蝴蝶定理之二
《蝴蝶定理之一》写了她的五种典型证明，第二篇准备写一下此定理的内涵和外延。具体包括她的核心结构、等价命题、几种变式、本质理解以及其逆命题等。
已知条件中M为弦的中点本质上为EF⊥OM，这是其核心结构。其等价命题为：
四边形ACBD内接于圆O，AB交CD于M，过点M作OM垂线，交对边AC、BD于E、F，则ME=MF。
条件中垂直显然对另一对边AD、BC也是对称的，若垂线交直线AD、BC于E’、F’，则有ME’=MF’。这算是蝴蝶定理的一种变形。上述两个命题可以统一的叙述为：
1、过圆内接四边形对角线交点作连心线垂线，则被四边形对边所截的线段等长。
在这种眼光下，看到过某点的连心线的垂线就要想到尝试使用蝴蝶定理，我们在前面的文[1]第2题解法二中及其等价问题文[2]第7题的辅助线即是从此角度出发的。
进一步，圆内接完全四边形对角交点还可以在圆外，
2、如上图，圆O内接四边形ABCD中BA 交DC于M，过M作OM垂线分别交AC、BD、AD、BC于E、F、E’、F’，
则ME=MF,ME’=MF’。
这算是圆外的蝴蝶定理，证明应该和原来的证明类似。不过时移世易，图形的变化对几何的影响很大，建议读者自己尝试一下，以巩固此定理的结构。下面给出证明，因为是几何专题，本文尽量使用纯几何证法。
思路分析：按图索骥、照猫画虎，类似第一篇中的证明1、2。
证法1：设A关于OM对称点为A’，
则MA=MA'且AA'//EF,
故∠A'DF=180°-∠A'AM
=180°-∠AA'M
=180°-∠A'ME=∠A'MF,
故A'DMF共圆，
则∠FA'M=∠FDM=∠EAM,
故△FA'M≅△EAM(ASA),
故ME=MF。
证法2：
如上图，作OS⊥AC于S，OT⊥BD于T，
联结OE、OF、MS、MT。
由MEOS及MFOT四点共圆，得
∠MOE＝∠MSE，∠MOF＝∠MTF，
而由△AMC∽△DMB，
得∠MSA＝∠MTD，
∴ ∠MOE＝∠MOF，
由此Rt△OME≌Rt△OMF，
得ME＝MF。
注：显然上述两种证明几乎是上一篇证法1、2照搬过来的。我对此题也有深刻的印象，因为我在刚上高一时即碰到了此题，虽然我知道蝴蝶定理的证明，但是因为没有发现她们的本质联系，所以想了很久也没有做出来 。后来我虽然发现了她是蝴蝶定理，但是我希望用计算的方法，还是尝试了很久没有得到结果。所以希望读者尝试用计算的方法来解决此题。这里从略。
在上题中，若两条割线AB、CD重合，则AC、BD变成切线，得到下题
3、从圆心O作圆外任意直线XY的垂线，垂足为M，自M引割线交圆于B、A两点。
求证：过B、A的两切线与XY的交点到M点的距离ME、MF相等。
证明：由垂直得OFMB,OAEM共圆，
则∠OFB=∠OMB=∠OEA,
则△OFB≅△△OEA(AAS),
故OE=OF,
则ME=MF。
类似的在最开始的图中，若AB与CD重合，则得到：
4、过弦AB的中点M任作一弦CD，过C、D作圆O的切线交AB所在直线于E、F。
求证：ME＝MF。（2005年第一届北方数学奥林匹克试题）
证明：由垂直得OFDM,OCEM共圆，
则∠OEM=∠OCM=∠ODM=∠OFM,
故OE=OF,
则ME=MF。
注：显然此题和上题本质相同，但是解法略有区别，本解法更简洁。当然此方法也可以解决上题，希望读者尝试。
下面介绍一下蝴蝶定理的本质，首先要说明的是仁者见仁智者见智，对同一个问题的本质不同的人有不同的看法。
不难发现，把下图中圆内接四边形ACBD延长得到完全四边形以后，就又变成了雅克比系统（[3]中例6），从而OM⊥NT,EF//TN,
又TN,TM;TA,TC为调和线束，
由交比不变形得ME=MF,
同理ME'=MF'。
当然进一步蝴蝶定理系列的性质是圆锥曲线的笛沙格对合定理，对以上交比、调和点列等有兴趣的读者可以查阅相关资料[4]。
以上介绍了蝴蝶定理的内涵：几种变式和本质。下面写一下其外延，首先看其逆命题,也是正确的：
5、过圆O内接四边形ACBD对角线交点M作弦PQ交AC、BD于E和F。若ME＝MF
求证：MP＝MQ。
思路分析：此时似乎不太好利用对称性了，一个自然的思路是计算，上一篇文章的证法3、4、5都可以照搬过来，应该大同小异，请读者自行完成。
如果不计算，有没有纯几何的方法呢？另一个思路是考虑利用蝴蝶定理，过M作OM垂线，利用反证法不难推出矛盾。
证明：反证法，若MP≠MQ，则M不是PQ中点，
M也不会和O重合，故过M作OM垂线交
AC、BD于E'、F'。
由蝴蝶定理得ME'=MF',
故△MEE'≅△MFF'(SAS),
故AC//BD,
则M为AB中点，
即M与O重合，
与假设矛盾，从而原命题成立，
即MP=MQ。
注：对于蝴蝶定理的逆定理读者还可以尝试其他直接证法，应该还有其他证明方法，不过估计都不会太简单。上述提到的证法中，计算应该是最自然的。想到利用蝴蝶定理也算是情理之中。
本文介绍了蝴蝶定理的内涵和逆命题，通过本文还是希望向读者渗透两种观念。一个是对一个问题要多找几种证明方法，这样遇到类似的问题才可以尝试多种思路，各种证明往往各有所长、各自有各自的适用范围。还有一个就是要努力看透问题的本质，了解其各种变式，这样遇到与其相关的问题时才能迅速找到切入点，发现本质，然后用与原命题类似的证法解决新的问题。