普信®声学院：多孔吸声材料的声学特性综述②『建模与数值方法』。

导读：在过去的50年中，声学工程师和客户对多孔吸声材料的表征越来越感兴趣。声学工程师能够预测这些材料的声学性能，以获取声能吸收的定量度量，这一点很重要。本文回顾了这50年间的相关文献，得出的结论是，现象学模型是目前预测整个可听频率范围内体声特性的最准确、最合适的模型。这篇综述还提出了物理参数，这些参数提供了声学和材料特性之间的联系，以及用于测量这些参数的当前实验方法。此外，描述了多孔材料建模的最常用数值方法。

基于上期多孔吸声材料的声学特性综述①『Biot参数与测量实验方法』，本期继续介绍多孔吸音材料的建模与常规数值方法。

多孔吸音材料的建模：为了使多孔材料能够在各种行业中得到适当的利用，对多孔材料的声学特性和性能的分析、预测和表征至关重要。因此已经提出了几种模型来预测多孔吸音材料的声学性能。这些模型使用各种物理参数，这些物理参数基于理论或实验测量的定义。然而，由于收敛性和计算时间的限制，尤其是在具有复杂几何形状的材料的数值模拟的情况下，多孔吸音材料的准确预测或表征仍然是一个难题。本节将介绍多孔吸音材料的几种表征模型，讨论理论模型和数值模型，例如经验模型、现象学模型和有限元模型等。目的是对现有的理论模型和数值模型进行简要描述和详细介绍，以对吸音材料的声学性能进行建模。

理论模型：实证模型

通常使用经验模型来估计声学特性，即使用前面所讨论的已知材料的物理参数或特性来估算复数传播常数和特性阻抗。多孔材料是Delany和Bazley给出的。假设材料具有刚性骨架，该模型将估算材料的阻抗。

该模型基于大量阻抗管测量结果，适用于确定高于250 Hz的频率下的声学特性，但不适用于低频。Qunli、Cummings和Beadle等人随后通过大量的塑料泡沫实验数据验证了该模型。该模型将特性阻抗和与材料的流阻率传播常数相关（Allard和Atalla，2009）：

其中模型中的ρ₀和c₀是空气中的密度和声速，Z_c是特征阻抗，k是声学材料的传播常数，f和ω是声波的频率和角频率，σ气流阻力，j是虚数单位，等于–1的平方根。

Delany和Bazley模型的主要缺点是，它仅在孔隙率值接近1且X和σ的值如下时才适用：

Bies和Hanse进一步扩展了该模型对较低和较高频率的有效性。其他研究者对该模型进行了进一步的改进（Mechel 2002，Miki 1990等）。

根据Delany和Bazley模型，一些研究人员已经开发了经验模型（例如Dunn和Davern，1986； Wu，1988；Garai和Pompoli，2005等）。

Bies和Hansen（2009）将这些模型总结如下：

其中Z_m是多孔材料的特征阻抗，k_m是复数传播常数。表1列出了各种材料的常数C₁-C₈。

其他经验模型包括Allard和Champoux（1992）的模型。该模型在热效应取决于频率的假设下工作。与以前的模型相比，该模型在低频条件下效果更好（Tikander，2002）。在该模型中，动态密度和可压缩性定义如下（Allard和Champoux，1992）：

p_r，是空气中的普朗特数。

Voronina（1994）模型是基于材料孔隙率的另一个简单模型。该模型使用材料的平均孔径、频率和孔隙率来定义材料的声学特性。Voronina（1999）进一步扩展了为具有刚性框架和高孔隙率的多孔材料开发的经验模型，并将其与Attenborough模型进行了比较。他们的经验模型与Attenborough的理论模型之间找到了重要的共识。在该模型中，代表多孔介质中能量损失的定量估算的结构特征Q定义为（Voronina，1999）：

其中H是孔隙率，ρ_m是材料的密度，ρ_f是纤维的密度，μ= 1.85 * 10^–5 pa是空气的动态粘度，D是孔径。

然后可以根据结构特征参数，通过简化的方程式来计算特征阻抗和传播常数（Voronina，1997）：

其中k是自由场波数（2πf/c），B是取决于结构特性的参数。

经验模型具有很高的优势，因为它们仅需要一个易于测量的单一输入和流动阻力。但是，它们仅适用于一种类型的材料和某些频率范围。

理论模型：微观结构模型

包括Delany-Bazley模型在内的经验模型仅适用于高度多孔的材料，如果频率非常高或太低，则预测是不切实际的（Wilson 1997）;另一方面，微观结构模型对于各种材料类型和频率都是准确的。

通过计算在恒定（通常为圆型）横截面的孔中传播的精确解，然后使用形状因子调整方程以适应更复杂的几何结构，来开发微结构模型[Wilson，1997]。此外，这些模型随其方程式和形状因数而变化。

Attenborough（1982，1983）推导了刚性框架模型，该模型需要五个参数，包括用于更复杂的孔微结构的静态和动态形状因子。他还表明，这些模型可以应用于纤维和颗粒材料。Champoux和Stinson（1992）后来又提出了另外五个参数模型，包括考虑粘性和热效应的两个不同的形状因子，他们在几何形状已知的各种多孔材料上验证了它们的模型。

尽管由于微结构模型对各种高、低范围频率和材料类型的适应性强于经验模型，所以它们具有复杂的缺点以及需要确定大约三到五个参数的缺点。相比之下，微观结构模型所需的声学参数数量大约与其他模型相同，但是模型的精度会有所不同，这取决于“描述和近似于多孔材料的真实微观结构，特别是近似于纤维吸收剂的真实微观结构的程度”[Bo and Tianning，2009]。

理论模型：现象学模型

现象学模型已成功应用于多孔材料，这在很大程度上取决于这些模型考虑材料随机几何形状的能力（Kirby和Cummings，1999）。这些模型具有很高的准确性，但是需要预先测量材料的大量物理参数（Bo和Tianning，2009）。所需的物理参数越多，确定声学特性的模型的准确性就越高。这些模型基于“多孔介质中声学传播的基本物理学”，例如它们的“通用特征”和“如何将它们“捕获在模型中” [Wilson，1997]。

随后约翰逊等（1987年）基于零和无限频率下的极限行为，在他们的模型中使用了动态曲折来表达动态粘性扩散。他们通过使用与材料的几何形状有关的粘性特征长度来在低频和高频之间插入动态曲折公式。Champoux和Allard（1991）后来对Johnson等人的工作进行了扩展，结果表明，需要额外的热特性长度来表达孔隙中流体的动态体积模量。Allard（1993）建立了数学模型，该模型也称为Johnson-Champoux-Allard模型，该模型将介质的有效密度和有效体积模量与前面部分所述的五个物理参数相关（Allard，1993）：

Johnson等人的G_J（ω）表达式。（Allard，1993）给出了模型和Champoux-Allard模型中G_J'（ω）随频率变化的表达式：

粘滞特性长度Λ，热特性长度Λ'和参数σ'与Allard（1993）给出的材料的孔隙率φ，空气流动阻力σ和曲折度α_∞有关，由方程式（16a）和（ 16b）：

其中ρ₀是空气的密度，η是空气的粘度，B²是空气的普朗特数，γ是空气的比热比，p₀是大气压，j =根号-1，c c'是孔的横截面形状因数。

几年后，Pride等人（1993年）表明，在低频率下，Johnson等人给出的有效流体密度，模型应修改。这是因为Johnson的模型没有给出正确的低频性能，因为ω趋于零。因此，Pride等（1993）提出了五个可能的函数模型，它们可以精确地预测高频和低频处的有效密度，并可以在中频范围内给出良好的预测，但是它们也很复杂，难以解释。拉法基等（2006年）开发了一种简化模型，用于多孔材料中流体的有效体积模量。

使用补充参数，可以用G_p和G'_p代替Pride模型中的G_j和拉法基模型中的G'_j（Allard和Atalla，2009）：

现象学模型由于使用了附加参数（例如粘性特征长度，热特征长度和材料的曲折度）而得到了更完善（Rey等人，2012）。

数值方法：有限元方法

有限元法是一种数值方法，可作为“预测具有各种形状特征的多孔材料层或多层的声学行为的有力工具”。数值工具对于结构声学应用的建模至关重要。因此，开发了FEM，以便与先前存在的结构声学有限元模型一起使用Biot理论对吸声材料进行建模（Atalla等，1998; Coyette和Wynendale，1995; Kang和Bolton，1995; Johnson等等（1995）。

多孔材料有限元建模的主要限制在于计算成本高。此限制是由于：

-         与原始Biot理论并行提出的第一个公式表示每个结点6自由度，涉及固相和液相的位移。

-         与其他材料相比，与声音传播在多孔材料中相关的物理学复杂性涉及短波长。除非多孔层的厚度以相同的比例增加，否则多孔材料中能量的吸收会随着流体运动波长的增加而降低（Goransson，1995）。

改善这一问题的早期工作大部分是由Craggs（1978）进行的。他提出了基于八节点等参有限元的等效流体表达方式，以表示刚性多孔吸收材料。该构思是使用有效密度和有效体积模量的复杂且依赖于频率的等效表达式来描述具有亥姆霍兹方程的多孔材料。这样的公式的优点在于，它们将压力波动作为主要变量，这使它们最有效，因为每个节点涉及一个自由度。

另外，Goransson（1995）提出了简化的对称表达方式，用于柔软的多孔吸收材料。在该模型中，流体压力（p）和框架位移（ū）被用作自由度变量。因此，框架和流体之间存在的弹性联接被忽略，或者两者之间的联接因此被简化。Kang和Bolton（1995）的论文似乎是第一篇发表的论文，对基于Biot-Allard理论的多孔材料的二维建模进行了全面描述。在此模型中，由Ū和given给出的流体和框架位移对每个节点的元素具有六个自由度。但是，此模型导致许多矩阵依赖于频率并且难以求解。为了缩写表达式，Goransson（1998）提出了五自由度的表达式，其中流体压力和流体位移具有标量势。该公式假设流体位移是无旋转的，这是不正确的，这是由于固相和液相之间强烈的惯性和粘性耦合（Allard和Atalla，2009）。Horlin（2004）表明，该公式高估了与流体和框架之间的相对运动有关的耗散，因此高估了在这种无旋转假设下的粘性阻尼。

Atalla等（1998年）开发了一种用于建模多孔材料的有效3D公式。在这种表达式中，与框架的体积模量相比，饱和流体和真空多孔材料的体积模量可以忽略不计。通过采用时谐激励进一步增强了该公式。因此，Seppi（2009）自然地解释了不同多孔材料之间或声腔与多孔材料之间的耦合。人们认为，Atalla的公式与Kang的公式一样准确，并且在获得所需准确度所需的计算工作上，它被认为是更好的选择（Nordgren，2012年）。

数值方法：边界元方法

尽管有限元法因其适合复杂几何和多物理场耦合问题而被广泛使用，但是以计算成本为代价的。事实证明，边界元法很方便，并且通过简化的网格划分程序（用于简化外部声学模型）大大提高了计算效率。Biot方程式取决于频率和大型有限基本模型，必须针对所有频率进行计算。因此，BEM通过将整个问题简化为一个物理边界来克服对各向同性和均质材料的限制（Nenning等，2011）。但是，在这种情况下，系统的矩阵是完整的，边界面必须离散化（Nenning等，2011）。此外，必须对每个边界元素执行奇异积分和规则积分。

Tanneau等（2006年）提出了一种边界元法，该方法减小了所需网格的大小，并导致大量的“计算节省”，特别是对于中频[Kinder and Hansen 2008]。对于多孔弹性材料，此方法非常重要，因为所需的自由度非常大，并且矩阵与频率有关。

数值方法：统计能量分析方法

研究多孔材料声学特性的方法很多，基于能量的方法就是其中之一。这种方法依赖于能量。统计能量分析方法是“最著名的基于能量的方法” [Sarradj，2004年]。“统计”意味着方法公式中得出的变量均来自“统计总体”，预期结果也是如此（Sarradj，2004年）。此外，“能量”意味着该方法使用了能量变量。统计能量分析的基本概念是，将研究中的系统的结构分为多个子系统，这些子系统相互耦合，并分析子系统之间存储或交换的能量。Cotoni（2010）展示了一种基于有限元和统计能量分析的混合模型研究层状多孔弹性材料的方法。该方法在有限元分析和统计能量分析模型中合并了声学。使用混合模型，并利用声学流体和多孔弹性材料的动力学特性，在中频范围内证明了该材料的振动和声学行为的快速准确预测。

总结

本文讨论并回顾了表征和预测声学特性的各种模型，即多孔声吸收材料的特征阻抗和传播常数。从前面的讨论可以合理地得出以下结论：

-         必须知道物理参数（Biot参数）才能预测吸声材料的声学特性。因此，这些参数的修改可以改善这些材料的声学性能。曲折度、粘性特征长度和热特征长度在高频范围内具有重要影响，而流阻率在低频范围内具有较大影响，而孔隙率在整个频率范围内均起重要作用。

-         现象学模型，例如Pride等（1993）和Lafarge等讨论的模型是预测整个频率范围内声学特性的最准确和最合适的模型。但是，这些模型需要一组五个参数，并且其中一些参数很难测量，因此可以可靠地使用一个参数模型（Delany和Bazley 1970和Champoux-Allard 1992）来预测特征阻抗和吸声系数。

-         诸如FEM和BEM之类的数值方法被广泛用于高精度地预测单层或多层多孔吸声材料的声学性能。但是，它们计算量大，因此仅限于中低频率范围。提出了几种方法来扩大适用的频率范围并提高其计算效率，但是它们仍然是成熟的方法。SEA和传递矩阵TMM算法将成为未来重要的数值方法和选择。