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2021第二届百年老校数学竞赛

第二届百年老校数学竞赛于8月1日开启,8月5日举行闭幕式。此次赛事完全采用国际数学奥林匹克(IMO)赛制,以线上方式进行。


共有北京四中、清华大学附属中学、上海中学、黄冈中学、雅礼中学、苏州中学、南京师范大学附属中学、杭州高级中学、镇海中学、宁波中学、温州中学、福州一中12所来自全国各地的百年老校代表队参加。




完整试题


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第一天

考试时间: 8月2日8:00-12:30

1.某班有 名同学计划在暑假举行若干次聚会, 要求每名同学至多参加三次聚会,并且任意两名同学至少在一次聚会中相遇.
求最大的正整数 ,使得无论如何安排符合上述要求的聚会,都一定存在 某次聚会,有至少  位同学参加.

2.求最大的实数 , 使得不等式


对任意正整数  以及任意实数  均成立.


3.给定正整数  记,
其中

证明: 对任意素数, 存在无穷多个非负整数对, 满足这  个数都能被  整除, 并都不能被  整除.
注:若证明较弱的结论, 例如将题目中的  替换为更大的数, 则会 根据你的结果适当给分.

第二天

考试时间: 8月3日8:00-12:30

4.已知素数满足.
证明: 存在正整数, 使得的十进制表示的各位数字之和是.

5.如图, 圆的外接圆, 是弧(不含)上一点, 为弧的中点. 为线段上一点, 过的平行线交于点, 过的平行线交于点, 过的平行线交弧于点. 已知圆上的点满足平分. 证明: .

6.给定素数(笔误,应为p≥5), 称的排列为“好排列”, 如果对, 均有, 且的倍数.
求“好排列”的个数除以的余数.

该比赛是国内少有的完全采用IMO(国际数学奥林匹克)赛制的高级别数学竞赛。


本届百年老校数学竞赛原定于线下举办,由于疫情原因,最终决定参照第一届的形式在线上进行。共有北京四中、清华大学附属中学、上海中学、黄冈中学、雅礼中学、苏州中学、南京师范大学附属中学、杭州高级中学、镇海中学、宁波中学、温州中学、福州一中12所来自全国各地的百年老校代表队参加。


此项赛事的发起人裘宗沪先生特意发来贺信,由本届赛事特邀嘉宾张宇鹏先生在开幕式上代读:“希望更多趣味、智慧的活动,让同学们喜欢数学、享受数学,让带队老师通过分享、交流,业务有所精进……希望百年老校可以保持生命力,与时俱进。” 


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