用运动的方式思考数学：为什么虚数i在这里？

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前两周我们曾经聊过“计算”和图形之间的关系，比如用图形思维的角度，如何解应用题，看四则运算，以及了解负负得正等概念。

关于负数运算的部分，有同学留言对旋转数轴表示异议，认为应该用轴对称等方式来表示，其实我们认为数形结合，具象的数学学习方式从来都不是唯一解的。喜欢或者习惯某种解法，不代表其他的都不正确。

所以今天我们就解释一下另外一种“想象”数学运算的方式：“运动”。

很多人认为数学比较抽象，和现实关系不大。其实数学和现实的物质世界有着无穷的联系，比如物体的运动。在中学物理和数学课上，也学习过不少关于运动的数学公式，比如正在回家路上的嫦娥5号，飞行路径就是靠着严格的数学计算来控制，才能实现如此复杂的宇航工程。我们之前也讲过相关的内容，比如：数形结合的重力加速度公式讲解。

反过来看也是成立的，其实运动本身也是一种学习数学的方式。它可以帮助孩子更简单、准确地理解一些比较抽象的数学概念。

上周讲四则运算的时候，也涉及到了用运动来理解数学的方式。有些同学觉得难，有些同学恍然大悟，有些则觉得太简单，那干脆今天再进一步，尝试用具象运动的方式，用更形象的方式，去理解乘方、开方，以及那个神奇的并难住很多人的，似乎不存在于现实世界的虚数i= √−1是什么？

如果用运动的方式来看乘法，那可以看做是一个点在数轴上的匀速运动，比如2乘x就可以看成从0开始，每秒前进2，第一秒到2，第二秒到4。乘法2×6=12的意思就是，每秒前进2，6秒之后就到了12的地方。

而乘方也可以看做点在数轴上进行运动，不过变成了加速运动。比如因为2^x+1=2×2^x，所以也就是说每多经过1秒，点所到的位置，都是1秒前位置的2倍。比如0秒的时候在1的地方；1秒的时候在2，2秒的时候在4.......（x+1）秒在x秒的2倍。

而√2=2^(1/2) ，所以√2就是表示一个按照2^x规律在数轴前进的点，在1/2秒的时候，所在的位置。

0秒的时候点在1的位置，1秒的时候到了2的位置，不过因为这个点在做加速运动，所以前面速度慢一些，后面的速度快一些，在1/2秒的时候，这个点所在的位置并没有到达1和2的中点1.5，而是略小一些的1.414...，这就是√2的位置。

所以对某个数字x开平方，求平方根的意思，就是某个遵循乘方加速运动规律的点，如果他在1秒的时候到达点x，那0.5秒的时候，它在什么位置呢？其实就是根号x。

比如√4，就是说一个点遵循乘方 4^x 加速运动（每多经过1秒，到达位置是之前的4倍），它用了1秒到达4，那0.5秒到哪里呢？答案是2。

那问题来了，虚数i=√-1，这怎么看呢？

其实也一样，就是一个点遵循乘方(-1)^x运动规律的点，0秒时在1，1秒的时候到达-1，那在运动到0.5秒的时候的位置是哪里呢？

那(-1)^x运动规律的规律是什么呢？0秒的时候，点在(-1)⁰=1的位置，1秒的时候到了(-1)¹=-1，2秒又到了(-1)²=1，感觉上就是在1和-1两个点之间跳来跳去，但实际上，这并不是一个跳跃运动，上次我们讲负负得正的时候说过，这其实是一个旋转运动。

那如果一个点一直在做匀速圆周旋转运动，用1秒的时间，从数轴上1的位置，旋转到了-1的位置。那√-1，也就是它0.5秒的时候在哪里呢？

就是这里：i。

让很多学生折戟沉沙的虚数，很多时候如果将它想象成一个点的运动规律，那理解起来就容易多了。

如果我们扩展一下，√i是多少呢？其实也一样，如果一个点用1秒才旋转到i，那么0.5秒的时候，它在哪里呢？就在下图右边这个四分之一圆弧的中点，（√2/2+√2/2i）

连续三周聊关于如何将具象的图形和抽象的数学计算联系在一起。之所以讲了这么多篇幅，是为了解除一个常见的错误认知：认为“数学教育就是小时候具象，长大后就抽象”，图形数学教育是小孩子才用的，过了早教阶段就不需要了。

事实上，形象的数学教育应该贯穿从学前启蒙，一直到高等数学的全阶段，因为数学不是抽象的计算或者什么高深的玄学。数学是这个世界的基础，也是整个宇宙，从宏观到微观的运行规律。它就是存在于我们身边的，存在于你看得到，和看不到的每一个地方。

这是数学：

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