小学数学1-6年级数学难点解析

数学视野 2021-07-14

一年级奥数

一年级的孩子刚刚踏入小学。不论是学习习惯还是学习方法，都需要全面的培养和正确的引导，这就需要家长对整个六年的小学学习有一个全面的规划。

学习重点难点解析：

巧算与速算的基本知识：对于一年级的学生来说，计算是学生学习时遇到的第一个问题。如果能够在看似无序的算式中寻找到一定的规律，化繁为简，那么学生一定能够增强学习数学的信心，提高学习数学的兴趣。另外，计算与速算是各种后续问题学习的基础。学好数学，首先就要过计算这关。

认识并学会数各种基本图形：正方形、长方体、圆和立方体等是小学学习中最常见的图形。通过系统的指导，使一年级的学生能够计算出各种基本图形的个数；使学生建立起有序思维，为建立思维模式打下基础。

学习简单的枚举法：枚举法对于一年级的学生来说的确是有一定的困难。在华数课本中，介绍这一难题时采用数数这种更为直观的方式，将复杂抽象的问题形象化，便于孩子们理解。

枚举法训练的重点在于有序的思维方式，学习之初将抽象问题形象化，能够更好地引导学生去主动思考，建立起自己的思维方式。

数字的奇与偶、不等与相等等关于数论的基础知识：数论问题是后续学习中的一个重点，而这学期将要学到的：数字的奇与偶、不等与相等等无疑将会是今后学习的基础，在这里我们把数论问题分解为各种类型逐一讲解，使华数学习更加系统。

二年级奥数

二年级是开发孩子智力、形成良好思维习惯的最佳时期，学习奥数不仅能够极大地锻炼孩子的思维能力，也能为孩子之后的学习打下坚实的基础。对于二年级的学生家长来说，激发孩子对华数的兴趣是最主要的。

学习重点难点解析：

计算要过关：对于二年级学生的奥数学习来说，最先碰到的问题就是计算问题，计算问题是重点也是难点。

根据学校数学的学习情况，孩子还没有学习乘除法的列竖式，尤其是乘法的列竖式在二年级华数的学习中要求的比较多，比如华数课本下册第三讲速算与巧算中就多次用到了乘法，另外一些应用题中也会有所应用。所以对于学习下册华数的学生，首先计算关一定要过。

枚举是难点：对于二年级的学生来说，有序思维和抽象思维是比较困难的，对于问题，二年级的学生更多的愿意以凑数来尝试解答问题。

而枚举法的问题需要的就是孩子的有序思维，比如华数课本上册几枚硬币凑钱的方法，下册的整数拆分都属于枚举法的问题。这类问题不仅要求孩子要有序，同时直观性不强，对于孩子理解有一定困难。建议家长可以比较抽象的问题形象化，比如上面举到的汉堡和汽水的例子就更加形象。

应用题要接触：二年级华数课本下册中的后几讲已经接触到了应用题部分，对于倍数等概念也有学习，建议学有余力的孩子可以适当接触三年级中的部分问题，但是难度不要像三年级华数课本中那样大。

三年级奥数

三年级的奥数学习是小学奥数最重要的基础阶段，只有牢固掌握了三年级奥数最基本的知识技巧，才能有效的促进今后的数学学习，最终在竞赛、以及小升初中有所斩获。

学习重点难点解析：

三年级属于奥数学习打基础阶段，孩子进入三年级以后，随着年龄的增长，孩子的计算能力，认知能力，逻辑分析能力相比于一、二年级有很大的提高，这个时期是奥数思维形成的关键时期，是学奥数的黄金时段，所以能否把握住三年级这一黄金时段，关系到以后小升初的成与败。

下面就简要介绍一下三年级下学期学习的关键知识点。

1.运用运算定律及性质速算与巧算

计算是数学学习的基本知识，也是学好奥数的基础。能否又快又准的算出答案，是历年数学竞赛考察的一个基本点。在三年级，主要学习了加法与乘法运算定律，其中应用乘法分配率是竞赛中考察巧算的一大重点；除此之外，竞赛中还时常考察带符号“搬家”与添括号/去括号这两种通过改变运算顺序进而简便运算的思路。例如：17×5+17×7+13×5+13×7

问题解析：由于四个加项没有公共的乘数，不能直接应用乘法分配率。可以考虑先分组应用乘法分配率，在观察的思路，原式=（17×5+17×7）+（13×5+13×7）=17×（5+7）+13×（5+7）=17×12+13×12=（17+13）×12=30×12

2、学习假设思想解决鸡兔同笼问题

鸡兔同笼问题源于我国1500年前左右的伟大数学著作《孙子算经》，其中记载的31题，“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”翻译成现代文就是说有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？

问题解析：我们知道每只鸡2只脚，每只兔子4只脚，我们不妨假设笼子里面只有鸡，那么应该有只脚，而事实上有94只脚，原因就是我们把一部分兔子假设成了鸡。

我们知道，每只兔子比鸡多2只脚，那么一共应该有只兔子，剩下了35–12=23只鸡。

对于一般的鸡兔同笼问题，我们有鸡数=（兔的脚数总头数–总脚数）（兔的脚数-鸡的脚数）

兔数=（总脚数-鸡的脚数总头数）（兔的脚数-鸡的脚数）

3.平均数应用题

“平均数”这个数学概念在同学们的日常学习和生活中经常用到。例如，三年级上学期期末考完试，可以计算全班同学的数学“平均成绩”，同学与爸爸妈妈三个人的“平均年龄”等等，都是我们经常碰到的求平均数的问题。

根据我们所举的例子，可以总结出求平均数的一般公式：总数和÷人数（或个数）=平均数。比如说人大附小三年级（一）班第2小组5名同学上学期期末数学成绩分别是93，95，98，97，90，那么第2小组5名同学的数学平均分是多少呢？

问题解析：根据我们总结的公式，首先可以求出第2小组5名同学数学的总分一共是93+95+98+97+92=475，所以他们的平均分是475÷5=95（分）。

4.和差倍应用题

和差倍问题是由和差问题、和倍问题、差倍问题三类问题组成的。

和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题，一般可应用公式：数量和÷对应的倍数和=“1”倍量；

差倍问题就是已知大小两个数的差和它们的倍数关系，求大小两个数的应用题，一般可应用公式：数量差÷对应的倍数差=“1”倍量；

和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差，求大小两个数的应用题一般可应用公式：大数=（数量和+数量差）÷2，小数=（数量和-数量差）÷2。

为了帮助我们理解题意，弄清题目中两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法以线段的相对长度来表示两种量间的关系，以便于找到解题的途径。

5.年龄问题

基本的年龄问题可以说是和差倍问题生活化的典型应用。同时，年龄问题也有其鲜明的特点：任何两个人之间的年龄差保持不变。解决年龄问题，关键就是要抓住以上两点。例如：哥哥两年后的年龄是弟弟年龄的2倍，今年哥哥比弟弟大5岁，那么今年弟弟多少岁？

问题解析：由于两人之间的年龄差不变，在2年之后哥哥仍然比弟弟大5岁，那时哥哥是弟弟年龄的2倍，这就变成了一道差倍问题，也就是说弟弟的年龄在2年后是5÷（2-1）=5（岁），所以今年弟弟5-2=3（岁）。

四年级奥数

四年级是一个承前启后的阶段，学习内容的难度和广度有所增加，各种竞赛任务和招生考试的成绩重要性大大增加。

不论自己的孩子是刚刚开始学习奥数，还是已经着手为竞赛、升学做准备，如何更好的完成四年级的学习计划，如何做好四年级和五年级的过渡，如何规划小升初之前的这两年时间是每个家长都要面对的问题。

学习重点难点解析：

1、计算：计算是贯穿整个小学阶段的重点，每个年级奥数的学习都以计算为基础，较好的计算能力是学好其它章节，取得优异成绩的保证。

每个年级的计算有每个年级的特点，四年级的计算以加入了小数的计算为主，对于奥数基础扎实的同学并且希望在五年级取得一些成绩的同学还应该加入一些分数的计算。

四年级计算应该掌握的重点题型有多位数的计算，小数的基本运算，小数的简便运算等。其中，多位数的计算主要以通过缩放讲多位数凑成各位数全是9的多位数，再利用乘法的分配率进行计算。小数的简便运算主要与等差数列求和、乘法的分配率和结合率、换元法等结合在一起，需要同学们对各种题型熟练的掌握，尤其是多位数的计算。

最后，小数计算的重点还是最基础的小数的加减乘除混合运算，在初学小数时由于小数点的原因计算经常出错，如果计算不准确，再好的方法和技巧都无从谈起。

所以，四年级学习计算的重点在于以基础计算为主，掌握各种简便运算技巧，提高准确度和速度。

2、平均数问题：在学习平均数问题的时候一定要先对平均数的概念有很好的理解。我们在授课过程中经常发现绝大多数同学在解平均数问题时经常犯一个错，尤其是在行程问题中的一道题，错误率最高。

小明从学校到家速度为12，从家到学校速度为24，问往返的平均速度是多少？很多同学答案都是18，误以为平均数度就是速度的平均，这是不对的。

在学习平均数问题的时候还要会利用基准数处理一大串数据的求和问题和求平均数的问题。很多复杂的平均数问题都是可以利用浓度三角的方法来解决的，尤其是思维导引中后面的一些复杂的平均数问题，同学们应该尝试用浓度三角的方法来解决平均数问题。

平均数问题的学习对以后浓度问题的学习很有好处，因为大部分平均问题的题型和浓度问题的题型从本质上来讲是相同的。

3、行程问题：四年级行程问题要掌握以下各类的问题：相遇问题、追及问题、火车相遇问题、流水行船问题、多次相遇问题等。

首先，我们要对基本的相遇问题和追及问题有非常深刻的了解，在学习过程中经常有同学到六年级了对于追及问题中两个人所走的时间是否相等还经常容易出错。

其次，我们要熟悉并掌握火车相遇问题和流水行船问题这两个行程问题中最基本的专题，对我们后面复杂行程问题的学习起到非常大的帮助。

最后，要掌握行程问题中解决复杂问题常用的技巧，划线段的习惯，并养成良好、简洁的解题习惯。

画线段图的方法是解决很多复杂行程问题常用的方法，很多同学在画线段图的时候不够简洁，常常画出的线段图中多余的线段和条件太多，导致画出的线段图比题目本身还复杂，无法分析求解。在平时的学习中应该尽量模仿老师，养成良好的解题习惯。

4、排列组合：排列组合是对上学期所学的加法原理和乘法原理两讲的一个升华。在加法原理和乘法原理中大家对分步和分类有了一定程度的理解和掌握，排列组合在此基础上提供了更专业更有效解决计数问题的方法。

在排列组合中首先要对排列组合的概念、排列数与组合数的计算、排列与组合的区别等有很好的理解，尤其是排列和组合的区分上，需要对一些经典例题的掌握从而来理解排列和组合的区别。

同时，很多问题好需要结合分类分步方法和排列组合的原理来解题，并不是单纯的排解组合公式的应用。对于一些基础不好的同学，一定要在熟练掌握加法原理和乘法原理之后再来学习排列组合的知识。对于一些排列组合常见的题型和常用的方法要做到信手拈来。

5、几何计数与周期性问题：几何计数和周期性问题相对于行程和排列组合来说是两个较小的专题，但是也是各大竞赛和入学考试常见题型，尤其是很多综合题同时包含数论和周期性问题的相关知识点，是竞赛和备考的重中之重。

几何级数的掌握要从线段、角、三角形、长方形开始，学会用简单的方法来解决复杂计数问题的步骤。而周期性问题常和等差数列、数论结合在一起，同学在做题题时经常容易出错，需要在这方面的加大做题量。

五年级奥数

五年级下学期是小升初前的最后一个学期，对于整个小学阶段的数学学习起着至关重要的作用，只有这一关过好了，才可能在小升初的备考中游刃有余。所以这学期的奥数学习应该有更强的针对性，针对自己的实际情况和目标选择合适的班型。

学习重点难点解析：

五年级属于小学高年级，孩子进入五年级以后，随着年龄的增长，孩子的计算能力，认知能力，逻辑分析能力都比以前有很大的提高，这个时期是奥数思维形成的关键时期，是学奥数的黄金时段，所以是否把握住五年级这个黄金时段，关系到以后小升初的成与败。

那么在整个五年级阶段都有哪些重点知识呢？为了孩子更好的把握五年级的学习重点，下面就介绍一下五年级的关键知识点。

1.进入数学宝库的分析方法——递推方法：任何事物的发展总是从简单到复杂，奥数也是一样，对于复杂问题，我们不妨先从最简单的情况入手，通过处理简单的问题，我们可以从中得到规律或者诀窍，从而来解决复杂的问题，这就是递推方法。

比如说：平面上2008条直线最多有几个交点？同学们第一眼看到这个问题时，肯定会想画2008条直线相交然后再数交点个数，那该是多麻烦啊！其实我们可以先来解决简单点的情况，分别找到1条、2条、3条、4条……这些直线有多少个交点。

1条直线最多有0个交点

2条直线最多有1个交点

3条直线最多有3个交点

4条直线最多有6个交点

5条直线最多有10个交点

6条直线最多有15个交点

……

所以2008条直线有1+2+3+4+5＋…+2007=2015028个交点。

那么聪明的你，你能算出2008条直线最多可以把圆分成几部分么？

2.变化无穷、形迹不定的行程问题：提到行程问题，同学们可能就感到头疼，的确不错，因为行程问题中各个物体的速度、时间、路程都在变化，而且各个物体都是在运动中，位置是随着时间在变化，所以分析起来就很麻烦。

为了更好的解决这个问题，我们把行程问题进行了细分：基本行程（单个物体）、平均速度、相遇、追及、流水行船、火车过桥、火车错车、钟表问题、环形线路上行程。

只要我们掌握这些每个小类型中的诀窍，形成一种分析思路，复杂的行程问题无非是这些类型的变形而已，解决起来就容易多了。

3.抽象而又杂乱的数论问题：数论是从五年级的核心知识，无论是在哪本教材里，都用了很多的章节来讲解数论。

要想解决复杂的数论问题，我们首先得掌握数论的基本知识：数的奇偶性、约数（现在叫因数）、倍数、公约数及最大公约数、公倍数及最小公倍数、质数、合数、分解质因数、整除、余数及同余等。

这些基本知识点里又有些非常有代表性的例题，只要能掌握好这些知识点，然后做一定量的数论综合习题，碰到难的数论问题我们就容易解决了。

4.有趣的抽屉原理：生活中有很多有趣的事情，比如说：把4个苹果放到3个抽屉里，无论你怎么放，总有某个抽屉里至少有2个苹果，这就是抽屉原理。

对于抽屉原理我们只要找到苹果的个数a与抽屉的个数b,我们就可以得到下面的结论：

若a÷b=r……

当q=0时，我们就说总有某个抽屉里至少有r个苹果；

当q0时，我们就说总有某个抽屉里至少有（r+1）个苹果。

比如说把32个苹果放进8个抽屉里，因为32÷8＝4，无论怎么放，总有某个抽屉里有4个苹果。如果把35个苹果放进8个抽屉里，因为35÷8＝4……3,无论怎么放，总有某个抽屉里有4＋1＝5个苹果。

但是大部分的奥数题是没有告诉我们抽屉的个数的，那样我们就得自己构造抽屉，从而找出抽屉的个数。

5.图形面积计算：求图形的面积也是奥数中的一个难点，对于这类题我们首先要掌握好各种基本图形的面积计算公式，然后记住一些重要的结论：比如说三角形的等积变形、直角三角形中30度所对的边是斜边的一半、勾股定理、梯形中蝴蝶翅膀原理、相似三角形中边与面积的关系。

在计算面积时的方法有：直接计算法、割补法、方程法等。在图形面积计算中，难题往往得添加辅助线，这个就是难点所在，因为添加辅助线非常灵活，这就要我们多做些这方面的题，多积累一些添加辅助线的技巧，做到心中有数。

六年级奥数

现在正是小升初特别关键的一个时期，无论从信息还是自身的学习方面都要做好充分的准备。

下面主要说说当机会摆在面前的时候我们应该怎样去把握住它，首先要明确一点，小升初并不是我们的最终目标，而只是为了孩子今后的学习打下一个良好的基础。

所以我们一定要重视孩子学习习惯的培养，举个很简单的例子：很多同学做题的时候审题不认真，经常把会做的题目做错，即使是最厉害的学生，如果把题目看错了，那也是不可能把题目做对的。

这一点特别特别的重要，无论是小升初还是今后的中考高考，因为现在的衡量标准其实并不是比谁更“聪明”，而是比谁更认真，学习更扎实。

从最近的一些学校的考试我们就可以看出一个趋势，就是题量大，时间段，对于单位时间内的做题效率有很高的要求，这个效率体现在两个方面，就是速度和正确率。

学习重点难点解析：

1、分数百分数问题，比和比例：

这是六年级的重点内容，在历年各个学校测试中所占比例非常高，重点应该掌握好以下内容：

对单位1的正确理解，知道甲比乙多百分之几和乙比甲少百分之几的区别；

求单位1的正确方法，用具体的量去除以对应的分率，找到对应关系是重点；

分数比和整数比的转化，了解正比和反比关系；

通过对“份数”的理解结合比例解决和倍（按比例分配）和差倍问题；

2、行程问题：

应用题里最重要的内容，因为综合考察了学生比例，方程的运用以及分析复杂问题的能力，所以常常作为压轴题出现，重点应该掌握以下内容：

路程速度时间三个量之间的比例关系，即当路程一定时，速度与时间成反比；速度一定时，路程与时间成正比；时间一定时，速度与路程成正比。特别需要强调的是在很多题目中一定要先去找到这个“一定”的量；

当三个量均不相等时，学会通过其中两个量的比例关系求第三个量的比；

学会用比例的方法分析解决一般的行程问题；

有了以上基础，进一步加强多次相遇追及问题及火车过桥流水行船等特殊行程问题的理解，重点是学会如何去分析一个复杂的题目，而不是一味的做题。

3、几何问题：

几何问题是各个学校考察的重点内容，分为平面几何和立体几何两大块，具体的平面几何里分为直线形问题和圆与扇形；立体几何里分为表面积和体积两大部分内容。学生应重点掌握以下内容：

等积变换及面积中比例的应用；

与圆和扇形的周长面积相关的几何问题，处理不规则图形问题的相关方法；

立体图形面积：染色问题、切面问题、投影法、切挖问题；

立体图形体积：简单体积求解、体积变换、浸泡问题。

4、数论问题：

常考内容，而且可以应用于策略问题，数字谜问题，计算问题等其他专题中，相当重要，应重点掌握以下内容：

掌握被特殊整数整除的性质，如数字和能被9整除的整数一定是9的倍数等；

最好了解其中的道理，因为这个方法可以用在许多题目中，包括一些数字谜问题；

掌握约数倍数的性质，会用分解质因数法，短除法，辗转相除法求两个数的最大公因数和最小公倍数；

学会求约数个数的方法，为了提高灵活运用的能力，需了解这个方法的原理；

了解同余的概念，学会把余数问题转化成整除问题，下面的这个性质是非常有用的：两个数被第三个数去除，如果所得的余数相同，那么这两个数的差就能被这个数整除；

能够解决求一个多位数除以一个较小的自然数所得的余数问题，例如求1011121314…9899除以11的余数，以及求20082008除以13的余数这类问题。

5、计算问题：

计算问题通常在前几个题目中出现概率较高，主要考察两个方面，一个是基本的四则运算能力，同时，一些速算巧算及裂项换元等技巧也经常成为考察的重点。我们应该重点掌握以下内容：

计算基本功的训练；

利用乘法分配率进行速算与巧算；

分小数互化及运算，繁分数运算；

估算与比较；

计算公式应用。如等差数列求和，平方差公式等；

裂项，换元与通项公式。