斯坦纳—雷米欧斯定理

斯坦纳—雷米欧斯定理：如果三角形中两内角平分线相等，则此三角形必为等腰三角形。

这个定理的逆命题形式大家都很熟悉，等腰三角形的两个底角的角平分线相等，初中生就可以通过全等对这个结论加以证明，但是这个结论的逆命题形式就不那么容易证明，日本数学教育学会会长井上义曾经称赞它是“作为一个难题而闻名的”。

1840年，德国数学家雷米欧斯（C.L.Lehmus）在他给法国数学家斯图姆（C.Sturm）的信中提出了这一问题，然而斯图姆没有解决，就向许多数学家提出这一问题。后来是瑞士几何学家斯坦纳（J.Steiner）给出了这个定理的第一个证明，因而这一定理就称为斯坦纳—雷米欧斯定理。

斯坦纳（steiner,1796-1863)

继斯坦纳之后，这一定理的丰富多彩的证明陆续发表，这里我们先给出一个简(bao)单(li)的证法：

如图，在△ABC中，记三边长AB=c，BC=a，CA=b，BD、CE是角平分线，且BD=CE

由角平分线定理，有

由角平分线长公式，有：

由于BD=CE，所以：

整理得：

(b-c)(a³+a²b+a²c+b²c+bc²+3abc）=0

显然，后一个因式一定大于0，所以b-c=0 => b=c

有趣的是，如果我们进一步思考，等腰三角形两个底角的角平分线相等，反之亦成立，那么，等腰两个底角的外角平分线相等，它的逆命题：两个外角平分线相等的三角形是等腰三角形，这一命题是否成立呢？

答案是，这不成立，我们可以构造出反例：

如图，我们取∠A=12°，∠B=36°，∠C=132°，AD、CE是外角平分线

不难得到∠1=48°，∠2=84°，∠3=48°，∠4=24°，∠E=12°

由∠1=∠3，可知AC=AD，

由∠E=∠A，可知AC=CE，

所以两条外角平分线相等，而△ABC不是等腰三角形

但是，我们只要再加强一下条件：两个外角平分线相等，且第三个角为该三角形的最大角或最小角，我们就能顺利的得出结论：这个三角形是等腰三角形了。

那么，这个证明就留给各位读者自行处理啦~

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