.44 mm，测试的重复性得到了验证，就是把样品粘或不粘在背衬进行多次试验。在每次试验之间，胶带发生了变化。和第一验证试验一样，必须特别注意样品的形状，它必须是一个尽可能完美的圆柱体，它的正面和背面必须是平行的和扁平的，使用前面所述的算法进行逆推。不过，在这个例子中，纤维约束模式被激活（即，扭曲度等于1,、热特征长度是粘性特征长度的两倍、泊松比为0）。
给出了样品密度以及样品和管子的几何，利用方程3对杨氏模量的容许范围进行了细化，使谐振频率fr的范围固定在400 hz和800 Hz之间；有限元阶次设为4，采用60个频率点用于价值函数计算，由于吸声数据信息不全（图 2所示的3个区域只出现2个），所以孔隙率、流阻率采用固定值以帮助算法收敛，其它参数不加限制，其容许范围见表 2，这次在一台Intel Core i5-2430M机器上不带CPU并行，计算大概花了15分钟。表 5给出了识别得到的参数。图 6是实验得到的法向吸声曲线和逆推得到的法向吸声曲线比对，正如所看到的，不像前一个例子，其得出的力学参数非常接近QMA测试结果，在哪个例子中，多孔弹性逆推和QMA测试结果的相关性可以解释为由于材料的高度刚性使得对QMA的静载不敏感。
表5:实验验证用的玻璃棉逆推得到的参数值
图6: 带自由边的玻璃棉样品的吸声系数，这些点是虚拟测量数据用于逆推计算，实线是求解后预测的吸声数据
通过以上的验证说明本逆推法不是一种很精确的方法，但不管怎样，它们被证明在一定的限制范围内是一种可行的方法。安装条件的质量和样品的形状是获得良好结果的主要因素。此外，如果吸收数据没有弹性共振或弹性行为，该算法将不能正确估计力学参数。
结论
本文提出了一种针对多孔弹性材料的逆推法识别技术，它利用2麦克风阻抗管测得的吸声测量数据和高效的轴对称有限元方法。不同于一些已发表的文章，测试样品是放在管的中心，粘接在刚性终端，并样品直径切割得比阻抗管直径要小，以形成侧向空气间隙，以控制横向边界条件。该算法还需要输入管的内径、样品的直径和厚度、体密度等。它也可以对参数限定在一个特定范围内搜索，也可以考虑参数之间的特定关系（如L’/L=2），或允许使用不同的安装设置进行一个以上的测量。
并进行了数值验证，以证明所提出的逆推方法的适用性。同样，进行了两个实验验证。发现所识别的参数与直接测量的参数接近。然而，对于第一次测试案例，发现识别得到的和直接测量得到的杨氏模量之间有差异，这种差异是由于使用直接法时由于泡沫样品的表面细杆失稳而低估了杨氏模量。
本文的目的不是给出一种获得的Biot多孔弹性理论背后的参数最准确的估计方法，而是给出合理的估算方法与简单的测量设置。事实上，在这个时候，所提出的逆推方法被证明有一定的局限性。安装条件的质量和样品的形状是获得良好估计的主要因素。此外，如果吸收数据没有弹性共振或弹性行为，该算法也不能正确估计力学参数。总之，虽然仍然需要改进，但该方法似乎是一种很有前途的参数识别技术。
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