Koch 雪花曲线（分形曲线）

耿祥义

本帖目的：学习用递归绘制分形，保存绘制的图形到图像文件中（基础知识点见教材11章-输入输出流）。

一、雪花

   小学时，有个可爱的、讲常识的王老师，上课喜欢拿个大水杯，讲课风趣幽默，经常逗的孩子们前仰后合。王老师经常讲水有三态：固态，气态和液态，而且无色无味。突然有一天，莫名其妙的问了王老师一句：雪花为啥是白色的呢？王老师拿着水杯，大口喝了一口水，然后自言自语：“是啊，为啥是白色的呢？......”。后来读大学时，遇到一个学物理的校友，他说，"这个问题简单，我来告诉你...（省略）"。也许您现在可以百度一下，就立刻能知道答案，但我们小时候，没有这条件，就必须让子弹飞一会，留下思考的时间。

二、分形

  1967年，数学家曼德布劳特（B.B.Mandelbrot）在科学杂志上发表了一篇严谨的学术文章，“英国的海岸线有多长？”，常人会误解为是个地理常识标题。但实际上，这篇论文标志分形几何的诞生（分形几何的概念是Mandelbrot首先提出的）。可以想象，由于海岸线曲曲折折，非常不规则，人们很难准确测量出它的长度。假设我们用一把固定长度的直尺，比如一米直尺，那么就需要在一米的整数倍处不断地拐弯抹角的来测量海岸线，因此，测得的海岸线的长度肯定是不精确的。 曼德布劳特认为，既使用更短的尺子来量，同样也无法准确测量。而且曼德布劳发现，尺子越短，测量出的海岸线越长，比如，用1纳米长的直尺子（假设有这样的尺子）测量的海岸线的长度，就比用毫米直尺子测量的长度要长很多。

三、Koch雪花曲线

     科克曲线（Koch curve）是一种典型的分形曲线。它是科克(Koch,H.von)于1904年构造出来的，当时是为了构造处处连续、处处不可导（处处不可微，即导数处处不存在，曲线处处是棱角）的曲线。

   为了编程方便，我们可以如下叙述简化的Koch曲线的构造过程，用 n表示构造Koch曲线的第n步骤，所构造出的图形简称 n-Koch

  (0)  0-Koch

      0-Koch是一个线段，比如长度为side , 角度为angle,起点是(x,y)终点是(endX,endY)

  (1)1-Koch

      将0-Koch缩小3倍，按照一定角度放置在四处（细节代码）

  ...

  (n) n-Koch

      将n-1-Koch段缩小3倍，按照一定角度放置在四处（细节见代码）

       如果 0-Koch的长度是1，那么1-Koch的长度就是4/3，n-Koch的长度就是(4/3 )ⁿ   。也就是说，尺子越短，n-Koch的长度就越大，Koch曲线就是n-Koch的极限，因此Koch曲线的（欧几里德）长度是无穷大。

     在欧几里德1维空间看，Koch曲线是有界的，但长度是无限的，在欧几里德2维空间看，Koch曲线是有界的，但面积又是0。Mandelbrot跳出欧几里德的圈圈，提出了新的维数思想，即分维数，按照Mandelbrot的理论，Koch曲线的Hausdoff -维数是log4/log3，大于1小于2（欧几里德维数属于特殊的Hausdoff-维数）。在该Hausdoff -维数下看，Koch曲线的Hausdoff -测度（非欧几里德测度）是一个有限数（但这个有限数到底是多少，在我学习分形时还没有解决，20多年过去了，我也不清楚目前是否已经解决）。

三、代码与运行效果

     原始的n-Koch曲线就是把前面说的简化的n-Koch曲线，在三个不同角度画三次而已，见代码（您可以练习在5个角度（每次逆时针（或顺时针）转72度）画5次）。

App.java

import java.io.*;

import java.awt.image.BufferedImage;

import javax.imageio.ImageIO;

public class App {

   public static void main(String args[]) {

       File file = new File("koch.bmp"); // 目的地

       try{  

          DrawKoch draw= new  DrawKoch();

          double side = 300; 

          draw.x =draw.width/2-side/2;

          draw.y =draw.height/2;

          BufferedImage image = null;

          for(int i=1;i<=3;i++) { //把简易的3-Koch曲线画三次

            image = draw.drawKoch(side,3);

            draw.image = image;

            draw.clockwise(120);  //angle角度顺时针转120度

          }

          side = 100; 

          draw.x =draw.width/4-side/2;

          draw.y =draw.height/4;

          for(int i=1;i<=3;i++) { //把简易的4-Koch曲线画3次

            image = draw.drawKoch(side,4);

            draw.image = image;

            draw.clockwise(120);  //angle角度顺时针转120度

          }

          side = 180; 

          draw.x =draw.width/2+side;

          draw.y =draw.height/4;

          for(int i=1;i<=3;i++) { //把简易的2-Koch曲线画3次

            image = draw.drawKoch(side,2);

            draw.image = image;

            draw.clockwise(120);  //angle角度顺时针转72度

          }

          ImageIO.write(image,"bmp",file);

       }

       catch(IOException e) { }

   }

}

DrawKoch.java

import java.awt.image.BufferedImage;

import java.awt.*;

import java.awt.geom.*;

public class DrawKoch  {//负责绘制雪花曲线

    public double angle = 0;   //线段的角度

    public double x,y;         //线段的起点

    public double endX,endY;   //线段的终点

    public BufferedImage image;

    Graphics g;

    Graphics2D g_2d;

    public int width=1000, height=860;

    public DrawKoch() {

        image = 

        new BufferedImage(width,height,BufferedImage.TYPE_INT_RGB);

        g = image.getGraphics();

        g.setColor(Color.white);//g默认用白色绘制图形

        g_2d =(Graphics2D)g;

        g_2d.setColor(Color.pink);

        g_2d.setFont(new Font("",Font.BOLD,32));

        g_2d.drawString

        ("耿祥义Java老师绘制2021-12-02",width/4,height-90);

        g_2d.setColor(Color.white);//用白色绘制图形

    }

    public BufferedImage drawKoch(double side,int n){

       if(n==0) {

            //绘制从(x,y)到 （endX,endY）的长度为side直线段

            double α= angle*Math.PI/180 ; //角度angle用弧度α表示

            endX = Math.cos(α) *side+x;

            endY = Math.sin(α) *side+y;   

            Line2D line= new Line2D.Double(x,y,endX,endY);

            g_2d.draw(line);

            x = endX ;  //改变线段的起点，为画下条线段准备好起点

            y=  endY ;

        }

        else { //一共画4条直线

            drawKoch(side/3.0,n-1);

            antiClockwise(60);

            drawKoch(side/3.0,n-1);

            clockwise(120);

            drawKoch(side/3.0,n-1);

            antiClockwise(60);

            drawKoch(side/3.0,n-1);

        }

        return image;

   }

   public void antiClockwise(double α) { //逆时针旋转α度

       angle = angle-α; 

   }

   public void clockwise(double α) { //顺时针旋转α度

       angle = angle+α; 

   }

}  

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