当数学家遭遇好莱坞： 庄周梦蝶和盗梦空间
庄周晓梦迷蝴蝶、望帝春心生杜鹃，虚幻和现实到底如何区分，界限在哪里？请看数学家的解读。
作者是纽约州立大学石溪分校顾险峰教授，师从丘成桐先生研修几何。回复“智商”，还可阅读作者描述如何从大脑形状判断一个人的智商。
庄周梦蝶，典出《庄子·齐物论》：”昔者庄周梦为胡蝶，栩栩然胡蝶也，自喻适志与，不知周也。俄然觉，则蘧蘧然周也。不知周之梦为胡蝶与，胡蝶之梦为周与？周与胡蝶，则必有分矣。此之谓物化。“ 庄子通过对梦中变化为蝴蝶和梦醒后复化为己的浪漫想象，提出了人不可能确切区分真实和虚幻的观点。
好莱坞的《骇客帝国》和《盗梦空间》运用了类似的诗化哲学，剧情游走于梦境与现实之间。《盗梦空间》提出了一种区分梦境和现实的方法：检验物理定律，观察陀螺的能量衰减速率。《骇客帝国》只有单重梦境，《盗梦空间》进一步发展成多重梦境，使得梦境和现实成为多重嵌套或递归结构。但似乎陀螺也无法区分不同层次的梦境。
在艺术史上，比较接近这种“在意识结构之内虚幻和现实无法区分”的哲学的作品大概是荷兰版画大师埃舍尔（M.C.Escher,1898~1972）的《画廊》（1956）。图中描述了下面的故事：在画廊中有一位男子在欣赏着一幅挂在墙上的图画，画中有一条宽阔的河流，在河对岸有一座画廊，在画廊中有一位男子在观赏着一幅挂在墙上的图画；画中有一条宽阔的河流，在河对岸有一座画廊 。。。
这幅图画的左侧的画廊和男子是现实的，图画是虚幻的，在右侧图画中虚幻的画廊延展到画外成为现实的画廊。这幅画最为令人震惊之处就在于埃舍尔将现实和虚幻不漏痕迹地融为一体。其实这幅画还隐喻着画廊（现实）中的图画（虚幻），图画中的画廊，等无穷嵌套递归的关系。长期以来，如何从数学上解读埃舍尔的《画廊》，如何复制类似的几何结构，一直是饶有兴味的一个问题。
其实，对于埃舍尔《画廊》的解读需要一些代数拓扑和共形映射的基本概念。如下是基本的构造方法：
1. 首先，我们先构造一幅具有无穷嵌套结构的图片。我在桌子上放了一帧镜框，然后拍摄整个办公室的图像。对图像进行后期处理，将整张图像缩小放入镜框，在将整张图像缩小放入镜框中的镜框。如此重复，以致无穷（概念上无穷，现实中只需要有限步。）于是，我得到一幅办公室的图像，正中的桌面上有一镜框，镜框中放置着同一幅办公室的图像。
显而易见，这张图像具有无穷嵌套结构。我们将整张图像到镜框内的图像的放缩变换记为 s，那么 s 的整数次幂产生全平面的变换群 ,记为 G。群 G 作用在全平面上，有一个不动点，零点 0。 全平面去除零点，得到一拓扑环带 （annulus） A 。任取环带中的一点 p，p 在 G 的作用下生成一条轨道 G(p)。比如，图中有无穷多只粉红兔，所有兔子的右耳朵尖就是一条轨道。我们将一条轨道看成一个点，得到环带在群 G 作用下的商空间 T。商空间 T 是一张拓扑环面（torus，轮胎）。或者，更为直观地，我们将镜框内的图像称为“虚幻”，镜框外的真实场景成为“现实”，镜框为区分虚幻和现实的边界。将镜框和图像自身的边界对应起来，将相应点粘和，我们得到同样的拓扑环面 T 。这里，拓扑环带 A 被称为 拓扑轮胎 T 的覆盖空间，将 A 中之轨道映为 T 中之点的映射称为投影，群G称为覆盖映射群。覆盖空间Ａ中的任意联通区域Ｄ，如果和所有的轨道都只有一个交点，则被称为一个基本域。比如相邻两级镜框之间的区域就是一个基本域。
我们应用覆盖空间的概念，构造了一个具有无穷嵌套的结构，但是“现实”和“虚拟”之间相互隔离。我们需要进一步实现“现实” 和“虚拟”之间相互融合的构造。
2. 我们构造A 和 T 共同的覆盖空间，亦即T 的万有覆盖空间 U。将空间 A 取复数值的对数，我们就得到了万有覆盖空间U。复数值的指数映射给出了从 U 到 A 的投影映射。因为A 覆盖Ｔ，所以Ｕ也覆盖Ｔ。Ｕ图中，红色长方形的内部是Ｔ的一个基本域。长方形地底边和高对应于拓扑轮胎T上的两个圈，记为a 和 b。长方形的对角线也是T上的一个圈，由a和b复合而成，记为ab。同样，万有覆盖空间中蓝色平行四边形的内部也是轮胎T的一个基本域，其底边为a，侧边为 ab。
虽然红色的基本域和蓝色的基本域在几何上彼此等价，但在直观艺术理解上却完全不同。在艺术理解上，镜框提供了不同重数“梦境”之间的边界，红色基本域的边界和镜框曲线相吻合，因而红色的基本域代表了同一重数的梦境。但是，蓝色的基本域横跨两重“梦境”，从而融合了“现实”（第0层梦境）和“虚幻”（第1层梦境）。
红色基本域和蓝色基本域对应于同一个轮胎面的不同切割方法。红色基本域的切割线是圈a和圈b，蓝色基本域的切割线是圈a和圈ab。
3. 我们将U旋转放缩，使得蓝色基本域的侧边垂直，长度为2pi，得到 U1图像。
4. 将U1图像用复指数映射向A投影，得到现实和虚拟相融合的效果，换言之，埃舍尔效果图A1。
在埃舍尔效果图中，镜框成为螺旋线，不同层次的“梦境”彼此融合。从初始的无穷嵌套图A到最后的埃舍尔效果图A1，我们实际上实现了一个几何变换：从拓扑上看，我们实现了轮胎面Ｔ到自身的一个非平庸的映射，它将（a,b)映为了(a,ab)，从而和恒同映射不通伦，这一映射被提升到T的拓扑环带的覆盖空间A和A1上；从几何角度讲，这一映射的每一步都是复解析函数，所以它是一个保形映射。虽然全局有很大的扭曲，但是局部的形状被完美保持。
依循这一思路，数学家和艺术家填补了埃舍尔有关《画廊》的初始画作和中间步骤：
埃舍尔的初始画作
作为一个艺术家，埃舍尔绘制了石破天惊的画作，表达了现实虚幻交织的诗化思想，他天才而直觉地从艺术上悟出了拓扑和共形几何的深刻原理，由此可见艺术和数学本质上是相通的。
庄周梦蝶，千古一梦。作为一个社会成员，每个人都有现实的追求和心中的梦想，但是“现实”和“梦境”，哪一个更“真实”？
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