在2048里能够得到的最大的数是多少？

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在《2048》这款小游戏中，你能得到的最大的数是多少？

在这里，我们简单描述一下游戏的规则。游戏在一个4×4的棋盘上进行，棋盘里填有一个个的“数块”，每个数块上都写有某个形如2ⁿ的正整数。每一步，你需要从上、下、左、右四个方向中选取一个方向，按下对应的方向键之后，所有的数块都会“落”到这个方向；若有两个同种的数块在此过程中发生碰撞，则它们的值会相加起来，并合成一个新的数块。然后，系统会在棋盘中随机选择一个空白位置，并在此生出一个新的数块，上面写有数字2或者数字4（两种情况之比为9:1）。游戏开始时，棋盘上会自动生成三个随机的数块，你的目标就是通过有限步的操作，得出一个写有2048的数块。当然，即使得到了2048这个数块，游戏也不会自动结束，你还可以向更大的数发起挑战。

于是就有了我们刚才的问题：理论上，这个游戏当中能够得到的最大的数是多少？

可以证明，我们永远不可能在2048当中玩出2¹⁸这个数字。

让我们把棋盘上的所有数全部加起来，并在累加过程中不断关注当前总和的二进制表达。如果棋盘里的数分别是2,4,16,64,16,2的话，累加结果的二进制表达依次为10→110→10110→1010110→1100110→1101000。

你会发现，由于棋盘上的每个数都是形如2n的正整数，因而把它加进总和之后，这个总和的二进制表达里最多只会多出一个数字1（如果发生了进位，数字1的个数可能会不变甚至减少）。这意味着，如果最终棋盘上的所有数之和的二进制表达当中一共有k个数字1，那就说明刚才至少有k个数在相加，换句话说棋盘里至少有k个数块。

容易看出，每走一步之后，棋盘上的所有数之和都会增加2或者4。如果最终棋盘上出现了一个2¹⁸，就说明棋盘上的所有数之和至少是2¹⁸，那么在此之前棋盘上的所有数之和一定经历过2¹⁸- 2或者2¹⁸- 4。前者的二进制表达为111111111111111110，这里面有17个数字1，超过了棋盘里总的格子数，因而显然是不可能的。后者的二进制表达是111111111111111100，这里面有16个数字1，正好是棋盘里总的格子数。

这说明，此时棋盘刚好被填满，2²，2³，2⁴，…2¹⁷这16种不同的数块各有一个。这意味着棋盘里不但没有空白的格子，也没有相同种类的数块可以合并，此时玩家直接就死掉了！因而，我们是没有办法得到的2¹⁸。

因此，2¹⁷=131072成为了2048这个游戏中数块大小的一个理论上限。