淡化形式 注重本质赏
淡化形式 注重本质
陈重穆 宋乃庆
多年来我国学习前苏联，数学教学相当重视数学的概念和理论。逻辑性、严密性、系统 性成了教学的首要原则，即科学性原则。这对基础教育中数学教学的影响是深刻的，总的来看也是积极的。但有时过分强调，做得过分，也产生了一些消极成分。中小学数学不能在“科学性”上那样完善，于是在力所能及的地方，学生“可能”接受的地方尽量拔高，特别对名词、术语等在形式上和细微处理上孜孜以求，出现了形式和繁琐的倾向，冲淡了实质，脱离了学生认知实际，不利于学生能力的培养。教师为了不犯“科学性”错误(这可是最令人难堪的错误)，迫使教师谨小慎微，口述、笔写力求精确、熟练，备课在这方面花了大量精力和时间。有些教师有兴趣于研究线段是否包含端点，虚轴是否包含原点，a(b+c)是否是多项式等无关大体的问题。对如何发挥教师的主导作用，引导学生自主学习，反而考虑较少，时间精力没有用在刀口上。教学中形式多于实质，机械知识的训练多于能力的培养。
作为科学性原则的补充(或反思)，张孝达先生提出了“淡化概念”(1991年 5 月在西南师范大学的报告)，这似是“惊世骇俗”的提法。“淡化概念”不是不重视概念，而是如何使学生更好地掌握整个知识，真正理解概念。教学中不能为概念而概念，要使概念教学恰如其分地发挥“通过知识，培养能力”的作用。从这个意义上说，“淡化”是为了真正的“强化”。“淡化概念”是为突出目前教学中存在的弊端，以引起人们注意的“矫枉过正”的提法。
《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲(试用)》降低了对数概念的要求，这在教学思想上是一个突破。我们认为《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲(试用)》(以下简称《大纲》)重要精神之一，便是“淡化形式，注重实质”。
一、淡化纯文字叙述
“淡化”不是不要，而是不要把文字叙述看得过分“神圣”，把它作为最高的表达形式，概念、结论都力求要有纯文字叙述。文字叙述方便、有益就用，否则就不用。纯文字叙述较难，为了严密、完整、不产生歧义，常较为繁琐，给出的信号很多，而信息却较少，给人的直接感受就不那样清楚。例如，代数式的定义为：“用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子。”要说完整，就漏了指示运算顺序的“括号”；要说严密，就应排除定义为空集的算式，如 1÷(a-a)。其实，等式、算式这些为了称呼方便，学生心中不明白的东西不必去正式下定义，当作未定义名词加以解释即可，不必花过多的时间。人民教育出版社的义务教育《初中代数》(试用)课本对代数式就采取了不正式定义的“看图识字”方式。又如，完全平方公式 ：
看起来、读起来都不是太复杂。而它的纯文字叙述为：“两数和的平方，等于他们的平方和，加上它们积的 2 倍”，感受就不那样清楚。纯文字叙述常与式子脱离，不能帮助记忆.
重点放在文字叙述上，反而增加师生负担。再说，“两数”就限制狭了，而应是“两式”。再从概念上斤斤计较：有人认为“加与和”、“乘与积”、“乘方与幂”意义不同，前者是运算，后者是结果。2+3与 5，前者是“加”，后者才是“和”。“a+b”更正确的叙述应是“两个数相加”或“两个式相加”。这样看来带上字母的读法：“a 加b 和的平方，等于 a 的平方，加2、a、b，加b 平方”更合适，且能帮助公式记忆。上面的说法有点 “吹毛求疵”，主要想说明，概念、定理重点在其实质，不在形式；纯文字叙述不是那样容易做到无可挑剔的，它不是教学的重点，要淡化。要知道中国古代辉煌的数学成就大多没有继承下来加以发扬光大，这与使用过多的文字叙述不能说没有关系。数学课主要教会学生使用数学符号，并能用符号进行思考。从这个意义上说，淡化文字叙述是现代化的一种表现。对名词、术语重点要放在学生对其实质的领悟上，不必在文字叙述上孜孜以求。企图用文字叙述来使学生掌握概念是不符合少年儿童认知规律的。当然能用文字叙述(不是背下来的)说明理解更深，但作为要求对初中学生来说就高了，只能适当地作，要“淡化”。可以在学生弄清事实的基础上，在教师指导下，让学生自己来叙述，以帮助学生去抓事物的本质特征，不作为必须的要求。
二、淡化形式，注重实质(允许非形式化)
对此，《初中数学大纲》最重要之点是删去了关于方程的同解概念与同解原理。“同解” 是把方程形式化的主要特征。“同解”实际上是一个相当复杂的概念。高等师范院校的《初等数学》课也难以完备。方程(x-1) =0与方程 x-1=O，不能算同解。“同解”不是简单的解集相同，还须考虑“重数”，在初中代数也回避不了这个问题。不但代数方程的解有重数，超越方程的解也有重数，甚至方程组的解也有重数。“重数”如何定义?又何种变形才不变重数?要建立一般的(就在代数式范围内)能概括一切重要情形的“同解方程(组)”及“同解原理”这是不能回避这个在理论上(如根的个数与根与系数的关系)和实际中(如求极值)都是必不可少的概念，而这是一件复杂而繁琐的事情。按照“同解”的框架来编教材，不能只在一元一次方程处谈同解，在二元一次方程组就不谈。在分式方程处，何以只谈“增根”，而不谈失掉根的可能。尽管可不事事深入，不求完备，但不能避而不谈，否则使人感到教者太 “自由”了，完全把学生当成无知的被动接受者。这对通过知识培养学生能力是不利的，教 a b，c d?a+c b+d，ac bd"，
材本身也不和谐。用等式性质(一般教材没有突出等式性质：“
甚至没有着重提出过)及“推出检验”方式适用于解任何方程。实际上，解方程组、分式方程与无理方程时，大家心目中使用的仍是等式性质。初中数学注重的应是灵活的“通法”，而不是形式化的“同解理论”。
在数学中主要有两类问题：一类是求证，一类是求解。求证问题是根据假设条件用一系列“推出性质”(A?B)推出欲证的结论。求解问题是利用数学性质(常为“A?B”)求出符合条件的全部解，也就是问题有无解。有多少解以及求解。一般方式是由假设条件出发，“推出”解的范围，再用“检验”剔去不是解者。“推出形式”是数学命题的一般形式，同解原理不过是等式的一种互推形式，“互推形式”也是“推出形式”。“推出、检验”是求解问题的“通法”。通理、通法能普遍而长期起作用，并可迁移到其他学科，甚至日常生活、工作中去，这是通过知识培养能力应充分用力之点。方程属于求解问题，也应使用“推出、检验”的方式。只要能求出解，什么方法都可以使用，什么性质也可使用。等式性质当然用得 最多，不等式的性质也可用，不是计算出来，看出来也可以。例如，方程 2x=4 的解是 x=2，就可以观察而得。“观察”也是要培养学生养成的良好习惯。把方程形式化将桎梏学生的思想，不把方程形式化，返璞归真，解释成问题。具体问题，具体处理，需要谈重数时，就针对具体问题谈，不需要就不谈。在“推出、检验”的框架下理论上是和谐的，对学生的培养也是有利的。“检验”此时是逻辑推理中必不可少的一步，“检验”的地位就突出来了。“检 验”就是实地去做，它对学生思维素质有潜移默化作用，无论从数学本身的要求，还是对学生能力的培养都优于“同解”格式。“同解原理”局限于处理方程，“同解”占了主导地位，“检验”就从视野中消失。在实际教学中检验成了可有可无，实际上几乎为零。长期下来不但学生，就是教师也常忽略检验而导致失误。当前中学书刊中屡屡出现这种失误，作者未注 意，也逃过了审查者的眼睛。这说明“同解”掩盖“检验”所造成的负迁移，后果有多严重。 因此《大纲》删去同解原理不仅是降低理论形式上的要求，其深远的教育意义，我们应充分体会。
在《初中数学》中有些名词不必正式去下定义，要淡化，解释一下即可，甚至可不解释。方程即是“求解问题”已算有了解释，再具体一点就是“求指定字母的值使所给等式正式成立”。以“含有未知数的等式”作为方程的解释也不是不可以，“未知数”就是需求其值的字母。有人建议改述为“含有待求数的等式”更好。我们认为不必在文字叙述上下功夫，更不要把这些叙述当成方程的正式定义予以“拔高”，否则会自找麻烦。什么叫“未知数”? 方程 ax b 中a、b 算不算未知数?什么叫含有未知数?x-x=0 算不算含有未知数?0·x+1=1 算不算含有未知数?这是数的等式，还是式的等式?方程 x+1 x+2 能算等式吗?在多项式计算中出现的等式叫不叫方程?尽管如此“含有未知数的等式”并未影响我们对方程的研讨。因为师生都是按方程的实际意义来理解并进行处理的，而不是按定义的条文来进行处理的。可见 有些名词形式定义作用并不大，要紧的是对其实质的理解与领悟。如一般几何教材大都这样说，“可以完全重合的两个三角形叫做全等三角形，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边，叫做对应边，互相重合的角叫做对应角”。这就把“对应边、角”局限于全等(三角) 形中，这就像把“同位角”的概念局限于平行线中一样不妥。难怪有教师仅从条文出发认为 只有全等三角形才有对应边、角。由于大家对“对应边、角”有符合实际的理解与领悟，这个正式定义并未对教学带来什么影响，可见大量实际操作才起决定性影响。“不只看你说的，而是看你作的”。概念也正是在实际操作中才能真正形成，条文的作用是次要的。我们认为这是大纲降低对有些名词要求的主要原因。“对应边、角”的正确叙述可见张景中著《几何新路》第 128页～第 129 页。 就是非常重要的概念，在基础教育中也不宜追求精确的形式，而应注重对其实质的理解与领悟。例如，极限的概念在高中也不宜用“ ε— δ”的方式来定义，而应用直观描述并借助几何。极限的直观方式在初中也是可以浸润的，学生也能理解。在初中“渗透集合、映射”的概念是数学现代化的一种措施，“等价关系与分类”是集合论的基本内容之一。人们从形式出发而不管实际如何，“分类”在初中数学中占了相当重要的地位。分类作为数学概念要求“不重，不漏”，分类作为普通用语并无此精确的要求，在实际中为了研究或叙述的方便常需把所处理的对象分类，“不漏”虽然重要，实际中遗漏最次要的也时有发生，“不重”只能说是更“好”的要求了。在数学解题的研讨中，分情况讨论就是分类。当然这里不允许遗 漏，但是可以重复。为了与集合的“分类”联系，达到“不重”带来不少不必要的麻烦和思 维训练上的负效益。例如，有理数分类为整数与分数，常需声明这儿的分数是指不是整数的分数。实际上分数是有理数的一般表达形式(m/n，n≠0)。照顾“不重”，舍弃了“统一”，而统一是数学上处理问题的特点。更有甚者，在研讨中根据需要常是研究具有特殊性质的对象，这是子集或子类的问题，而不应是“分类”。单项式是多项式的子集，把它们对立起来作为整式的分类；等腰三角形是三角形的一个子类，等边三角形又是等腰三角形的子类。这些事不是分类也不需要去分类。把分类形式地硬套上来，为了不重、不漏就出现了“不等边三角形”这个不必要的概念。不等边三角形并无什么值得注意的特殊性质，分出来作为一类有什么意义呢?一次函数y ax+b，b=0时叫正比例函数，这也是子类的问题。有人为了分类，把b≠0 时叫做“一般一次函数”，就更造成混乱了。“淡化概念”看来并非“无的放矢”。当然已习惯的东西没有十分必要也不必去动，只要不去孜孜以求而予以“淡化”也不会有什么大问题。
分情况讨论对学生能力培养有较大意义，与其偏于概念谈分类，不如在实际操作中训练一下“分情况讨论”。大纲对字母讨论完全不作要求，倒是值得进一步研讨的问题。
在基础教育的数学课中渗透“集合、映射”的概念，进行得相当顺利，现已在中学数学课中确立。但是渗透较多注意联系概念，而联系“推理”则不够，其实际效果受到限制。作为数学概念，集合、映射是相当“高级”的，不是那样容易真正掌握的。有教师认为无理数与数轴上的点不一一对应。在中学书刊中批评很多错题，这些错题大都是假设条件自相矛盾所致。若是求解问题．则这些条件所确立的集合为空集，也就是说问题无解。若是求证问题，则由空集含于任何集合内，结论总是成立的。因此，假设条件自相矛盾的问题尽管无任何实际意义，更不能在中学教学中出现，但不能说是错题，定性有误。还有教师对“若x=l，则x=2 或 x=“3≤3”(集合包含关系的一种表现)等不理解，说明“集合”对有些教师的“推理”没有起到指导作用。这是偏重形式，注重实质不够所产生的。
三、“淡化概念”的含义
为了避免产生误解，我们要着重指出，“淡化”不是说概念不重要，更不是说在教学中可以忽视，而是要讲求实效，即要“淡化形式，注重实质”。
1．不要把概念放在最前
概念是认识事物到一定阶段的产物，而“传统的方法就是将数学当作是一个已经完成的现成的形式理论。教师从定义出发，介绍它的符号、表达方式，再讨论一系列性质，从而得出各种规则、算法。教师的任务是举例、讲解，学生的任务则是模仿”，教科书和数学中“表达的思维过程与实际获得发现的过程完全相反”(张奠宙等著，《数学教育学》，第 214 页)，弗赖登塔尔称之为“违反教学法的颠倒”。在教学中不要从概念出发，要从实践出发，先要去“做”，做了再来归纳。概念的提出可以在“做”之中，也可以在“做”之后(千万不能机械地搞一刀切)。我们在教学改革实验中把这种方式简称为“先做后说”。
2．“概念”是人们对客观事物某方面本质属性的一种反映，是人为的，不是那样百分之百的不可变动，神圣不可侵犯 ．
0 是不是自然数?目前出版的“近世代数”书，如贾柯勃逊著的《基本代数》，自然数系就包含 0。德国数学教学大纲也把 O归入自然数。最近有专家建议纯虚数中包含 0(路见可。数学通讯，1992 年6 期)。因此，关键是对所讨论对象的实质进行理解与掌握，不要过分地在细微处理上斤斤计较，吹毛求疵。掌握了实质，如何处理它，人们是有自由的(自由是认识的必然性)。例如，梯形与平行四边形历来是相交的。从统一的观点出发，也可以把平行四边形定义为特殊的梯形。当然不能轻易更动原来的定义，也不要拒绝合理的改变。在教学中对这些不宜过分着重，要“淡化”，使思想不致“僵化”。
3．不要单纯在概念本身上下工夫
根据认识论，人们掌握知识(包括概念)要通过实践。少年、儿童掌握概念更要靠学生自己的实践，靠学生自己动手动脑，自己去做，自己去体会。特别出现失误时所得的体会更深刻，更扎实。
(1) 教学中不要在讲概念处停留过久
在目前教学中常出现用整整一学时单纯来讲概念，对概念的文字表述字斟句酌，甚至全班朗读，要求背诵，正面和反面的例子反复讲述，重视概念可谓不遗余力。然而“教的歌儿唱不圆”，实际效果仍然欠佳，甚至为负。知识是一个整体，概念应与整个知识相结合，相适应，不要单纯在概念上下工夫，不要在此停留过久，要尽快进入实质问题，“进入角色”。 郭思乐在《数学教材的思想性原则》(《学科教育》，1991 年2期)一文中举有一个具体实例，讲正、负数从意义立即进入运算。这样正、负数、绝对值及加法运算仅用 20 分钟，学生对 之即有所领悟，能进行实际操作。这是“淡化形式”所产生的高效益。
(2) 概念要靠直观演示，具体操作，使学生领悟．
要通过学生实际去“做”，具体去“用”，形成实惠，加深领悟才能逐步掌握。电视机 是靠人们与它反复接触，反复使用它，才形成一个实的概念，用文字、语言难以明确说出。确实在概念中有些东西“只可意会，难以言传”。如有理数必须通过运算，联系实际的用，学生才能领悟有理数的概念。单纯在有理数的意义那儿花过多时间是得不偿失的。学生有了实感，有一定领悟，不会用语言文字表达，知识对他也有用。这比光会背条文，能机械地比着算，好得多。
4．概念要分层次，不能同等对待，平均使用力量 ．
只是为了称呼方便，如方程、反证法等，学生了解其大意即可，不宜去研究其精确定义；有些概念虽然重要，但在初中不进入论证，又不作一般讨论，如函数、凸多边形等就不要对学生要求过多，只有进入论证经常处理的概念才是基本概念。要强化概念，先要强化论证，也就是要提高教学的理论水平。
5．在考试中不出单纯考概念的题
这是我们的看法，未必能在实际教学中实现。考试考名词术语，虽然量不多，但就迫使师生在此花了相当多的精力，效益很低，得不偿失。实际上，计算题、论证题、应用题不但直接考查了学生的技能与应用知识的能力，也间接考查了学生对概念的掌握情况。陈省身先生在北京讲流形(1980 年)，考试时，他说“当然不能考定义、定理，只能考具体问题，看你能不能把定义落实到例子上”。不考名词、术语是对教学的“解放”，也是“一纲多本” 的需要。名词、术语从各种观点、体系解释各有不同。常见的整式与多项式，有理式与分式的意义常常纠缠不清。
方程有三种解释：1．含有未知数的等式；2．方程是具有等式的开句(美国、香港等地区的教材)；3．方程是求指定字母的值,使已给等式成立的问题(义务教育(内地版)初中数学课本)。
平行线的定义在《中学数学实验教程》(北京师范大学出版社)中叙述为“同位角相等”。
《几何新路》(张景中著，四川教育出版社)，定义正弦函数 sin θ为：边长为 1单位，夹角为 θ的菱形面积与单位面积的比。教学大纲没有(也不可能)规定应如何定义这些名词。考试以何本为准?“不直接考概念”是事实上的需要，而“不考”才可能做到“淡化”。