下一个数是？
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圆珠笔 5 元一支，买 3 支需要多少钱？
类似的题目，谁小学没做过？
如果你顺手写成：3×5=15元，能得分吗？
我读小学的时候，这种写法是绝对不行的。一定要写成：5×3=15元，才能得分。当时老师总是强调 3×5 表示 5 个 3 相加，即3+3+3+3+3，而 5×3 表示 3 个 5 相加，即 5+5+5，显然后者才符合题意。
实际上，很多小学老师都认为：过分严格区分 5×3 和 3×5 是吹毛求疵，是呆板、机械的做法，容易遏制学生的思维；而等后来学到乘法交换律，又要和学生说：5×3=3×5，不是多此一举吗？
但没有办法，当时的考试规定是一定要写成 5×3 才得分。事关考试升学，学生的前途命运，尽管老师心里有疑惑，甚至是不满，也是没有办法的。
后来张师（张景中院士，小编注） 知道了这个事情，写了几篇文章，得到多数小学老师的认同。有老师也写文章回应：从学术讨论上来说，大家的想法基本是一致的。问题是考试怎么办？
张师虽然不在小学教书，但是小学老师的心情他是非常理解的。他知道，在中国考试分数决定一切，不解决考试的问题，说什么也没有用。
于是张师写信给教育部的领导刘坚教授，表达老师们的呼声和自己的看法，刘坚教授觉得这个建议很有意义。后来，新的课程标准中明确指出：“ 3 个 5 可以写作 3×5，也可以写作 5×3，3 和 5 都是乘数（也可以叫因数）。”
有了正式文件，老师们心中就有底了，学生们没必要区分得那么辛苦。但很少有人知道这中间有张师的辛劳。
历史往往会重演。现在小学数学中有一类题弄，叫做找规律，譬如给出一些数，让你观察并总结规律，猜测下一个数。这种题目不只是小学中有，很多考试中都有，譬如公务员考试、教师招聘考试等。于是网络上、QQ群里，都不断有人问起。
我们先来看一些例子：
给出1、2、4、8、16，下一个数是？我们可以认为是32，因为后一个数是前一个数的2倍。
给出1、4、9、16、25，下一个数是？我们可以认为是36，因为前面每个数都是自然数的平方。
给出1、1、2、3、5、8，下一个数是？我们可以认为是13，因为从第三个数开始，每个数等于前两数之和。这就是著名的斐波那契数列，也叫兔子数列。
给出1、2、6、42、1806，那么下一个数是哪个呢？我们可以认为是3263442，规律是这组数的第一个数是1，后面的每个数都是前一个数乘以这个数加上1。验证如下：1，1×(1+1)=2，2×(2+1)=6，6×(6+1)=42，42×(42+1)=1806，1806×(1806+1)=3263442。
类似地，给出一组数：1、4、14、45、139，可认为规律是这组数的第一个数是1，然后：(1×3) + 1=4，(4×3) + 2=14，(14×3)+3=45，(45×3)+4=139。
给出60、30、20、15、12，可认为规律是这组数的第一个数是60，然后：1/2×60=30，1/3×60=20，1/4×60=15，1/5×60=12。
看了这么多例子，你是不是摸出了些门道来呢？这类问题，有些较简单，但有些却很难让人难以捉摸，很难猜到出题人所指的到底是啥规律。这类问题这几年在公务员考试中出现，难倒一大批人。
我们要特别强调：这种找规律，是一种不完全归纳。给出若干个数，是不能完全确定下一个数的。就好像你发现“一”是一横，“二”是二横，“三”是三横，能推出“四”是四横么？
我们此处所谓的发现了规律只是这组数表现较为明显的规律而已，并不唯一。可能另外的人从别的角度给出答案，也有说得过去的理由。
譬如1、2、3、4、5、6、7后面一定是8么？不一定。也可能是1啊，想想周日之后是不是又是周一？
又譬如2、4、8、16后面一定是32么？不一定。有人给出了这样的几何解释。如图，圆周上有2点，将圆分成2部分；圆周上有3点，将圆分成4部分；圆周上有4点，将圆分成8部分；圆周上有5点，将圆分成16部分；圆周上有6点，将圆分成30部分，而不是32部分。
考试命题的一个基本要求是题目的科学性，譬如单选题就要求有且仅有一个答案。显然这种所谓的数字规律题不满足要求。下面是2007年国家公务员考试测试卷第45题：
0，2，10，30，（ ）
A. 68 B. 74 C. 60 D. 70
有人选A，他认为的规律：0³+0，1³+1，2³+2，3³+3，4³+4，即 an=n³+n，n为自然数。
有人选B，他认为的规律：0×2+2=2，2×2+6=10，10×2+10=30，30×2+14=74，即an+1=2an+4n+2，a₀=0，n为自然数。
你可能会倾向于A，但是否有足够的理由排除B呢？实际上，若学过高等数学，利用拉格朗日插值公式，可得出无数多的答案。
类似的例子还有不少。如2009年广东省公务员录用考试第2题：
168，183，195，210，（ ）
A. 213 B. 222 C. 223 D. 225
有人将给出的几个数作差，得到15，12，15，于是猜测接下来的差会是12，而一项应当是 210+12=222。
有人则认为：168+1+6+8=183；183+1+8+3=195；195+1+9+5=210；所以 210+2+1+0=213。
我的一位朋友是作公务员考试培训的。他和我诉苦道：以上两种所谓的规律，在公务员考试中都出现过。所以在讲课时，两种思路都会讲，如果考试时真的出了这样的题目，也不知道是选A还是选B，只能看运气！想想看，考生那么多，哪能每个人的想法都与出题人一致呢？
此外，这种规律题还有些更特别的思维，已经完全不是找规律的逻辑题了，而是脑筋急转弯。
譬如1、2、3、5、4，下一个数字是什么？答是100。理由是：1、2、3、5、4的中文是一、二、三、五、四，分别是1画、2画、3画、4画、5画。而100的中文是百，6画。
但这样的题目也出现在考卷上，如2008 年重庆市公务员录用考试第71题。
图形推理：每道题包含问题图形和可供选择的4个图形。问题图形具有一定的相似性。也存在某种差异。你要从中找出其变化的规律，并把这种规律正确地运用到解题过程中，或者依据图形变化的规律进行选择。
一本公务员考试宝典写道：这道题的思路为汉字的笔画数，但是正确答案有两个选项。“王”、“外”、“同”、“里”四个汉字笔画数分别为4画、5画、6画、7画，因此应当选出一个笔画数为8画的汉字，符合条件的汉字有两个，“画”字与“依”字均为8画。因此这道题的正确选项有两项。
作为考题，是不是应该更严肃慎重一点呢？而对于教学而言，强迫学生去揣测出题人的意图，追求所谓的标准答案，不是在抹杀学生自己的想象力么？
我们来看一个外国的例子。
如果给出下面三角形，下一行应该填什么？想必很多人都会填写“1 4 6 4 1”，因为规律很明显，不就是杨辉三角么？
而有三个外国中学生给出了不同的答案，他们的文章 The Rascal Triangle 发表在2010 年的 THE COLLEGE MATHEMATICS JOURNAL。
文章先是设计了一个教学场景（三个作者不是一个学校的），老师很不满意他们给出的答案“1 4 5 4 1”，告诉他们3+3应该等于6，而不是等于5。
学生解释：我们定义的规则有所不同，除了每行两端都为1之外，其余每个数都等于肩上两数相乘，加1，除以头顶上（即再上一行对应位置上）的数，譬如第5行的4=(1×3+1)/1，5=(3×3+1)/2。
老师提出疑问，所给规则最后用到除法，那能否保证生成的数阵，每一个数都是整数？如果是杨辉三角，那就简单，整数相加总是整数。而若所得不是整数，则这样的定义规则显然是不完美的。
学生给出了巧妙的证明。将数阵旋转45°，得
0: 1 1 1 1 1 1 ...
1: 1 2 3 4 5 6 ...
2: 1 3 5 7 9 11 …
3: 1 4 7 10 13 16 ...
4: 1 5 9 13 17 21 ...
这样一来，数阵中的每一个位置对应哪个数就更好表述了。行数列数都从 0开始，则第m行第n列的数是mn+1，第m行为：1，m+1，2m+1，...，nm+1。
[m(n+1)+1][(m+1)n+1]+1
=[(mn+1)+m][(mn+1)+n]+1
=(mn+1)(mn+1)+m(mn+1)+(mn+1)n+mn+1
=(mn+1)[(mn+1)+m+n+1]
=(mn+1)[(m+1)(n+1)+1]
上式除以mn+1，所得 (m+1)(n +1) +1正好是第m+1行第n+1列的数。根据数学归纳法可知所有数都是整数。
作为老师，看到学生能有这样的创新，心里自然是高兴的。但可能也会有点担心，要是考试出这样的题目怎么办呢？
我想这种所谓的数字规律题，还是要引起相关主管部门的重视为好。要么取消这种题目，要么将之作为主观题，只要考生写出自己认为的规律，能够自圆其说，都要视情况给分。
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